λ-кольцо

В алгебре или λ-кольцо лямбда -кольцо является коммутативным кольцом вместе с некоторыми операциями λ ^н на нем, которые ведут себя как внешние степени векторных пространств . Многие кольца, рассматриваемые в K-теории, имеют естественную структуру λ-кольца. λ-кольца также предоставляют мощный формализм для изучения действия симметричных функций на кольце полиномов , восстанавливая и расширяя многие классические результаты ( Lascoux (2003) ).

λ-кольца были введены Гротендиком ( 1957 , 1958 , с.148). Дополнительную информацию о λ-кольцах см. в Atiyah & Tall (1969) , Knutson (1973) , Hazewinkel (2009) и Yau (2010) .

Мотивация

Если V и W — конечномерные векторные пространства над полем k , то мы можем сформировать прямую сумму V ⊕ W , тензорное произведение V ⊗ W и n - ю внешнюю степень V , Λ ^н( В ). Все они снова являются конечномерными векторными пространствами над k . Те же три операции прямой суммы, тензорного произведения и внешней степени доступны также при работе с k -линейными представлениями конечной группы , при работе с векторными расслоениями над некоторым топологическим пространством и в более общих ситуациях.

λ-кольца предназначены для абстрагирования общих алгебраических свойств этих трех операций, при этом мы также допускаем формальные обратные операции по отношению к операции прямой суммы. (Эти формальные обратные также появляются в группах Гротендика , поэтому основные аддитивные группы большинства λ-колец являются группами Гротендика.) Сложение в кольце соответствует прямой сумме, умножение в кольце соответствует тензорному произведению, а λ-операции над внешними степенями. Например, изоморфизм

\Lambda ^{2}(V\oplus W)\cong \Lambda ^{2}(V)\oplus \left(\Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^{1}(W)\right)\oplus \Lambda ^{2}(W)

соответствует формуле

\lambda ^{2}(x+y)=\lambda ^{2}(x)+\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)+\lambda ^{2}(y)

справедлив во всех λ-кольцах, и изоморфизм

\Lambda ^{1}(V\otimes W)\cong \Lambda ^{1}(V)\otimes \Lambda ^{1}(W)

соответствует формуле

\lambda ^{1}(xy)=\lambda ^{1}(x)\lambda ^{1}(y)

справедливо во всех λ-кольцах. Аналогичные, но (намного) более сложные формулы управляют λ-операторами более высокого порядка.

Мотивация с помощью векторных пакетов

Если у нас есть короткая точная последовательность векторных расслоений над гладкой схемой $X$

$0\to {\mathcal {E}}''\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}'\to 0,$

затем локально, для достаточно небольшого открытого района $U$ у нас есть изоморфизм

\bigwedge ^{n}{\mathcal {E}}|_{U}\cong \bigoplus _{i+j=n}\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'|_{U}\otimes \bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''|_{U}

Сейчас в группе Гротендика $K(X)$ из $X$ (которое на самом деле является кольцом), мы получаем это локальное уравнение глобально бесплатно, из определяющих отношений эквивалентности . Так

{\begin{aligned}\left[\bigwedge ^{n}{\mathcal {E}}\right]&=\left[\bigoplus _{i+j=n}\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'\otimes \bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''\right]\\&=\sum _{i+j=n}\left[\bigwedge ^{i}{\mathcal {E}}'\right]\cdot \left[\bigwedge ^{j}{\mathcal {E}}''\right]\end{aligned}}

демонстрируя основное соотношение в λ-кольце, ^{[ 1 ]} что

\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{i+j=n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{j}(y).

Определение

λ-кольцо — это коммутативное кольцо R вместе с операциями λ ^н : R → R для каждого неотрицательного целого числа n . Эти операции должны иметь следующие свойства, действительные для всех x , y в R и всех n, m ≥ 0:

л ⁰( Икс ) знак равно 1
л ¹( х ) = х
л ^н(1) = 0, если n ≥ 2
л ^н( Икс + y ) знак равно Σ _{я + j знак равно п} λ ^я( х ) л ^дж( и )
л ^н( xy ) знак равно п _п (λ ¹( х ), ..., л ^н( х ), л ¹( у ), ..., л ^н( и ))
л ^н(л ^м( Икс )) знак равно п _{п , м} (λ ¹( х ), ..., л ^минута( х ))

где P _n и P _n,m — некоторые универсальные многочлены с целыми коэффициентами, описывающие поведение внешних степеней на тензорных произведениях и при композиции. Эти полиномы можно определить следующим образом.

Пусть e ₁ , ..., e _mn — элементарные симметрические многочлены от переменных X ₁ , ..., X _mn . Тогда P _{n , m} — единственный полином от nm переменных с целыми коэффициентами такой, что P _n,m ( e ₁ , ..., e _mn ) — коэффициент при t ^н в выражении

\prod _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{m}\leq mn}(1+tX_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}})

(Такой многочлен существует, поскольку выражение симметрично относительно X _i , а элементарные симметричные многочлены порождают все симметричные многочлены.)

Пусть теперь e ₁ , ..., en _- элементарные симметричные многочлены от переменных X ₁ , ..., X _n и f ₁ , ..., f _n - элементарные симметричные многочлены от переменных Y ₁ , . .., Й _н . Тогда P _n — единственный многочлен от 2 n переменных с целыми коэффициентами такой, что P _n ( e ₁ ..., en _, n f ₁ , ..., f _, ) — коэффициент при t ^н в выражении

\prod _{i,j=1}^{n}(1+tX_{i}Y_{j})

Вариации

Определенные выше λ-кольца некоторые авторы называют «специальными λ-кольцами», которые используют термин «λ-кольцо» для более общего понятия, где условия на λ ^н(1), л ^н( ху ) и λ ^м(л ^н( x )) отбрасываются.

Примеры

Кольцо Z целых чисел с биномиальными коэффициентами $\lambda ^{n}(x)={x \choose n}$ поскольку операции (которые также определены для отрицательных x ) является λ-кольцом. Фактически это единственная λ-структура Z. на Этот пример тесно связан со случаем конечномерных векторных пространств, упомянутых выше в разделе «Мотивация» , где каждое векторное пространство идентифицируется с его размерностью и помните, что $\dim(\Lambda ^{n}(k^{x}))={x \choose n}$ .
В более общем смысле, любое биномиальное кольцо становится λ-кольцом, если мы определяем λ-операции как биномиальные коэффициенты, λ ^н( Икс ) = ( ^х
_н ). В этих λ-кольцах все операции Адамса тождественны.
K K-теория ( X ) топологического пространства X представляет собой λ-кольцо с лямбда-операциями, индуцированными взятием внешних степеней векторного расслоения.
Для группы G и базового поля k кольцо представлений R ( G ) является λ-кольцом; λ-операции индуцируются внешними степенями k -линейных представлений группы G .
Кольцо Λ _Z симметрических функций является λ-кольцом. На целых коэффициентах λ-операции определяются биномиальными коэффициентами, как указано выше, и если e ₁ , e ₂ , ... обозначают элементарные симметрические функции, мы полагаем λ ^н( е ₁ ) знак равно е _п . Используя аксиомы для λ-операций и тот факт, что функции ek _{, это определение можно расширить уникальным образом ,} алгебраически независимы и порождают кольцо Λ _Z чтобы превратить Λ _Z в λ-кольцо. Фактически это свободное λ-кольцо с одним генератором, причем генератором является e ₁ . (Яу ( 2010 , с.14)).

Дополнительные свойства и определения

Каждое λ-кольцо имеет характеристику 0 и содержит λ-кольцо Z как λ-подкольцо.

Многие понятия коммутативной алгебры можно распространить на λ-кольца. Например, λ-гомоморфизм между λ-кольцами R и S — это кольцевой гомоморфизм f : R → S такой, что f (λ ^н( Икс )) знак равно λ ^н( f ( x )) для всех x в R и всех n ≥ 0. λ-идеал в λ-кольце R — это идеал I в R такой, что λ ^н( x ) ϵ I для всех x в R и всех n ≥ 1.

Если x — элемент λ-кольца, а m — неотрицательное целое число такое, что λ ^м( Икс ) ≠ 0 и λ ^н( x ) = 0 для всех n > m , мы пишем dim( x ) = m и называем элемент x конечномерным. Не все элементы должны быть конечномерными. У нас есть dim( x + y ) ≤ dim( x ) + dim( y ), а произведение 1-мерных элементов является 1-мерным .

См. также

Ссылки

^ Питер Бельманс (23 октября 2014 г.). «Три фильтрации на кольце Гротендика схемы» .

Атья, МФ; Талл, Д.О. (1969), «Представления групп, λ-кольца и J-гомоморфизм», Топология , 8 : 253–297, doi : 10.1016/0040-9383(69)90015-9 , MR 0244387
Экспо 0 и V Бертло, Пьер ; Александр Гротендик ; Люк Иллюзи , ред. (1971). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1966-67 - Теория пересечений и теорема Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii+700. дои : 10.1007/BFb0066283 . ISBN 978-3-540-05647-8 . МР 0354655 .
Гротендик, Александр (1957), «Особые λ-кольца», неопубликовано.
Гротендик, Александр (1958), «Теория классов Черна» , Bull. Соц. Франция , 86 : 137–154, MR 0116023
Хазевинкель, Михель (2009), «Векторы Витта. I.», Справочник по алгебре. Том. 6 , Амстердам: Elsevier/North-Holland, стр. 319–472, arXiv : 0804.3888 , doi : 10.1016/S1570-7954(08)00207-6 , ISBN 978-0-444-53257-2 , МР 2553661
Кнутсон, Дональд (1973), λ-кольца и теория представлений симметрической группы , Конспект лекций по математике, том. 308, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, номер номера : 10.1007/BFb0069217 , MR 0364425.
Ласку, Ален (2003), Симметричные функции и комбинаторные операторы над полиномами (PDF) , CBMS Reg. Конф. Сер. по математике. 99, Американское математическое общество
Суле, К.; Абрамович, Дэн; Бурнол, Ж.-Ф.; Крамер, Юрг (1992). Лекции по геометрии Аракелова . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 33. Совместная работа с Х. Жилле. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-47709-3 . Артикул 0812.14015 .
Яу, Дональд (2010), Лямбда-кольца , Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., номер домена : 10.1142/7664 , ISBN. 978-981-4299-09-1 , МР 2649360

[1] Питер Бельманс (23 октября 2014 г.). «Три фильтрации на кольце Гротендика схемы» .

[ 1 ]