Плетистическая экспонента

В математике плетистическая экспонента — это некий оператор, определенный на (формальном) степенном ряду , который, как и обычная экспоненциальная функция , переводит сложение в умножение. Этот экспоненциальный оператор естественным образом появляется в теории симметричных функций как краткое соотношение между производящими рядами для элементарных , полных и степенных сумм однородных симметричных многочленов от многих переменных. Его название происходит от операции под названием плетизм , определенной в контексте так называемых лямбда-колец .

В комбинаторике плетистическая экспонента является производящей функцией для многих хорошо изученных последовательностей целых чисел , полиномов или степенных рядов, таких как количество целочисленных разделов . Это также важный метод в перечислительной комбинаторике неразмеченных графов и многих других комбинаторных объектов.

В геометрии и топологии плетистическая экспонента определенного геометрического/топологического инварианта пространства определяет соответствующий инвариант его симметричных произведений.

Определение, основные свойства и основные примеры

Позволять $R[[x]]$ — кольцо формальных степенных рядов по переменной $x$, с коэффициентами в коммутативном кольце $R$. Обозначим через

$R^{0}[[x]]\subset R[[x]]$

идеал, состоящий из степенных рядов без постоянного члена. Тогда, учитывая $f(x)\in R^{0}[[x]]$, его плетистическая экспонента ${\text{PE}}[f]$ дается

${\text{PE}}[f](x)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f(x^{k})}{k}}\right)$

где $\exp(\cdot )$ – обычная показательная функция. Легко проверить, что (записывая просто ${\text{PE}}[f]$ когда переменная понятна):

${\begin{aligned}[ll]{\text{PE}}[0]&=1\\{\text{PE}}[f+g]&={\text{PE}}[f]{\text{PE}}[g]\\{\text{PE}}[-f]&={\text{PE}}[f]^{-1}\end{aligned}}$

Некоторые основные примеры:

${\begin{aligned}[ll]{\text{PE}}[x^{n}]&={\frac {1}{1-x^{n}}},n\in \mathbb {N} \\{\text{PE}}\left[{\frac {x}{1-x}}\right]&=1+\sum _{n\geq 1}p(n)x^{n}\end{aligned}}$

В этом последнем примере $p(n)$ количество разделов $n\in \mathbb {N}$.

Плетистическая экспонента также может быть определена для колец степенных рядов от многих переменных.

Формула произведения-суммы

Плетистическая экспонента может использоваться для получения бесчисленных тождеств суммы произведений. Это следствие формулы произведения для самих плетистических экспонент. Если $f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}x^{k}$ обозначает формальный степенной ряд с действительными коэффициентами $a_{k}$, то нетрудно показать, что: $${\text{PE}}[f](x)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-a_{k}}$$Аналогичное выражение произведения справедливо и в случае многих переменных. Одним из особенно интересных случаев является его связь с целочисленными разбиениями и индексом цикла симметричной группы .

Связь с симметричными функциями

Работа с переменными $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, обозначим $h_{k}$ полный однородный симметричный полином , то есть сумма всех мономов степени k от переменных $x_{i}$и по $e_{k}$ элементарные симметричные полиномы . Затем $h_{k}$ и $e_{k}$ связаны с полиномами суммы степеней: $p_{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}$ тождествами Ньютона , которые можно кратко записать, используя плетистические экспоненты, как:

$\sum _{n=0}^{\infty }h_{n}\,t^{n}={\text{PE}}[p_{1}\,t]={\text{PE}}[x_{1}t+\cdots +x_{n}t]$

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}e_{n}\,t^{n}={\text{PE}}[-p_{1}\,t]={\text{PE}}[-x_{1}t-\cdots -x_{n}t]$

Формула Макдональда для симметричных произведений

Пусть X — конечный комплекс CW размерности d с полиномом Пуанкаре $$P_{X}(t)=\sum _{k=0}^{d}b_{k}(X)\,t^{k}$$где $b_{k}(X)$ является его k- м числом Бетти . Тогда полином Пуанкаре n- го симметричного произведения X , обозначаемый $\operatorname {Sym} ^{n}(X)$, получается разложением в ряд: $${\text{PE}}[P_{X}(-t)\,x]=\prod _{k=0}^{d}\left(1-t^{k}x\right)^{(-1)^{k+1}b_{k}(X)}=\sum _{n\geq 0}P_{\operatorname {Sym} ^{n}(X)}(-t)\,x^{n}$$

Плетистическая программа по физике

В серии статей группа физиков-теоретиков, в том числе Бо Фэн, Амихай Ханани и Ян-Хуэй Хэ , предложила программу для систематического подсчета одно- и многоследовых калибровочных инвариантных операторов суперсимметричных калибровочных теорий . В случае колчанных калибровочных теорий D-бран, исследующих особенности Калаби–Яу , этот подсчет кодифицируется в плетистической экспоненте ряда Гильберта особенности.