Молодой симметризатор

В математике симметризатор Юнга — это элемент групповой алгебры , симметрической группы построенный таким образом, что для гомоморфизма групповой алгебры эндоморфизмам векторного пространства $V^{\otimes n}$ полученный от действия $S_{n}$ на $V^{\otimes n}$ путем перестановки индексов образ эндоморфизма, определяемый этим элементом, соответствует неприводимому представлению симметрической группы над комплексными числами . Подобная конструкция работает над любым полем, а полученные представления называются модулями Шпехта . Симметризатор Янга назван в честь британского математика Альфреда Янга .

Определение

Дана конечная симметрическая группа Sn _{, и} и конкретная таблица Юнга λ, соответствующая нумерованному разбиению n рассмотрим действие $S_{n}$ дается путем перестановки ящиков $\lambda$. Определите две подгруппы перестановок $P_{\lambda }$ и $Q_{\lambda }$ S n _: следующим образом

$P_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ preserves each row of }}\lambda \}$

и

$Q_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ preserves each column of }}\lambda \}.$

Определим два вектора, соответствующие этим двум подгруппам, в групповой алгебре $\mathbb {C} S_{n}$ как

$a_{\lambda }=\sum _{g\in P_{\lambda }}e_{g}$

и

$b_{\lambda }=\sum _{g\in Q_{\lambda }}\operatorname {sgn}(g)e_{g}$

где $e_{g}$ — единичный вектор, соответствующий g , и $\operatorname {sgn}(g)$ является знаком перестановки. Продукт

$c_{\lambda }:=a_{\lambda }b_{\lambda }=\sum _{g\in P_{\lambda },h\in Q_{\lambda }}\operatorname {sgn}(h)e_{gh}$

– симметризатор Юнга, соответствующий таблице Юнга λ. Каждый симметризатор Юнга соответствует неприводимому представлению симметрической группы, и каждое неприводимое представление может быть получено из соответствующего симметризатора Юнга. (Если мы заменим комплексные числа более общими полями, соответствующие представления, вообще говоря, не будут неприводимыми.)

Строительство

Пусть V — любое векторное пространство над комплексными числами . Рассмотрим тогда тензорного произведения векторное пространство $V^{\otimes n}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V$ ( n раз). Пусть Sn _{действует на этом тензорном пространстве произведений ,} переставляя индексы. Тогда существует естественное групповой алгебры представление $\mathbb {C} S_{n}\to \operatorname {End} (V^{\otimes n})$ на $V^{\otimes n}$ (т.е. $V^{\otimes n}$ это право $\mathbb {C} S_{n}$ модуль).

Учитывая разбиение λ числа n , так что $n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{j}$, изображение то $a_{\lambda }$ является

$\operatorname {Im} (a_{\lambda }):=V^{\otimes n}a_{\lambda }\cong \operatorname {Sym} ^{\lambda _{1}}V\otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{2}}V\otimes \cdots \otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{j}}V.$

Например, если $n=4$, и $\lambda =(2,2)$, с канонической таблицей Юнга $\{\{1,2\},\{3,4\}\}$. Тогда соответствующий $a_{\lambda }$ дается

$a_{\lambda }=e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)}.$

Для любого вектора продукта $v_{1,2,3,4}:=v_{1}\otimes v_{2}\otimes v_{3}\otimes v_{4}$ из $V^{\otimes 4}$ тогда у нас есть

$v_{1,2,3,4}a_{\lambda }=v_{1,2,3,4}+v_{2,1,3,4}+v_{1,2,4,3}+v_{2,1,4,3}=(v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1})\otimes (v_{3}\otimes v_{4}+v_{4}\otimes v_{3}).$

Таким образом, совокупность всех $a_{\lambda }v_{1,2,3,4}$ явно охватывает $\operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V$ и поскольку $v_{1,2,3,4}$ охватывать $V^{\otimes 4}$ мы получаем $V^{\otimes 4}a_{\lambda }=\operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V$, где мы писали неофициально $V^{\otimes 4}a_{\lambda }\equiv \operatorname {Im} (a_{\lambda })$.

Заметим также, как эту конструкцию можно свести к конструкции для $n=2$.Позволять $\mathbb {1} \in \operatorname {End} (V^{\otimes 2})$ быть оператором идентификации и $S\in \operatorname {End} (V^{\otimes 2})$ оператор замены, определенный $S(v\otimes w)=w\otimes v$, таким образом $\mathbb {1} =e_{\text{id}}$ и $S=e_{(1,2)}$. У нас есть это

$e_{\text{id}}+e_{(1,2)}=\mathbb {1} +S$

карты в $\operatorname {Sym} ^{2}V$, точнее

${\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)$

проектор на $\operatorname {Sym} ^{2}V$.Затем

${\frac {1}{4}}a_{\lambda }={\frac {1}{4}}(e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)})={\frac {1}{4}}(\mathbb {1} \otimes \mathbb {1} +S\otimes \mathbb {1} +\mathbb {1} \otimes S+S\otimes S)={\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)\otimes {\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)$

на что проектор $\operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V$.

Образ $b_{\lambda }$ является

$\operatorname {Im} (b_{\lambda })\cong \bigwedge ^{\mu _{1}}V\otimes \bigwedge ^{\mu _{2}}V\otimes \cdots \otimes \bigwedge ^{\mu _{k}}V$

где µ — сопряженное разбиение к λ. Здесь, $\operatorname {Sym} ^{i}V$ и $\bigwedge ^{j}V$ являются симметричными и знакопеременными тензорными пространствами произведений .

Изображение $\mathbb {C} S_{n}c_{\lambda }$ из $c_{\lambda }=a_{\lambda }\cdot b_{\lambda }$ в $\mathbb {C} S_{n}$ представлением Sn _. , называемым модулем Шпехта является неприводимым Мы пишем

$\operatorname {Im} (c_{\lambda })=V_{\lambda }$

для неприводимого представления.

Некоторые скалярные кратные $c_{\lambda }$ является идемпотентным, то есть $c_{\lambda }^{2}=\alpha _{\lambda }c_{\lambda }$ для некоторого рационального числа $\alpha _{\lambda }\in \mathbb {Q} .$ В частности, обнаруживается $\alpha _{\lambda }=n!/\dim V_{\lambda }$. В частности, это означает, что представления симметрической группы могут быть определены над рациональными числами; то есть над рациональной групповой алгеброй $\mathbb {Q} S_{n}$.

Рассмотрим, например, S ₃ и разбиение (2,1). Тогда у человека есть

$c_{(2,1)}=e_{123}+e_{213}-e_{321}-e_{312}.$

Если V — комплексное векторное пространство, то образы $c_{\lambda }$ на пространствах $V^{\otimes d}$ обеспечивает по существу все конечномерные неприводимые представления GL(V).

См. также

• Теория представлений симметрической группы

Ссылки

• Уильям Фултон. Таблицы Янга с приложениями к теории представлений и геометрии . Издательство Кембриджского университета, 1997.
• Лекция 4 из Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Брюс Э. Саган . Симметричная группа . Спрингер, 2001.