Полиномиальный функтор

В алгебре полиномиальный функтор это эндофунктор категории — ${\mathcal {V}}$ конечномерных векторных пространств , полиномиально зависящих от векторных пространств. Например, симметричные степени $V\mapsto \operatorname {Sym} ^{n}(V)$ и внешние силы $V\mapsto \wedge ^{n}(V)$ являются полиномиальными функторами от ${\mathcal {V}}$ к ${\mathcal {V}}$ ; эти два также являются функторами Шура .

Это понятие появляется в теории представлений , а также в теории категорий ( исчисление функторов ). В частности, категория однородных полиномиальных функторов степени n эквивалентна категории конечномерных представлений симметрической группы $S_{n}$ над полем нулевой характеристики. ^[1]

Определение [ править ]

Пусть k — поле характеристики нулевой и ${\mathcal {V}}$ категория k конечномерных k - векторных пространств и линейных - отображений . Тогда эндофунктор $F\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}$ является полиномиальным функтором, если выполняются следующие эквивалентные условия:

Для каждой пары векторных пространств X , Y в ${\mathcal {V}}$ , карта $F\colon \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))$ является полиномиальным отображением (т. е. векторным полиномом в линейных формах).
Даны линейные карты $f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r$ в ${\mathcal {V}}$ , функция $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r})\mapsto F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})$ определено на $k^{r}$ является полиномиальной функцией с коэффициентами в $\operatorname {Hom} (F(X),F(Y))$ .

Полиномиальный функтор называется однородным степени n, если для любых линейных отображений $f_{1},\dots ,f_{r}$ в ${\mathcal {V}}$ с общим доменом и кодоменом векторный полином $F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})$ однородно степени n .