Категория представительств

В теории представлений категория представлений имеет некоторой алгебраической структуры A представления A как объекты и эквивариантные отображения как морфизмы между ними. Одним из основных направлений теории представлений является понимание условий, при которых эта категория является полупростой ; т. е. разлагается ли объект на простые объекты (см. теорему Машке для случая конечных групп ).

Таннакиан формализм дает условия, при которых группа G может быть восстановлена из категории ее представлений вместе с функтором забывания в категорию векторных пространств . ^[1]

Кольцо Гротендика категории конечномерных представлений группы G называется кольцом представлений группы G .

Определения [ править ]

В зависимости от типов представлений, которые необходимо рассмотреть, обычно используются несколько разные определения.

Для конечной группы G и поля F категория представлений G над F имеет

объекты: пары ( V , f ) векторных пространств V над F и представления f группы G в этом векторном пространстве.
морфизмы: эквивариантные отображения
композиция: композиция эквивариантных карт
тождества: функция тождества (которая является эквивариантным отображением).

Категория обозначается $\operatorname {Rep} _{F}(G)$ или $\operatorname {Rep} (G)$ .

Для группы Ли обычно требуется, чтобы представления были гладкими или допустимыми . Для случая алгебры Ли см. представление алгебры Ли . См. также: категория О.

Категория модулей над групповым кольцом [ править ]

Существует изоморфизм категорий между категорией представлений группы G над полем F (описанной выше) и категорией модулей над групповым кольцом F [ G ], обозначаемой F [ G ]-Mod .

Теоретико-категорное определение [ править ]

Каждую группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом, где морфизмы в этой категории являются элементами G , а композиция задается групповой операцией; поэтому G — группа автоморфизмов уникального объекта. произвольной C представление G G в C является функтором из в категории C. Для Такой функтор отправляет уникальный объект объекту, скажем, X в C , и индуцирует групповой гомоморфизм. $G\to \operatorname {Aut} (X)$ ; см. в группе автоморфизмов # В теории категорий дополнительную информацию . Например, G -множество эквивалентно функтору из G в Set , категорию множеств представление эквивалентно функтору в Vect _F , категорию векторных пространств над полем F. , а линейное ^[2]

В этом случае категорией линейных представлений G над F является функторная категория G → Vect _F которой имеют естественные преобразования , морфизмы .

Свойства [ править ]

Категория линейных представлений группы имеет моноидальную структуру , задаваемую тензорным произведением представлений , что является важным компонентом двойственности Таннаки-Крейна (см. ниже).

Теорема Машке утверждает, что когда F не , делит G порядок характеристика категория представлений G над F является полупростой .

Ограничение и индукция [ править ]

Для группы G с подгруппой H существует два фундаментальных функтора между категориями представлений G и H (над фиксированным полем): один — это функтор забывания , называемый функтором ограничения.

{\begin{aligned}\operatorname {Res} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (G)&\longrightarrow \operatorname {Rep} (H)\\\pi &\longmapsto \pi |_{H}\end{aligned}}

а другой — функтор индукции

\operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)

.

Когда G и H — конечные группы, они сопряжены друг другу.

\operatorname {Hom} _{G}(\operatorname {Ind} _{H}^{G}W,U)\cong \operatorname {Hom} _{H}(W,\operatorname {Res} _{H}^{G}U)

,

теорема, называемая взаимностью Фробениуса .

Основной вопрос состоит в том, ведет ли себя разложение на неприводимые представления (простые объекты категории) при ограничении или индукции. Этот вопрос можно подвергнуть критике, например, с помощью теории Макки .

Двойственность Таннака-Крейна [ править ]

Двойственность Таннаки-Крейна касается взаимодействия компактной топологической группы и ее категории линейных представлений . Теорема Таннаки описывает обратный переход из категории конечномерных представлений группы G обратно в группу G , позволяя восстановить группу из ее категории представлений. Теорема Крейна, по сути, полностью характеризует все категории, которые могут возникнуть из группы таким образом. Эти концепции можно применять к представлениям нескольких различных структур, подробности см. в основной статье.

Примечания [ править ]

^ Джейкоб, Лурье (14 декабря 2004 г.). «Двойственность Таннака для геометрических стеков». arXiv : math/0412266 .
^ Мак Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 41. ИСБН 1441931236 . OCLC 851741862 .

Ссылки [ править ]

Андре, Ив (2004), Введение в паттерны (чистые паттерны, смешанные паттерны, периоды) , Панорамы и синтезы, том. 17, Париж: Математическое общество Франции, ISBN. 978-2-85629-164-1 , МР 2115000

Внешние ссылки [ править ]

https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+representations

[1] Джейкоб, Лурье (14 декабря 2004 г.). «Двойственность Таннака для геометрических стеков». arXiv : math/0412266 .

[2] Мак Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 41. ИСБН 1441931236 . OCLC 851741862 .

[1]

[2]