Категория О

В теории представлений полупростых алгебр Ли категория O (или категория ${\mathcal {O}}$ ) — категория которой , объектами являются некоторые представления полупростой алгебры Ли , а морфизмы — гомоморфизмы представлений.

Введение

Предположим, что ${\mathfrak {g}}$ — (обычно комплексная ) полупростая алгебра Ли с подалгеброй Картана. ${\mathfrak {h}}$ , $\Phi$ это корневая система и $\Phi ^{+}$ представляет собой систему положительных корней . Обозначим через ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ корневое пространство, соответствующее корню $\alpha \in \Phi$ и ${\mathfrak {n}}:=\bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }$ нильпотентная подалгебра .

Если $M$ это ${\mathfrak {g}}$ -модуль и $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ , затем $M_{\lambda }$ это весовое пространство

M_{\lambda }=\{v\in M:\forall h\in {\mathfrak {h}}\,\,h\cdot v=\lambda (h)v\}.

Объекты категории ${\mathcal {O}}$ являются ${\mathfrak {g}}$ -модули $M$ такой, что

$M$ конечно генерируется
$M=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}M_{\lambda }$
$M$ локально ${\mathfrak {n}}$ -конечный. То есть для каждого $v\in M$ , ${\mathfrak {n}}$ -модуль, созданный $v$ является конечномерным.

Морфизмы этой категории ${\mathfrak {g}}$ -гомоморфизмы этих модулей.

Каждый модуль в категории O имеет конечномерные весовые пространства .
Каждый модуль категории O является нетеровым модулем .
O — абелева категория
В О достаточно проективов и инъективных форм .
O замкнуто относительно взятия подмодулей , частных и конечных прямых сумм.
Объекты в O $Z({\mathfrak {g}})$ -конечно, т.е. если $M$ является объектом и $v\in M$ , то подпространство $Z({\mathfrak {g}})v\subseteq M$ созданный $v$ под действием центра универсальной обертывающей алгебры конечномерна.

Все конечномерные ${\mathfrak {g}}$ -модули и их ${\mathfrak {g}}$ -гомоморфизмы находятся в категории O.
Модули Верма и обобщенные модули Верма и их ${\mathfrak {g}}$ -гомоморфизмы находятся в категории O.