Вес (теория представлений)

В математической области теории представлений вес в алгебры — A над полем F это гомоморфизм алгебры F из A или , самое, одномерное представление A F. над то же что Это алгебраический аналог характера группы мультипликативного . Однако важность этой концепции проистекает из ее применения к алгебр Ли , а следовательно, и к представлениям алгебраических представлениям групп и групп Ли . В этом контексте вес представления является обобщением понятия собственного значения , а соответствующее собственное пространство называется весовым пространством .

Мотивация и общая концепция

Учитывая набор S из $n\times n$ матриц над одним и тем же полем, каждая из которых диагонализуема и любые две из которых коммутируют , всегда возможно одновременно диагонализировать все элементы S . ^{[ примечание 1 ]} Эквивалентно, для любого множества S взаимно коммутирующих полупростых преобразований конечномерного , векторного пространства V существует базис V линейных состоящий из одновременных собственных векторов всех элементов S . Каждый из этих общих собственных векторов v ∈ V определяет линейный функционал на подалгебре U в End( V ), порожденный набором эндоморфизмов S ; этот функционал определяется как отображение, которое сопоставляет каждому элементу U его собственное значение на собственном векторе v . Эта карта также является мультипликативной и отправляет идентификатор в 1; таким образом, это гомоморфизм алгебры из U в основное поле. Это «обобщенное собственное значение» является прототипом понятия веса.

Это понятие тесно связано с идеей мультипликативного характера в теории групп , который представляет собой х группы G в мультипликативную группу поля F. гомоморфизм Таким образом, χ : G → F ^× удовлетворяет χ ( e ) = 1 (где — единичный элемент G e ) и

\chi (gh)=\chi (g)\chi (h)

для g , h в G. всех

Действительно, если G действует в векторном пространстве V над F , каждое одновременное собственное пространство для каждого элемента G , если таковое существует, определяет мультипликативный характер на G : собственное значение в этом общем собственном пространстве каждого элемента группы.

Понятие мультипликативного характера можно распространить на любую алгебру A над F , заменив χ : G → F ^× χ линейным отображением : A → F с :

\chi (ab)=\chi (a)\chi (b)

для a , b в A. всех Если алгебра A действует в векторном пространстве V над F в любом одновременном собственном пространстве, это соответствует гомоморфизму алгебры из A в F, присваивающему каждому элементу A его собственное значение.

Если A — алгебра Ли (которая обычно не является ассоциативной алгеброй ), то вместо требования мультипликативности характера требуется, чтобы он отображал любую скобку Ли в соответствующий коммутатор ; но поскольку F коммутативно , это просто означает, что это отображение должно обращаться в нуль в скобках Ли: χ ([ a , b ]) = 0. Вес на алгебре Ли g над полем F является линейным отображением λ: g → F с λ ([ x , y ]) = 0 для всех x , y в g . Любой вес на алгебре Ли g обращается в нуль на производной алгебре [ g , g ] и, следовательно, сводится к весу на абелевой алгебре Ли g /[ g , g ]. Таким образом, веса представляют в первую очередь интерес для абелевых алгебр Ли, где они сводятся к простому понятию обобщенного собственного значения для пространства коммутирующих линейных преобразований.

Если G — группа Ли или алгебраическая группа , то мультипликативный характер θ: G → F ^× индуцирует вес χ = dθ: g → F на своей алгебре Ли путем дифференцирования. (Для групп Ли это дифференцирование по единичному элементу группы G , а случай алгебраической группы представляет собой абстракцию с использованием понятия вывода.)

Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — комплексная полупростая алгебра Ли и ${\mathfrak {h}}$ Картана подалгебра ${\mathfrak {g}}$ . В этом разделе мы описываем концепции, необходимые для формулировки «теоремы наибольшего веса», классифицирующей конечномерные представления ${\mathfrak {g}}$ . В частности, мы объясним понятие «доминирующего целостного элемента». Сами представления описаны в статье, указанной выше.

Вес представления

Пример весов представления алгебры Ли sl(3,C)

Позволять $\sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)$ быть представлением алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ в векторном пространстве V над полем характеристики 0, скажем $\mathbb {C}$ , и пусть $\lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C}$ быть линейным функционалом на ${\mathfrak {h}}$ . Тогда Весовое пространство V λ с весом является подпространством $V_{\lambda }$ предоставлено

V_{\lambda }:=\{v\in V:\forall H\in {\mathfrak {h}},\quad (\sigma (H))(v)=\lambda (H)v\}

.

Вес . представления V (представление часто называют векторным пространством V, над которым действуют элементы алгебры Ли, а не отображением) $\sigma$ ) — линейный функционал λ такой, что соответствующее весовое пространство не равно нулю. Ненулевые элементы весового пространства называются весовыми векторами . То есть весовой вектор — это одновременный собственный вектор действия элементов ${\mathfrak {h}}$ , с соответствующими собственными значениями, заданными λ.

Если V является прямой суммой своих весовых пространств

V=\bigoplus _{\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}V_{\lambda }

тогда V называется весовой модуль ; это соответствует существованию общего собственного базиса (базиса одновременных собственных векторов) для всех представляемых элементов алгебры, т. е. существованию одновременно диагонализируемых матриц (см. Диагонализуемые матрицы ).

Если G — группа с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ , каждое конечномерное представление G индуцирует представление ${\mathfrak {g}}$ . Тогда вес представления G — это просто вес ассоциированного представления группы G. ${\mathfrak {g}}$ . Существует тонкое различие между весами представлений групп и представлениями алгебры Ли, заключающееся в том, что в этих двух случаях существует разное понятие условия целостности; см. ниже. (Условие целостности является более строгим в случае группы, поскольку не каждое представление алгебры Ли происходит от представления группы.)

Действие корневых векторов

Для присоединенного представления $\mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})$ из ${\mathfrak {g}}$ , пространство, в котором действует представление, является самой алгеброй Ли. Тогда ненулевые веса называются корнями , весовые пространства называются корневыми пространствами , а весовые векторы, которые, таким образом, являются элементами ${\mathfrak {g}}$ , называются корневыми векторами . В явном виде линейный функционал $\alpha$ на ${\mathfrak {h}}$ называется корнем, если $\alpha \neq 0$ и существует ненулевое значение $X$ в ${\mathfrak {g}}$ такой, что

[H,X]=\alpha (H)X

для всех $H$ в ${\mathfrak {h}}$ . Собрание корней образует корневую систему .

С точки зрения теории представлений значение корней и корневых векторов заключается в следующем элементарном, но важном результате: если $\sigma :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)$ является представлением ${\mathfrak {g}}$ , v — весовой вектор с весом $\lambda$ и X — корневой вектор с корнем $\alpha$ , затем

\sigma (H)(\sigma (X)(v))=[(\lambda +\alpha )(H)](\sigma (X)(v))

для всех H в ${\mathfrak {h}}$ . То есть, $\sigma (X)(v)$ является либо нулевым вектором, либо весовым вектором с весом $\lambda +\alpha$ . Таким образом, действие $X$ отображает весовое пространство с весом $\lambda$ в весовое пространство с весом $\lambda +\alpha$ .

Например, если ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}_{\mathbb {C} }(2)$ , или ${\mathfrak {su}}(2)$ комплексные, корневые векторы ${H,X,Y}$ охватывать алгебру и иметь веса $0$ , $1$ , и $-1$ соответственно. Подалгебра Картана натянута на $H$ , и действие $H$ классифицирует весовые пространства. Действие $X$ отображает весовое пространство веса $\lambda$ к весовому пространству веса $\lambda +1$ и действие $Y$ отображает весовое пространство веса $\lambda$ к весовому пространству веса $\lambda -1$ , и действие $H$ отображает весовые пространства на себя. В фундаментальном представлении с весами $\pm {\frac {1}{2}}$ и весовые помещения $V_{\pm {\frac {1}{2}}}$ , $X$ карты $V_{+{\frac {1}{2}}}$ до нуля и $V_{-{\frac {1}{2}}}$ к $V_{+{\frac {1}{2}}}$ , пока $Y$ карты $V_{-{\frac {1}{2}}}$ до нуля и $V_{+{\frac {1}{2}}}$ к $V_{-{\frac {1}{2}}}$ , и $H$ отображает каждое весовое пространство на себя.

Интегральный элемент

Позволять ${\mathfrak {h}}_{0}^{*}$ быть реальным подпространством ${\mathfrak {h}}^{*}$ порожденный корнями ${\mathfrak {g}}$ , где ${\mathfrak {h}}^{*}$ – пространство линейных функционалов $\lambda :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C}$ , двойное пространство ${\mathfrak {h}}$ . Для вычислений удобно выбирать скалярное произведение, инвариантное относительно группы Вейля, т. е. относительно отражений о гиперплоскостях, ортогональных корням. Затем мы можем использовать этот внутренний продукт для идентификации ${\mathfrak {h}}_{0}^{*}$ с подпространством ${\mathfrak {h}}_{0}$ из ${\mathfrak {h}}$ . При такой идентификации корень связан с корнем $\alpha$ дается как

H_{\alpha }=2{\frac {\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}

где $(\alpha ,\beta )$ обозначает внутренний продукт векторов $\alpha ,\beta .$ В дополнение к этому внутреннему произведению обычно используется обозначение угловых скобок. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ будет использоваться при обсуждении корневых систем , с угловой скобкой, определяемой как $\langle \lambda ,\alpha \rangle \equiv (\lambda ,H_{\alpha }).$ Угловая скобка здесь не является внутренним произведением, поскольку она не симметрична и линейна только по первому аргументу. Обозначение угловой скобки не следует путать с внутренним произведением. $(\cdot ,\cdot ).$

Теперь мы определим два различных понятия целостности для элементов ${\mathfrak {h}}_{0}$ . Мотивация этих определений проста: веса конечномерных представлений ${\mathfrak {g}}$ удовлетворяют первому условию целостности, а если G — группа с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ , веса конечномерных представлений группы G удовлетворяют второму условию целочисленности.

Элемент $\lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}$ является алгебраически целым, если

(\lambda ,H_{\alpha })=2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z}

для всех корней $\alpha$ . Мотивацией этого условия является то, что корень $H_{\alpha }$ может быть отождествлен с элементом H в стандарте ${X,Y,H}$ основу для $sl(2,\mathbb {C} )$ -подалгебра ${\mathfrak {g}}$ . ^{[ 1 ]} По элементарным результатам для $sl(2,\mathbb {C} )$ , собственные значения $H_{\alpha }$ в любом конечномерном представлении должно быть целым числом. Приходим к выводу, что, как сказано выше, вес любого конечномерного представления ${\mathfrak {g}}$ является алгебраически целым. ^{[ 2 ]}

Основные веса $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$ определяются тем свойством, на основе которого они составляют ${\mathfrak {h}}_{0}$ двойственно множеству кокорней, связанных с простыми корнями . То есть фундаментальные веса определяются условием

2{\frac {(\omega _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{j},\alpha _{j})}}=\delta _{i,j}

где $\alpha _{1},\ldots \alpha _{n}$ это простые корни. Элемент $\lambda$ тогда является алгебраически целым тогда и только тогда, когда оно представляет собой целую комбинацию фундаментальных весов. ^{[ 3 ]} Набор всего ${\mathfrak {g}}$ -целые веса представляют собой решетку в ${\mathfrak {h}}_{0}$ называется решеткой весов для ${\mathfrak {g}}$ , обозначенный $P({\mathfrak {g}})$ .

На рисунке показан пример алгебры Ли. $sl(3,\mathbb {C} )$ , корневая система которого $A_{2}$ корневая система. Имеются два простых корня, $\gamma _{1}$ и $\gamma _{2}$ . Первый фундаментальный вес, $\omega _{1}$ , должно быть ортогонально $\gamma _{2}$ и должен проектироваться ортогонально половине $\gamma _{1}$ , и аналогично для $\omega _{2}$ . Решетка весов тогда является треугольной решеткой.

Предположим теперь, что алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли группы Ли G . Тогда мы говорим, что $\lambda \in {\mathfrak {h}}_{0}$ является аналитически целым ( G-интегралом ), если для каждого t в ${\mathfrak {h}}$ такой, что $\exp(t)=1\in G$ у нас есть $(\lambda ,t)\in 2\pi i\mathbb {Z}$ . Причина принятия этого определения состоит в том, что если представление ${\mathfrak {g}}$ возникает из представления G , то веса представления будут G -целыми. ^{[ 4 ]} Для полупростого G множество всех G -целых весов представляет собой подрешетку P ( G ) ⊂ P ( ${\mathfrak {g}}$ ). Если G односвязна P , то ( G ) = P ( ${\mathfrak {g}}$ ). Если G не односвязна, то решетка P ( G ) меньше P ( ${\mathfrak {g}}$ ) и их изоморфен фундаментальной группе G . фактор ^{[ 5 ]}

Частичное упорядочение в пространстве весов

Теперь мы введем частичное упорядочение множества весов, которое будет использовано для формулировки теоремы о старшем весе, описывающей представления ${\mathfrak {g}}$ . Напомним, что R — множество корней; сейчас мы исправим набор $R^{+}$ положительных корней .

Рассмотрим два элемента $\mu$ и $\lambda$ из ${\mathfrak {h}}_{0}$ . Нас в основном будет интересовать случай, когда $\mu$ и $\lambda$ являются целыми, но это предположение не является необходимым для определения, которое мы собираемся ввести. Мы тогда говорим, что $\mu$ выше , чем $\lambda$ , который мы запишем как $\mu \succeq \lambda$ , если $\mu -\lambda$ выражается как линейная комбинация положительных корней с неотрицательными действительными коэффициентами. ^{[ 6 ]} Грубо говоря, это означает, что «выше» означает направление положительных корней. Мы эквивалентно говорим, что $\lambda$ «ниже», чем $\mu$ , который мы запишем как $\lambda \preceq \mu$ .

Это лишь частичный порядок; это легко может случиться $\mu$ не выше и не ниже, чем $\lambda$ .

Доминирующий вес

Целочисленный элемент λ является доминантным , если $(\lambda ,\gamma )\geq 0$ для каждого положительного корня γ . Эквивалентно, λ является доминантным, если это неотрицательная целочисленная комбинация фундаментальных весов. В $A_{2}$ В этом случае доминирующие интегральные элементы живут в секторе 60 градусов. Понятие доминирования — это не то же самое, что быть выше нуля. Обратите внимание, что серая область на рисунке справа представляет собой сектор в 120 градусов, строго содержащий сектор в 60 градусов, соответствующий доминирующим целочисленным элементам.

Множество всех λ (не обязательно целых) таких, что $(\lambda ,\gamma )\geq 0$ известна как фундаментальная камера Вейля, связанная с данным набором положительных корней.

Теорема о старшем весе

Вес $\lambda$ представительства $V$ из ${\mathfrak {g}}$ называется старшим весом, если любой другой вес $V$ ниже, чем $\lambda$ .

Теория, классифицирующая конечномерные неприводимые представления ${\mathfrak {g}}$ осуществляется посредством «теоремы наивысшего веса». Теорема гласит, что ^{[ 7 ]}

(1) каждое неприводимое (конечномерное) представление имеет старший вес,

(2) старший вес всегда является доминирующим, алгебраически целым элементом,

(3) два неприводимых представления с одинаковым старшим весом изоморфны и

(4) каждый доминирующий, алгебраически целый элемент является старшим весом неприводимого представления.

Последний пункт самый трудный; представления могут быть построены с использованием модулей Верма .

Модуль с наибольшим весом

конечномерное) V Представление (не обязательно ${\mathfrak {g}}$ называется модулем старшего веса , если он порождается весовым вектором v ∈ V , который аннулируется действием всех положительных корневых пространств в ${\mathfrak {g}}$ . Каждый неприводимый ${\mathfrak {g}}$ -модуль с наибольшим весом обязательно является модулем с наибольшим весом, но в бесконечномерном случае модуль с наибольшим весом не обязательно должен быть неприводимым. Для каждого $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ — не обязательно доминантный или целочисленный — существует единственный (с точностью до изоморфизма) простой старший вес ${\mathfrak {g}}$ -модуль со старшим весом λ, который обозначается L (λ), но этот модуль бесконечномерен, если λ не является доминирующим целым. Можно показать, что каждый модуль старшего веса с наибольшим весом λ является фактором модуля Вермы M (λ). Это всего лишь повторение свойства универсальности в определении модуля Вермы.

Любой конечномерный модуль со старшим весом неприводим. ^{[ 8 ]}

См. также

Примечания

^ Фактически, учитывая набор коммутирующих матриц над алгебраически замкнутым полем , они одновременно триангуляризуемы , без необходимости предполагать, что они диагонализуемы.

Ссылки

^ Холл, 2015 г. Теорема 7.19 и уравнение. (7,9)
^ Зал 2015 г., Предложение 9.2.
^ Зал 2015 г. , Предложение 8.36
^ Зал 2015 г. , Предложение 12.5
^ Холл 2015 Следствие 13.8 и Следствие 13.20
^ Холл, 2015 г. Определение 8.39.
^ Холл, 2015 г., теоремы 9.4 и 9.5.
^ Это следует из (доказательства) предложения 6.13 в Hall 2015 вместе с общим результатом о полной сводимости конечномерных представлений полупростых алгебр Ли.

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 . .
Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (1998), Представления и инварианты классических групп , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9 .
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Хамфрис, Джеймс Э. (1972a), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN 978-0-387-90053-7 .
Хамфрис, Джеймс Э. (1972b), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 21, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90108-4 , МР 0396773
Кнапп, Энтони В. (2002), Группы лжи за пределами введения (2-е изд.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4259-4 .

[1] Фактически, учитывая набор коммутирующих матриц над алгебраически замкнутым полем , они одновременно триангуляризуемы , без необходимости предполагать, что они диагонализуемы.

[2] Холл, 2015 г. Теорема 7.19 и уравнение. (7,9)

[3] Зал 2015 г., Предложение 9.2.

[4] Зал 2015 г. , Предложение 8.36

[5] Зал 2015 г. , Предложение 12.5

[6] Холл 2015 Следствие 13.8 и Следствие 13.20

[7] Холл, 2015 г. Определение 8.39.

[8] Холл, 2015 г., теоремы 9.4 и 9.5.

[9] Это следует из (доказательства) предложения 6.13 в Hall 2015 вместе с общим результатом о полной сводимости конечномерных представлений полупростых алгебр Ли.

[ примечание 1 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]