Полупростая алгебра Ли

В математике алгебра Ли называется полупростой , если она представляет собой прямую сумму простых алгебр Ли . (Простая алгебра Ли — это неабелева алгебра Ли без каких-либо ненулевых собственных идеалов .)

На протяжении всей статьи, если не указано иное, алгебра Ли — это конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0. Для такой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$, если ненулевое значение, следующие условия эквивалентны:

• ${\mathfrak {g}}$ является полупростым;
• форма Киллинга κ(x,y) = tr(ad( x )ad( y )), невырождена ;
• ${\mathfrak {g}}$ не имеет ненулевых абелевых идеалов;
• ${\mathfrak {g}}$ не имеет ненулевых разрешимых идеалов;
• радикал ) (максимальный разрешимый идеал ${\mathfrak {g}}$ равен нулю.

Значение

Значение полупростоты исходит, во-первых, из разложения Леви , которое утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли является полупрямым произведением разрешимого идеала (его радикала) и полупростой алгебры. В частности, не существует ненулевой алгебры Ли, которая была бы одновременно разрешимой и полупростой.

Полупростые алгебры Ли имеют очень элегантную классификацию, в отличие от разрешимых алгебр Ли . Полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики полностью классифицируются по своей системе корней , которые, в свою очередь, классифицируются диаграммами Дынкина . Полупростые алгебры над неалгебраически замкнутыми полями можно понимать в терминах алгебр над алгебраическим замыканием, хотя классификация несколько сложнее; см. реальную форму для случая вещественных полупростых алгебр Ли, которые были классифицированы Эли Картаном .

Кроме того, теория представлений полупростых алгебр Ли гораздо чище, чем теория представлений общих алгебр Ли. Например, йордановое разложение в полупростой алгебре Ли совпадает с йордановым разложением в ее представлении; для алгебр Ли в целом это не так.

Если ${\mathfrak {g}}$ полупросто, то ${\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$. В частности, каждая линейная полупростая алгебра Ли является подалгеброй ${\mathfrak {sl}}$, специальная линейная алгебра Ли . Изучение структуры ${\mathfrak {sl}}$ составляет важную часть теории представлений полупростых алгебр Ли.

История

Полупростые алгебры Ли над комплексными числами были впервые классифицированы Вильгельмом Киллингом (1888–90), хотя его доказательству не хватало строгости. Его доказательство было строгим Эли Картаном (1894 г.) в его докторской диссертации. диссертацию, которая также классифицировала полупростые вещественные алгебры Ли. Впоследствии она была уточнена, и нынешняя классификация с помощью диаграмм Дынкина была дана тогдашним 22-летним Евгением Дынкиным в 1947 году. Были сделаны некоторые незначительные изменения (в частности, Ж. П. Серром), но доказательство по своей сути не изменилось и может быть можно найти в любой стандартной ссылке, например ( Humphreys 1972 ).

Основные свойства

• Каждый идеал, фактор и произведение полупростых алгебр Ли снова полупросты.
• Центр полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ тривиален (поскольку центр является абелевым идеалом). Другими словами, присоединенное представление $\operatorname {ad}$ является инъективным. Более того, изображение получается быть $\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})$ выводов ​ на ${\mathfrak {g}}$. Следовательно, $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})$ является изоморфизмом. (Это частный случай леммы Уайтхеда .)
• Поскольку присоединенное представление инъективно, полупростая алгебра Ли является линейной алгеброй Ли относительно присоединенного представления. Это может привести к некоторой двусмысленности, поскольку каждая алгебра Ли уже линейна относительно некоторого другого векторного пространства ( теорема Адо ), хотя и не обязательно через присоединенное представление. Но на практике такая двусмысленность встречается редко.
• Если ${\mathfrak {g}}$ — полупростая алгебра Ли, то ${\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ (потому что ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ полупрост и абелев).
• Конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем k нулевой характеристики полупросто тогда и только тогда, когда базовое расширение ${\mathfrak {g}}\otimes _{k}F$ является полупростым для каждого расширения поля $F\supset k$. Так, например, конечномерная вещественная алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда ее комплексификация полупроста.

Жордановое разложение

Каждый эндоморфизм x конечномерного векторного пространства над полем нулевой характеристики однозначно разлагается на полупростую (т. е. диагонализируемую над алгебраическим замыканием) и нильпотентную часть

$x=s+n\$

такие, что s и n коммутируют друг с другом. Более того, каждый из s и n является полиномом от x . Это разложение x . жордановое

Сказанное выше относится к присоединенному представлению $\operatorname {ad}$ полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$. Элемент x из ${\mathfrak {g}}$ называется полупростым (соответственно нильпотентным), если $\operatorname {ad} (x)$ — полупростой (соответственно нильпотентный) оператор. Если $x\in {\mathfrak {g}}$, то абстрактное разложение Жордана утверждает, что x можно однозначно записать как:

$x=s+n$

где $s$ является полупростым, $n$ является нильпотентным и $[s,n]=0$. Более того, если $y\in {\mathfrak {g}}$ коммутирует с x , затем коммутирует с обоими $s,n$ также.

Абстрактные факторы разложения Жордана через любое представление ${\mathfrak {g}}$ в том смысле, что для любого представления ρ

$\rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,$

является йордановым разложением ρ( x ) в алгебре эндоморфизмов пространства представления. (Это доказано как следствие теоремы Вейля о полной сводимости ; см. теорему Вейля о полной сводимости#Применение: сохранение жорданового разложения .)

Структура

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — (конечномерная) полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Структура ${\mathfrak {g}}$ может быть описана присоединенным действием на него некоторой выделенной подалгебры — подалгебры Картана . По определению, ( подалгебра Картана также называемая максимальной торической подалгеброй ) ${\mathfrak {h}}$ из ${\mathfrak {g}}$ — максимальная подалгебра такая, что для каждого $h\in {\mathfrak {h}}$, $\operatorname {ad} (h)$ является диагонализируемым . Как оказалось, ${\mathfrak {h}}$ является абелевым, поэтому все операторы в $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ диагонализуемы одновременно . Для каждого линейного функционала $\alpha$ из ${\mathfrak {h}}$, позволять

${\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|\operatorname {ad} (h)x:=[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ for all }}h\in {\mathfrak {h}}\}$.

(Обратите внимание, что ${\mathfrak {g}}_{0}$ является централизатором ​ ${\mathfrak {h}}$.) Затем

Разложение корневого пространства — Дана картановская подалгебра. ${\mathfrak {h}}$, он утверждает, что ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}$ и происходит разложение (как ${\mathfrak {h}}$-модуль):

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

где $\Phi$ — множество всех ненулевых линейных функционалов $\alpha$ из ${\mathfrak {h}}$ такой, что ${\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq \{0\}$. Более того, для каждого $\alpha ,\beta \in \Phi$,

• $[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }$, что является равенством, если $\alpha +\beta \neq 0$.
• $[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]\oplus {\mathfrak {g}}_{-\alpha }\oplus {\mathfrak {g}}_{\alpha }\simeq {\mathfrak {sl}}_{2}$ как алгебра Ли.
• $\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1$; в частности, $\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi$.
• ${\mathfrak {g}}_{2\alpha }=\{0\}$; другими словами, $2\alpha \not \in \Phi$.
• Что касается формы Киллинга B , ${\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }$ ортогональны друг другу, если $\alpha +\beta \neq 0$; ограничение B на ${\mathfrak {h}}$ является невырожденным.

(Самое сложное для показа — это $\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1$. Все стандартные доказательства используют некоторые факты из теории представлений. ${\mathfrak {sl}}_{2}$; например, Серр использует тот факт, что ${\mathfrak {sl}}_{2}$-модуль с примитивным элементом отрицательного веса бесконечномерен, что противоречит $\dim {\mathfrak {g}}<\infty$.)

Позволять $h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }$ с коммутационными соотношениями $[e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }$; то есть, $h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }$ соответствуют стандартной основе ${\mathfrak {sl}}_{2}$.

Линейные функционалы в $\Phi$ называются корнями ​ ${\mathfrak {g}}$ относительно ${\mathfrak {h}}$. Корни простираются ${\mathfrak {h}}^{*}$ (поскольку если $\alpha (h)=0,\alpha \in \Phi$, затем $\operatorname {ad} (h)$ – нулевой оператор; то есть, $h$ находится в центре, который равен нулю.) Более того, из теории представлений ${\mathfrak {sl}}_{2}$, можно вывести следующие симметрии и интегральные свойства $\Phi$: для каждого $\alpha ,\beta \in \Phi$,

• Эндоморфизм

  $s_{\alpha }:{\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {h}}^{*},\,\gamma \mapsto \gamma -\gamma (h_{\alpha })\alpha$

  листья $\Phi$ инвариант (т.е. $s_{\alpha }(\Phi )\subset \Phi$).
• $\beta (h_{\alpha })$ является целым числом.

Обратите внимание, что $s_{\alpha }$ обладает свойствами (1) $s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha$ и (2) множество фиксированных точек есть $\{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}$, а это значит, что $s_{\alpha }$ – отражение относительно гиперплоскости, соответствующее $\alpha$. Вышеупомянутое тогда говорит, что $\Phi$ это корневая система .

Из общей теории корневой системы следует, что $\Phi$ содержит основу $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}$ из ${\mathfrak {h}}^{*}$ такая, что каждый корень представляет собой линейную комбинацию $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}$ с целыми коэффициентами одного знака; корни $\alpha _{i}$ называются простыми корнями . Позволять $e_{i}=e_{\alpha _{i}}$и т. д. Тогда $3l$ элементы $e_{i},f_{i},h_{i}$ (называемые генераторами Шевалле ) генерируют ${\mathfrak {g}}$ как алгебра Ли. Более того, они удовлетворяют соотношениям (называемым отношениями Серра ): при $a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})$,

$[h_{i},h_{j}]=0,$

$[e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,$

$[h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},$

$\operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j$.

Обратное утверждение также верно: т. е. алгебра Ли, порожденная генераторами и соотношениями, подобными приведенным выше, является (конечномерной) полупростой алгеброй Ли, которая имеет разложение корневого пространства, как указано выше (при условии, что $[a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}$ является матрицей Картана ). Это теорема Серра . В частности, две полупростые алгебры Ли изоморфны, если они имеют одну и ту же систему корней.

Следствием аксиоматической природы корневой системы и теоремы Серра является то, что можно перечислить все возможные корневые системы; следовательно, «все возможные» полупростые алгебры Ли (конечномерные над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики).

Группа Вейля — это группа линейных преобразований ${\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}$ созданный $s_{\alpha }$х. Группа Вейля представляет собой важную симметрию проблемы; например, веса любого конечномерного представления ${\mathfrak {g}}$ инвариантны относительно группы Вейля.

Пример разложения корневого пространства в sl _n (C)

Для ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ и подалгебра Картана ${\mathfrak {h}}$ диагональных матриц определим $\lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}$ к

$\lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}$,

где $d(a_{1},\ldots ,a_{n})$ обозначает диагональную матрицу с $a_{1},\ldots ,a_{n}$ по диагонали. Тогда разложение имеет вид

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)$

где

${\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C} }(e_{ij})$

для вектора $e_{ij}$ в ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ со стандартным (матричным) базисом, т.е. $e_{ij}$ представляет базисный вектор в $i$-й ряд и $j$-й столбец. Это разложение ${\mathfrak {g}}$ имеет связанную корневую систему:

$\Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}$

сл ₂ (С)

Например, в ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ разложение

${\mathfrak {sl}}_{2}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}$

и соответствующая корневая система

$\Phi =\{\lambda _{1}-\lambda _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}\}$

сл ₃ (С)

В ${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbb {C} )$ разложение

${\mathfrak {sl}}_{3}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{2}}$

и соответствующая корневая система определяется выражением

$\Phi =\{\pm (\lambda _{1}-\lambda _{2}),\pm (\lambda _{1}-\lambda _{3}),\pm (\lambda _{2}-\lambda _{3})\}$

Примеры

Как отмечено в #Structure , полупростые алгебры Ли над $\mathbb {C}$ (или, в более общем смысле, алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики) классифицируются по корневой системе, связанной с их подалгебрами Картана, а корневые системы, в свою очередь, классифицируются по их диаграммам Дынкина.Примерами полупростых алгебр Ли, классических алгебр Ли , с обозначениями, взятыми из их диаграмм Дынкина , являются:

• $A_{n}:$ ${\mathfrak {sl}}_{n+1}$, специальная линейная алгебра Ли .
• $B_{n}:$ ${\mathfrak {so}}_{2n+1}$, нечетномерная специальная ортогональная алгебра Ли .
• $C_{n}:$ ${\mathfrak {sp}}_{2n}$, симплектическая алгебра Ли .
• $D_{n}:$ ${\mathfrak {so}}_{2n}$, четномерная специальная ортогональная алгебра Ли ( $n>1$).

Ограничение $n>1$ в $D_{n}$ семья нужна, потому что ${\mathfrak {so}}_{2}$ является одномерным и коммутативным и, следовательно, не полупростым.

Эти алгебры Ли пронумерованы так, что n — это ранг . Почти все эти полупростые алгебры Ли на самом деле просты, и почти все члены этих семейств различны, за исключением некоторых коллизий малого ранга. Например ${\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}$ и ${\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}$. семейства вместе с пятью исключениями ( , _Эти F4 и _{единственными} G2 ) _{E6, E7, E8} фактически являются _четыре над простыми _{комплексными} алгебрами Ли числами.

Классификация

См. Также: Корневая система

Простые алгебры Ли классифицируются связными диаграммами Дынкина .

Каждая полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 является прямой суммой простых алгебр Ли (по определению), а конечномерные простые алгебры Ли делятся на четыре семейства – An _, Bn _, Cn _и Dn _. – за пятью исключениями Е ₆ , Е ₇ , Е ₈ , F ₄ и G ₂ . Простые алгебры Ли классифицируются связными диаграммами Дынкина , показанными справа, а полупростые алгебры Ли соответствуют не обязательно связным диаграммам Дынкина, где каждый компонент диаграммы соответствует слагаемому разложения полупростой алгебры Ли на простые алгебры Ли. .

Классификация продолжается путем рассмотрения подалгебры Картана (см. ниже) и присоединенного к ней действия на алгебре Ли. Тогда корневая система действия определяет исходную алгебру Ли и должна иметь очень ограниченную форму, которую можно классифицировать с помощью диаграмм Дынкина. Более подробную информацию см. в разделе ниже, описывающем подалгебры Картана и корневые системы.

Эта классификация широко считается одним из самых элегантных результатов в математике: краткий список аксиом позволяет посредством относительно короткого доказательства получить полную, но нетривиальную классификацию с удивительной структурой. Это следует сравнить с классификацией конечных простых групп , которая существенно сложнее.

Перечисление четырех семейств не избыточно и состоит только из простых алгебр, если $n\geq 1$ для А _н , $n\geq 2$ для _Bn , $n\geq 3$ для C _n и $n\geq 4$ для Д _н . Если начать нумерацию ниже, то перечисление становится излишним и возникают исключительные изоморфизмы между простыми алгебрами Ли, которые отражаются в изоморфизмах диаграмм Дынкина ; Еп _{также могут} быть продолжены вниз, но ниже Е6 _{изоморфны} другим, неисключительным алгебрам.

Над неалгебраически замкнутым полем классификация сложнее: классифицируются простые алгебры Ли над алгебраическим замыканием, затем для каждой из них классифицируются простые алгебры Ли над исходным полем, имеющие такой вид (над замыканием). Например, для классификации простых вещественных алгебр Ли классифицируются вещественные алгебры Ли с заданной комплексификацией, которые известны как вещественные формы комплексной алгебры Ли; это можно сделать с помощью диаграмм Сатаке , которые представляют собой диаграммы Дынкина с дополнительными данными («украшениями»).

Теория представлений полупростых алгебр Ли

Основная статья: Теория представлений полупростых алгебр Ли

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — (конечномерная) полупростая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Затем, как и в #Structure , ${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ где $\Phi$ это корневая система. Выберите простые корни в $\Phi$; корень $\alpha$ из $\Phi$ тогда называется положительным и обозначается $\alpha >0$ если это линейная комбинация простых корней с целыми неотрицательными коэффициентами. Позволять ${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$, которая является максимальной разрешимой подалгеброй в ${\mathfrak {g}}$, подалгебра Бореля .

Пусть V — (возможно, бесконечномерное) простое ${\mathfrak {g}}$-модуль. Если V случайно признает ${\mathfrak {b}}$-весовой вектор $v_{0}$, с точностью до масштабирования и называется вектором с наибольшим весом V тогда он уникален . Это также ${\mathfrak {h}}$-весовой вектор и ${\mathfrak {h}}$-вес $v_{0}$, линейный функционал от ${\mathfrak {h}}$ называется старшим весом V . , Основные, но нетривиальные факты тогда относятся (1) к каждому линейному функционалу $\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}$, существует простой ${\mathfrak {g}}$-модуль $V^{\mu }$ имея $\mu$ как его наибольший вес, и (2) два простых модуля, имеющих одинаковый наибольший вес, эквивалентны. Короче говоря, существует биекция между ${\mathfrak {h}}^{*}$ и множество классов эквивалентности простых ${\mathfrak {g}}$-модули, допускающие вектор борелевского веса.

Для приложений часто интересуют конечномерные простые ${\mathfrak {g}}$-модуль (конечномерное неприводимое представление). Это особенно актуально, когда ${\mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли группы Ли (или ее комплексификацией), поскольку с помощью соответствия Ли представление алгебры Ли может быть интегрировано в представление группы Ли при преодолении препятствий. Следующий критерий удовлетворяет эту потребность: с помощью положительной камеры Вейля $C\subset {\mathfrak {h}}^{*}$, мы имеем в виду выпуклый конус $C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}$ где $h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]$ – уникальный вектор такой, что $\alpha (h_{\alpha })=2$. Тогда критерий звучит так:

• $\dim V^{\mu }<\infty$ тогда и только тогда, когда для каждого положительного корня $\alpha >0$, (1) $\mu (h_{\alpha })$ является целым числом и (2) $\mu$ лежит в $C$.

Линейный функционал $\mu$ удовлетворяющий приведенному выше эквивалентному условию, называется доминирующим целым весом. Таким образом, существует биекция между доминирующими целочисленными весами и классами эквивалентности конечномерных простых ${\mathfrak {g}}$-модулей, результат, известный как теорема о старшем весе . Характер конечномерного простого модуля поочередно вычисляется по формуле характера Вейля .

Теорема Вейля гласит, что над полем нулевой характеристики каждый конечномерный модуль полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ приводима полностью ; т. е. это прямая сумма простых ${\mathfrak {g}}$-модули. Следовательно, приведенные выше результаты применимы к конечномерным представлениям полупростой алгебры Ли.

Вещественная полупростая алгебра Ли

Для полупростой алгебры Ли над полем, имеющим нулевую характеристику, но не алгебраически замкнутым, не существует общей теории структуры, подобной теории над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Но над полем действительных чисел все еще есть результаты структуры.

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная вещественная полупростая алгебра Ли и ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ его усложнение (что опять-таки полупросто). Настоящая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ называется реальной формой ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }$. Вещественная форма называется компактной, если форма Киллинга на ней отрицательно определена; это обязательно алгебра Ли компактной группы Ли (отсюда и название).

Компактный корпус

Предполагать ${\mathfrak {g}}$ представляет собой компактную форму и ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ максимальное абелево подпространство. Можно показать (например, исходя из того, что ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли компактной группы Ли), что $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ состоит из косоэрмитовых матриц, диагонализуемых по $\mathbb {C}$ с мнимыми собственными значениями. Следовательно, ${\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }$ является подалгеброй картановской ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }$ и это приводит к разложению корневого пространства (см. #Structure )

${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

где каждый $\alpha \in \Phi$ имеет реальную стоимость на $i{\mathfrak {h}}$; таким образом, может быть отождествлен с вещественно-линейным функционалом в действительном векторном пространстве $i{\mathfrak {h}}$.

Например, пусть ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(n)$ и возьми ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ подпространство всех диагональных матриц. Примечание ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$. Позволять $e_{i}$ — линейный функционал от ${\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }$ данный $e_{i}(H)=h_{i}$ для $H=\operatorname {diag} (h_{1},\dots ,h_{n})$. Тогда для каждого $H\in {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }$,

$[H,E_{ij}]=(e_{i}(H)-e_{j}(H))E_{ij}$

где $E_{ij}$ - это матрица, имеющая 1 на $(i,j)$-е место и ноль в другом месте. Следовательно, каждый корень $\alpha$ имеет форму $\alpha =e_{i}-e_{j},i\neq j$ а разложение корневого пространства — это разложение матриц:

${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{i\neq j}\mathbb {C} E_{ij}.$

Некомпактный корпус

Предполагать ${\mathfrak {g}}$ не обязательно является компактной формой (т. е. не вся сигнатура формы Киллинга отрицательна). Предположим, кроме того, что он имеет картановскую инволюцию $\theta$ и пусть ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ быть разложением по собственным пространствам $\theta$, где ${\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}$ являются собственными пространствами для 1 и -1 соответственно. Например, если ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {R}$ и $\theta$ отрицательное транспонирование, затем ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(n)$.

Позволять ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}$ — максимальное абелевое подпространство. Сейчас, $\operatorname {ad} ({\mathfrak {p}})$ состоит из симметричных матриц (относительно подходящего внутреннего произведения) и, следовательно, операторов в $\operatorname {ad} ({\mathfrak {a}})$ одновременно диагонализуемы и имеют действительные собственные значения. Повторяя аргументы для алгебраически замкнутого базового поля, можно получить разложение (называемое разложением ограниченного корневого пространства ):

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

где

• элементы в $\Phi$ называются ограниченными корнями ,
• $\theta ({\mathfrak {g}}_{\alpha })={\mathfrak {g}}_{-\alpha }$ для любого линейного функционала $\alpha$; в частности, $-\Phi \subset \Phi$,
• ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {a}}\oplus Z_{\mathfrak {k}}({\mathfrak {a}})$.

Более того, $\Phi$ , корневая система но не обязательно редуцированная (т.е. может случиться $\alpha ,2\alpha$ оба корня).

Случай sl(n,C)

Если ${\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )$, затем ${\mathfrak {h}}$ можно считать диагональной подалгеброй ${\mathfrak {g}}$, состоящая из диагональных матриц, сумма диагональных элементов которых равна нулю. С ${\mathfrak {h}}$ имеет размерность $n-1$, мы видим это $\mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )$ имеет ранг $n-1$.

Корневые векторы $X$ в этом случае можно принять за матрицы $E_{i,j}$ с $i\neq j$, где $E_{i,j}$ это матрица с 1 в $(i,j)$ пятно и нули в другом месте. Если $H$ представляет собой диагональную матрицу с диагональными элементами $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$, тогда мы имеем

$[H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}$.

Таким образом, корни для $\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )$ – линейные функционалы $\alpha _{i,j}$ данный

$\alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}$.

После выявления ${\mathfrak {h}}$ с его двойником корни становятся векторами $\alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}$ в пространстве $n$-кортежи, сумма которых равна нулю. Это корневая система, известная как $A_{n-1}$ в традиционной маркировке.

Отражение, связанное с корнем $\alpha _{i,j}$ действует на ${\mathfrak {h}}$ путем транспонирования $i$ и $j$ диагональные входы. Тогда группа Вейля — это просто группа перестановок на $n$ элементы, действуя путем перестановки диагональных элементов матриц в ${\mathfrak {h}}$.

Обобщения

Основные статьи: Редуктивная алгебра Ли и расщепленная алгебра Ли

Полупростые алгебры Ли допускают некоторые обобщения. Во-первых, многие утверждения, верные для полупростых алгебр Ли, в более общем смысле верны и для редуктивных алгебр Ли . Абстрактно, редуктивная алгебра Ли — это та, присоединенное представление которой полностью приводимо , а конкретно, редуктивная алгебра Ли — это прямая сумма полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли ; например, ${\mathfrak {sl}}_{n}$ является полупростым, и ${\mathfrak {gl}}_{n}$ является редуктивным. Многие свойства полупростых алгебр Ли зависят только от сводимости.

Многие свойства комплексных полупростых/редуктивных алгебр Ли верны не только для полупростых/редуктивных алгебр Ли над алгебраически замкнутыми полями, но, в более общем плане, для расщепляемых полупростых/редуктивных алгебр Ли над другими полями: полупростые/редуктивные алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями всегда расщепляются. , но с другими полями это не всегда так. Расщепляемые алгебры Ли имеют по существу ту же теорию представлений, что и полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутыми полями, например, расщепляющая подалгебра Картана играет ту же роль, что и подалгебра Картана над алгебраически замкнутыми полями. Это подход, использованный, например, в ( Bourbaki 2005 ), который классифицирует представления расщепляемых полупростых/редуктивных алгебр Ли.

Полупростые и редуктивные группы

Связная группа Ли называется полупростой, если ее алгебра Ли является полупростой алгеброй Ли, т. е. прямой суммой простых алгебр Ли. Она называется редуктивной , если ее алгебра Ли представляет собой прямую сумму простых и тривиальных (одномерных) алгебр Ли. Редуктивные группы естественным образом возникают как симметрии ряда математических объектов в алгебре, геометрии и физике. Например, группа $GL_{n}(\mathbb {R} )$ симметрий n -мерного вещественного векторного пространства (т. е. группы обратимых матриц) редуктивна.

См. также

• Алгебра Ли
• Корневая система
• Представление алгебры Ли
• Компактная группа
• Группа «Простая ложь»
• Борелевская подалгебра
• Теорема Джейкобсона – Морозова.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (2005), «VIII: разделенные полупростые алгебры Ли» , Элементы математики: группы Ли и алгебры Ли: главы 7–9 , Springer, ISBN  9783540434054
• Эрдманн, Карин ; Уилдон, Марк (2006), Введение в алгебры Ли (1-е изд.), Springer, ISBN  1-84628-040-0 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90053-7 .
• Джейкобсон, Натан (1979) [1962]. Алгебры Ли . Dover Publications, Inc. Нью-Йорк: ISBN  0-486-63832-4 .
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы лжи за пределами введения (2-е изд.), Birkhäuser
• Серр, Жан-Пьер (2000), полупростые Комплексные алгебры Ли , перевод Джонса, Джорджия, Спрингер, ISBN  978-3-540-67827-4 .
• Варадараджан, В.С. (2004), Группы Ли, алгебры Ли и их представления (1-е изд.), Springer, ISBN  0-387-90969-9 .