Специальная линейная алгебра Ли
Группы Ли и алгебры Ли |
---|
В математике — специальная линейная алгебра Ли порядка n над полем. , обозначенный или , является алгеброй Ли всех матрицы (с записями в ) с следом нулевым и со скобкой Ли заданный коммутатором . Эта алгебра хорошо изучена и понятна и часто используется как модель для изучения других алгебр Ли. Группа Ли , которую он порождает, является специальной линейной группой .
Приложения
[ редактировать ]Алгебра Ли занимает центральное место в изучении специальной теории относительности , общей теории относительности и суперсимметрии : его фундаментальным представлением является так называемое спинорное представление , а его присоединенное представление порождает группу Лоренца SO(3,1) специальной теории относительности.
Алгебра играет важную роль в изучении хаоса и фракталов , так как порождает группу Мёбиуса SL(2, R ) , описывающую автоморфизмы гиперболической плоскости — простейшей римановой поверхности отрицательной кривизны; напротив, SL(2, C ) описывает автоморфизмы гиперболического трехмерного шара.
Теория представлений
[ редактировать ]Теория представлений sl 2 C
[ редактировать ]Алгебра Ли является трехмерной комплексной алгеброй Ли. Его определяющей особенностью является то, что он содержит в себе основу удовлетворяющие коммутационным соотношениям
- , , и .
Это основа Картана-Вейля для .Он имеет явную реализацию в терминах комплексных матриц 2х2 с нулевым следом:
- , , .
Это фундаментальное или определяющее представление для .
Алгебра Ли можно рассматривать как подпространство его универсальной обертывающей алгебры и, в , имеются следующие коммутаторные соотношения, показанные по индукции : [1]
- ,
- .
Обратите внимание, что здесь полномочия и т. д. называют степени элементами алгебры U , а не степенями матрицы. Первый основной факт (который следует из приведенных выше коммутаторных соотношений) таков: [1]
Лемма — Пусть быть представителем и вектор в нем. Набор для каждого . Если является собственным вектором действия ; то есть, для некоторого комплексного числа , то для каждого ,
- .
- .
- .
Из этой леммы вытекает следующий фундаментальный результат: [2]
Теорема — Пусть быть представителем которое может иметь бесконечное измерение и вектор в это -весовой вектор ( является борелевской подалгеброй ). [3] Затем
- Те ненулевые числа линейно независимы .
- Если некоторые равен нулю, то - собственное значение v числом является неотрицательным целым такой, что ненулевые и . Более того, подпространство, охватываемое 's - неприводимый -субпредставительство .
Первое утверждение верно, поскольку либо равно нулю или имеет -собственное значение, отличное от собственных значений других, отличных от нуля. Говоря это -весовой вектор эквивалентен утверждению, что он одновременно является собственным вектором и ; затем краткий расчет показывает, что в этом случае -собственное значение равен нулю: . Таким образом, для некоторого целого числа , и, в частности, по ранней лемме
что подразумевает, что . Осталось показать является нередуцируемым. Если является подпредставлением, то оно допускает собственный вектор, который должен иметь собственное значение вида ; таким образом, пропорционально . По предыдущей лемме имеем находится в и таким образом .
Как следствие , можно сделать вывод:
- Если имеет конечную размерность и неприводима, то -собственное значение v является неотрицательным целым числом и имеет основу .
- И наоборот , если -собственное значение является неотрицательным целым числом и неприводима, то имеет основу ; в частности, имеет конечную размерность.
Прекрасный частный случай показывает общий способ найти неприводимые представления алгебр Ли. А именно, мы разделим алгебру на три подалгебры «h» ( подалгебра Картана ), «e» и «f», которые ведут себя примерно так же, как их однофамильцы в . А именно, в неприводимом представлении у нас есть «старший» собственный вектор «h», на котором «e» действует нулем. Базис неприводимого представления порождается действием «f» на старшие собственные векторы «h». См. теорему о старшем весе .
Теория представлений sl n C
[ редактировать ]Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( сентябрь 2020 г. ) |
Когда для комплексного векторного пространства размера , каждое конечномерное неприводимое представление можно найти как подпредставление тензорной степени . [4]
Алгебра Ли может быть явно реализована как матричная алгебра Ли бесследовой матрицы. Это фундаментальное представление для .
Набор быть матрицей с единицей в запись и нули везде. Затем
Сформировать основу для . Технически это злоупотребление обозначениями, и на самом деле это изображение основы в фундаментальном представлении.
Более того, на самом деле это базис Картана–Вейля с охватывающую подалгебру Картана. Знакомство с обозначениями если , и , также если , являются положительными корнями и соответствующие отрицательные корни.
Базис простых корней определяется выражением для .
Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Cac 1990 , § 3.2, стр. 30–31.
- ^ Серр 2001 , Глава IV, § 3, Теорема 1. Следствие 1.
- ^ Такой также обычно называют примитивным элементом .
- ^ Теплица 2001 , Гл. VII, абзац 6.
Ссылки
[ редактировать ]- Этингоф, Павел. « Конспекты лекций по теории представлений ».
- Кац, Виктор (1990). «Интегрируемые представления алгебр Каца – Муди и группы Вейля». Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511626234.004 . ISBN 0-521-46693-8 .
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер
- А. Л. Онищик, Е. Б. Винберг , В. В. Горбацевич, Строение групп Ли и алгебр Ли . Группы Ли и алгебры Ли, III. Энциклопедия математических наук, 41. Springer-Verlag, Берлин, 1994. iv+248 с. (Перевод «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 41», АН СССР, Всесоюз. Ин-т наук и техн. Информ., М., 1990. Перевод В. Миначина. Перевод под редакцией А. Л. Онищика и Е. Б. Винберга. ISBN 3-540-54683-9
- В.Л. Попов , Е.Б. Винберг, Теория инвариантов . Алгебраическая геометрия. IV. Линейные алгебраические группы. Энциклопедия математических наук, 55. Springer-Verlag, Берлин, 1994. vi+284 с. (Перевод Алгебраической геометрии. 4, АН СССР Всесоюз. Инт. наук и техн. информ., Москва, 1989. Перевод). под редакцией А.Н. Паршина и И.Р. Шафаревича) ISBN 3-540-54682-0
- Серр, Жан-Пьер (2001), Ли алгебры Комплексные полупростые , перевод Джонса, Джорджия, Спрингера, doi : 10.1007/978-3-642-56884-8 , ISBN 978-3-540-67827-4 .