Jump to content

Специальная линейная алгебра Ли

(Перенаправлено из Теории представлений sl 2 )

В математике специальная линейная алгебра Ли порядка n над полем. , обозначенный или , является алгеброй Ли всех матрицы (с записями в ) с следом нулевым и со скобкой Ли заданный коммутатором . Эта алгебра хорошо изучена и понятна и часто используется как модель для изучения других алгебр Ли. Группа Ли , которую он порождает, является специальной линейной группой .

Приложения

[ редактировать ]

Алгебра Ли занимает центральное место в изучении специальной теории относительности , общей теории относительности и суперсимметрии : его фундаментальным представлением является так называемое спинорное представление , а его присоединенное представление порождает группу Лоренца SO(3,1) специальной теории относительности.

Алгебра играет важную роль в изучении хаоса и фракталов , так как порождает группу Мёбиуса SL(2, R ) , описывающую автоморфизмы гиперболической плоскости — простейшей римановой поверхности отрицательной кривизны; напротив, SL(2, C ) описывает автоморфизмы гиперболического трехмерного шара.

Теория представлений

[ редактировать ]

Теория представлений sl 2 C

[ редактировать ]

Алгебра Ли является трехмерной комплексной алгеброй Ли. Его определяющей особенностью является то, что он содержит в себе основу удовлетворяющие коммутационным соотношениям

, , и .

Это основа Картана-Вейля для .Он имеет явную реализацию в терминах комплексных матриц 2х2 с нулевым следом:

, , .

Это фундаментальное или определяющее представление для .

Алгебра Ли можно рассматривать как подпространство его универсальной обертывающей алгебры и, в , имеются следующие коммутаторные соотношения, показанные по индукции : [1]

,
.

Обратите внимание, что здесь полномочия и т. д. называют степени элементами алгебры U , а не степенями матрицы. Первый основной факт (который следует из приведенных выше коммутаторных соотношений) таков: [1]

Лемма Пусть быть представителем и вектор в нем. Набор для каждого . Если является собственным вектором действия ; то есть, для некоторого комплексного числа , то для каждого ,

  • .
  • .
  • .

Из этой леммы вытекает следующий фундаментальный результат: [2]

Теорема Пусть быть представителем которое может иметь бесконечное измерение и вектор в это -весовой вектор ( является борелевской подалгеброй ). [3] Затем

  • Те ненулевые числа линейно независимы .
  • Если некоторые равен нулю, то - собственное значение v числом является неотрицательным целым такой, что ненулевые и . Более того, подпространство, охватываемое 's - неприводимый -субпредставительство .

Первое утверждение верно, поскольку либо равно нулю или имеет -собственное значение, отличное от собственных значений других, отличных от нуля. Говоря это -весовой вектор эквивалентен утверждению, что он одновременно является собственным вектором и ; затем краткий расчет показывает, что в этом случае -собственное значение равен нулю: . Таким образом, для некоторого целого числа , и, в частности, по ранней лемме

что подразумевает, что . Осталось показать является нередуцируемым. Если является подпредставлением, то оно допускает собственный вектор, который должен иметь собственное значение вида ; таким образом, пропорционально . По предыдущей лемме имеем находится в и таким образом .

Как следствие , можно сделать вывод:

  • Если имеет конечную размерность и неприводима, то -собственное значение v является неотрицательным целым числом и имеет основу .
  • И наоборот , если -собственное значение является неотрицательным целым числом и неприводима, то имеет основу ; в частности, имеет конечную размерность.

Прекрасный частный случай показывает общий способ найти неприводимые представления алгебр Ли. А именно, мы разделим алгебру на три подалгебры «h» ( подалгебра Картана ), «e» и «f», которые ведут себя примерно так же, как их однофамильцы в . А именно, в неприводимом представлении у нас есть «старший» собственный вектор «h», на котором «e» действует нулем. Базис неприводимого представления порождается действием «f» на старшие собственные векторы «h». См. теорему о старшем весе .

Теория представлений sl n C

[ редактировать ]

Когда для комплексного векторного пространства размера , каждое конечномерное неприводимое представление можно найти как подпредставление тензорной степени . [4]

Алгебра Ли может быть явно реализована как матричная алгебра Ли бесследовой матрицы. Это фундаментальное представление для .

Набор быть матрицей с единицей в запись и нули везде. Затем

Сформировать основу для . Технически это злоупотребление обозначениями, и на самом деле это изображение основы в фундаментальном представлении.

Более того, на самом деле это базис Картана–Вейля с охватывающую подалгебру Картана. Знакомство с обозначениями если , и , также если , являются положительными корнями и соответствующие отрицательные корни.

Базис простых корней определяется выражением для .

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: а б Cac 1990 , § 3.2, стр. 30–31.
  2. ^ Серр 2001 , Глава IV, § 3, Теорема 1. Следствие 1.
  3. ^ Такой также обычно называют примитивным элементом .
  4. ^ Теплица 2001 , Гл. VII, абзац 6.
  • Этингоф, Павел. « Конспекты лекций по теории представлений ».
  • Кац, Виктор (1990). «Интегрируемые представления алгебр Каца – Муди и группы Вейля». Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511626234.004 . ISBN  0-521-46693-8 .
  • Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер
  • А. Л. Онищик, Е. Б. Винберг , В. В. Горбацевич, Строение групп Ли и алгебр Ли . Группы Ли и алгебры Ли, III. Энциклопедия математических наук, 41. Springer-Verlag, Берлин, 1994. iv+248 с. (Перевод «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 41», АН СССР, Всесоюз. Ин-т наук и техн. Информ., М., 1990. Перевод В. Миначина. Перевод под редакцией А. Л. Онищика и Е. Б. Винберга. ISBN   3-540-54683-9
  • В.Л. Попов , Е.Б. Винберг, Теория инвариантов . Алгебраическая геометрия. IV. Линейные алгебраические группы. Энциклопедия математических наук, 55. Springer-Verlag, Берлин, 1994. vi+284 с. (Перевод Алгебраической геометрии. 4, АН СССР Всесоюз. Инт. наук и техн. информ., Москва, 1989. Перевод). под редакцией А.Н. Паршина и И.Р. Шафаревича) ISBN   3-540-54682-0
  • Серр, Жан-Пьер (2001), Ли алгебры Комплексные полупростые , перевод Джонса, Джорджия, Спрингера, doi : 10.1007/978-3-642-56884-8 , ISBN  978-3-540-67827-4 .

См. также

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 260cc900e37c5b839f57de81a560a255__1720354140
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/26/55/260cc900e37c5b839f57de81a560a255.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Special linear Lie algebra - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)