Нильпотентная орбита

В математике нильпотентные орбиты — это обобщения нильпотентных матриц , играющие важную роль. по теории представлений вещественных и комплексных полупростых групп Ли и полупростых алгебр Ли .

Определение

Элемент X полупростой алгебры Ли g называется нильпотентным, если к нему присоединен эндоморфизм

объявление Икс : г → г , объявление Икс ( Y ) знак равно [ Икс , Y ]

нильпотентен, то есть ( ad X ) ^н = 0 для достаточно большого n . Эквивалентно, X нильпотентен, если его характеристический полином p _{ad X} ( t ) равен t ^{dim g}.

Полупростая группа Ли или алгебраическая группа G действует на своей алгебре Ли через присоединенное представление , и свойство нильпотентности инвариантно относительно этого действия. Нильпотентная орбита — это орбита присоединенного действия такая, что любой (т. е. все) ее элементы нильпотентны.

Примеры

Нильпотентный $n\times n$ матрицы с комплексными элементами образуют основной мотивирующий случай общей теории, соответствующий комплексной общей линейной группе . Из жордановой нормальной формы матриц мы знаем, что каждая нильпотентная матрица сопряжена с уникальной матрицей с жордановыми блоками размеров $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{r},$ где $\lambda$ является разделом n . Таким образом, в случае n = 2 существуют две нильпотентные орбиты: нулевая орбита , состоящая из нулевой матрицы и соответствующая разбиению ( 1 , 1 ), и главная орбита, состоящая из всех ненулевых матриц A с нулевым следом и определителем,

A={\begin{bmatrix}x&y\\z&-x\end{bmatrix}},\quad (x,y,z)\neq (0,0,0)\quad {\;}

с

x^{2}+yz=0,

соответствующий разделу ( 2 ). Геометрически эта орбита представляет собой двумерный комплексный квадратичный конус в четырехмерном векторном пространстве $2\times 2$ матрицы минус ее вершина.

Комплексная специальная линейная группа — это подгруппа полной линейной группы с одинаковыми нильпотентными орбитами. Однако если мы заменим комплексную специальную линейную группу вещественной специальной линейной группой, могут возникнуть новые нильпотентные орбиты. В частности, при n =2 теперь существует 3 нильпотентные орбиты: нулевая орбита и два вещественных полуконуса (без вершины), соответствующие положительным и отрицательным значениям $y-z$ в параметризации выше.

Характеристики

Нильпотентные орбиты можно охарактеризовать как орбиты присоединенного действия, замыкание Зарисского которых содержит 0.
Число нильпотентных орбит конечно.
Замыкание Зарисского нильпотентной орбиты есть объединение нильпотентных орбит.
Теорема Джекобсона–Морозова : над полем нулевой характеристики нильпотентный элемент e может быть включен в sl ₂ -тройку { e , h , f }, и все такие тройки сопряжены с помощью Z _G ( e ), централизатора e любой в Г . Вместе с теорией представлений sl ₂ это позволяет маркировать нильпотентные орбиты конечными комбинаторными данными, что приводит к Дынкина–Костанта . классификации нильпотентных орбит

Посет-структура

Нильпотентные орбиты образуют частично упорядоченное множество : для данных двух нильпотентных орбит O ₁ меньше или равно O ₂ , если O ₁ содержится в замыкании Зарисского O ₂ . Это частично упорядоченное множество имеет уникальный минимальный элемент, нулевую орбиту и уникальную максимальный элемент, регулярная нильпотентная орбита , но, вообще говоря, это не градуированное ЧУМ . Если основное поле алгебраически замкнуто, то нулевая орбита покрывается единственной орбитой, называемой минимальной орбитой , а регулярная орбита покрывает уникальную орбиту, называемую субрегулярной орбитой .

В случае группы SL _n нильпотентные орбиты параметризуются разбиениями n специальной линейной . По теореме Герстенхабера порядок орбит соответствует порядку доминирования на разбиениях n . Более того, если G — группа изометрий билинейной формы , т.е. ортогональная или симплектическая подгруппа в SL _n , то ее нильпотентные орбиты параметризуются разбиениями n, удовлетворяющими определенному условию четности, и соответствующая структура ЧУМ индуцируется порядком доминирования на все разбиения (это нетривиальная теорема Герстенхабера и Хесселинка).

См. также

Присоединенное представление

Ссылки

Дэвид Коллингвуд и Уильям Макговерн. Нильпотентные орбиты в полупростой алгебре Ли . Серия Ван Ностранда Рейнхольда по математике. Компания Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк, 1993 г. ISBN 0-534-18834-6
Бурбаки, Николя (2005), «VIII: расщепленные полупростые алгебры Ли» , Элементы математики: группы Ли и алгебры Ли: главы 7–9
Эрдманн, Карин ; Уилдон, Марк (2006), Введение в алгебры Ли (1-е изд.), Springer, ISBN 1-84628-040-0 .
Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7 .
Варадараджан, В.С. (2004), Группы Ли, алгебры Ли и их представления (1-е изд.), Springer, ISBN 0-387-90969-9 .