sl2-тройной

В теории алгебр Ли -тройкой sl ₂ называется тройка элементов алгебры Ли, удовлетворяющих коммутационным соотношениям между стандартными образующими специальной линейной алгебры Ли sl ₂ . Это понятие играет важную роль в теории полупростых алгебр Ли , особенно в отношении их нильпотентных орбит .

Определение

Элементы { e , h , f } алгебры Ли g образуют sl ₂ -тройку, если

$[h,e]=2e,\quad [h,f]=-2f,\quad [e,f]=h.$

Этим коммутационным соотношениям удовлетворяют генераторы

$h={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}},\quad e={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},\quad f={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}$

алгебры Ли sl ₂ of 2 на 2 матрицы с нулевым следом . Отсюда следует, что sl ₂ -тройки в g находятся в биективном соответствии с гомоморфизмами алгебры Ли из sl ₂ в g .

Альтернативное обозначение элементов sl ₂ -тройки — { H , X , Y }, где H соответствует h , X соответствует e , а Y соответствует f . H называется нейтральным, X называется нильположительным, а Y называется нильнегативным.

Характеристики

Предположим, что g — конечномерная алгебра Ли над полем характеристики нулевой .Из теории представлений алгебры Ли sl ₂ следует, что алгебра Ли g распадается в прямую сумму конечномерных подпространств, каждое из которых изоморфно V _j , ( j + 1)-мерному простому sl ₂ - модуль с наибольшим весом j . Элемент h sl j ₂ -тройки полупрост, с простыми собственными значениями j , j − 2, ..., − на подмодуле g, изоморфном V _j . Элементы e и f перемещаются между разными собственными пространствами h , увеличивая собственное значение на 2 в случае e и уменьшая его на 2 в случае f . В частности, e и f — нильпотентные элементы алгебры Ли g .

Наоборот, теорема Джекобсона–Морозова утверждает, что любой нильпотентный элемент e полупростой алгебры Ли g может быть включен в sl ₂ -тройку { e , h , f }, и все такие тройки сопряжены под действием группы Z _G ( e ), централизатор e G в присоединенной группе Ли , соответствующей алгебре Ли g .

Полупростой элемент h любой sl ₂ заданный нильпотентный элемент e из g, называется характеристикой e -тройки, содержащей .

sl в ₂ -тройка определяет градуировку g соответствии с собственными значениями h :

$g=\bigoplus _{j\in \mathbb {Z} }g_{j},\quad [h,a]=ja{\ \ }{\textrm {for}}{\ \ }a\in g_{j}.$

sl если ₂ -тройка называется четной, только четные j в этом разложении встречаются , и нечетной в противном случае.

Если g — полупростая алгебра Ли, то g0 _. — редуктивная подалгебра Ли в g (вообще говоря, она не является полупростой) Более того, прямая сумма собственных пространств h с неотрицательными собственными значениями является параболической подалгеброй g с компонентой Леви g ₀ .

Если элементы sl ₂ -тройки регулярны , то их оболочка называется главной подалгеброй .

См. также

• Аффинная группа Вейля
• Конечная группа Кокстера
• Диаграмма Хассе
• Линейная алгебраическая группа
• Нильпотентная орбита
• Корневая система
• Специальная линейная алгебра Ли
• Группа Вейля

Ссылки

• А. Л. Онищик, Е. Б. Винберг , В. В. Горбацевич, Строение групп Ли и алгебр Ли . Группы Ли и алгебры Ли, III. Энциклопедия математических наук, 41. Springer-Verlag, Берлин, 1994. iv+248 с. (Перевод «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 41», АН СССР, Всесоюз. Ин-т наук и техн. Информ., М., 1990. Перевод В. Миначина. Перевод под редакцией А. Л. Онищика и Е. Б. Винберга. ISBN   3-540-54683-9
• В.Л. Попов , Е.Б. Винберг, Теория инвариантов . Алгебраическая геометрия. IV. Линейные алгебраические группы. Энциклопедия математических наук, 55. Springer-Verlag, Берлин, 1994. vi+284 с. (Перевод Алгебраической геометрии. 4, АН СССР Всесоюз. Инт. наук и техн. информ., Москва, 1989. Перевод). под редакцией А.Н. Паршина и И.Р. Шафаревича) ISBN   3-540-54682-0