Регулярный элемент алгебры Ли

В математике регулярный элемент алгебры Ли или группы Ли — это элемент, централизатор которого имеет минимально возможную размерность.Например, в сложной полупростой алгебре Ли элемент $X\in {\mathfrak {g}}$ регулярен, если его централизатор в ${\mathfrak {g}}$ имеет размерность, равную рангу ${\mathfrak {g}}$ , что, в свою очередь, равно размерности некоторой подалгебры Картана ${\mathfrak {h}}$ (заметим, что в более ранних работах элемент комплексной полупростой алгебры Ли назывался регулярным, если он полупрост и ядро его присоединенного представления является подалгеброй Картана).Элемент $g\in G$ Группа Ли является регулярной, если ее централизатор имеет размерность, равную рангу $G$ .

Базовый случай

В конкретном случае ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {k} )$ , алгебра Ли $n\times n$ матрицы над алгебраически замкнутым полем $\mathbb {k}$ (например, комплексные числа ), обычный элемент $M$ - это элемент, жорданова нормальная форма которого содержит один жордановый блок для каждого собственного значения (другими словами, геометрическая кратность каждого собственного значения равна 1).Централизатором регулярного элемента называется множество многочленов степени меньше $n$ оценивается по матрице $M$ , и поэтому центратор имеет размерность $n$ (что соответствует рангу ${\mathfrak {gl}}_{n}$ , но не обязательно является алгебраическим тором).

Если матрица $M$ диагонализуема, то она регулярна тогда и только тогда, когда существуют $n$ разные собственные значения. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что $M$ будет коммутировать с любой матрицей $P$ которое стабилизирует каждое из его собственных пространств. Если есть $n$ разные собственные значения, то это происходит только в том случае, если $P$ диагонализируема на том же основании, что и $M$ ; фактически $P$ представляет собой линейную комбинацию первых $n$ полномочия $M$ , а централизатор — алгебраический тор комплексной размерности $n$ (реальное измерение $2n$ ); поскольку это наименьшая возможная размерность централизатора, матрица $M$ является регулярным. Однако если имеются равные собственные значения, то централизатор является произведением общих линейных групп собственных пространств $M$ , и имеет строго большую размерность, так что $M$ не является регулярным.

Для связной компактной группы Ли $G$ , регулярные элементы образуют открытое плотное подмножество, состоящее из $G$ - классы сопряженности элементов максимального тора $T$ которые регулярны в $G$ . Регулярные элементы $T$ сами явно заданы как дополнение множества в $T$ , набор подторов коразмерности один, соответствующий корневой системе $G$ . Аналогично в алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ из $G$ , регулярные элементы образуют открытое плотное подмножество, которое можно явно описать как присоединенное $G$ -орбиты регулярных элементов алгебры Ли $T$ , элементы вне гиперплоскостей, соответствующие корневой системе. ^[1]

Определение

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная алгебра Ли над бесконечным полем. ^[2] Для каждого $x\in {\mathfrak {g}}$ , позволять

p_{x}(t)=\det(t-\operatorname {ad} (x))=\sum _{i=0}^{\dim {\mathfrak {g}}}a_{i}(x)t^{i}

– характеристический полином эндоморфизма присоединенного $\operatorname {ad} (x):y\mapsto [x,y]$ из ${\mathfrak {g}}$ . Тогда по ранг определению ${\mathfrak {g}}$ является наименьшим целым числом $r$ такой, что $a_{r}(x)\neq 0$ для некоторых $x\in {\mathfrak {g}}$ и обозначается $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})$ . ^[3] Например, поскольку $a_{\dim {\mathfrak {g}}}(x)=1$ для каждого х , ${\mathfrak {g}}$ нильпотентен (т. е. каждый $\operatorname {ad} (x)$ нильпотентен по теореме Энгеля ) тогда и только тогда, когда $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})=\dim {\mathfrak {g}}$ .

Позволять ${\mathfrak {g}}_{\text{reg}}=\{x\in {\mathfrak {g}}|a_{\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}(x)\neq 0\}$ . По определению, обычный элемент ${\mathfrak {g}}$ является элементом множества ${\mathfrak {g}}_{\text{reg}}$ . ^[3] С $a_{\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}$ является полиномиальной функцией от ${\mathfrak {g}}$ относительно топологии Зарисского множество ${\mathfrak {g}}_{\text{reg}}$ является открытым подмножеством ${\mathfrak {g}}$ .

Над $\mathbb {C}$ , ${\mathfrak {g}}_{\text{reg}}$ является связным множеством (относительно обычной топологии), ^[4] но закончилось $\mathbb {R}$ , это лишь конечное объединение связных открытых множеств. ^[5]

Подалгебра Картана и регулярный элемент

Над бесконечным полем регулярный элемент можно использовать для построения подалгебры Картана , самонормализующейся нильпотентной подалгебры. Над полем нулевой характеристики этот подход строит все подалгебры Картана.

Учитывая элемент $x\in {\mathfrak {g}}$ , позволять

{\mathfrak {g}}^{0}(x)=\sum _{n\geq 0}\ker(\operatorname {ad} (x)^{n}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}})

быть обобщенным собственным пространством $\operatorname {ad} (x)$ для нулевого собственного значения. Это подалгебра ${\mathfrak {g}}$ . ^[6] Обратите внимание, что $\dim {\mathfrak {g}}^{0}(x)$ то же самое, что (алгебраическая) кратность ^[7] нуля как собственное значение $\operatorname {ad} (x)$ ; т. е. наименьшее целое число m такое, что $a_{m}(x)\neq 0$ в обозначениях § Определение . Таким образом, $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})\leq \dim {\mathfrak {g}}^{0}(x)$ и равенство имеет место тогда и только тогда, когда $x$ является обычным элементом. ^[3]

Тогда утверждение состоит в том, что если $x$ является регулярным элементом, то ${\mathfrak {g}}^{0}(x)$ является картановской подалгеброй. ^[8] Таким образом, $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})$ — размерность хотя бы некоторой картановской подалгебры; фактически, $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})$ — минимальная размерность картановской подалгебры. Более строго, над полем нулевой характеристики (например, $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ ), ^[9]

каждая картановская подалгебра ${\mathfrak {g}}$ имеет тот же размер; таким образом, $\operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})$ — размерность произвольной подалгебры Картана,
элемент x из ${\mathfrak {g}}$ регулярно тогда и только тогда, когда ${\mathfrak {g}}^{0}(x)$ является картановской подалгеброй, и
каждая подалгебра Картана имеет вид ${\mathfrak {g}}^{0}(x)$ для какого-то обычного элемента $x\in {\mathfrak {g}}$ .

Регулярный элемент в картановской подалгебре комплексной полупростой алгебры Ли

Для подалгебры Картана ${\mathfrak {h}}$ комплексной полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ с корневой системой $\Phi$ , элемент ${\mathfrak {h}}$ регулярен тогда и только тогда, когда он не принадлежит объединению гиперплоскостей ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in \Phi }\{h\in {\mathfrak {h}}\mid \alpha (h)=0\}}$ . ^[10] Это потому, что: для $r=\dim {\mathfrak {h}}$ ,

Для каждого $h\in {\mathfrak {h}}$ , характеристический полином $\operatorname {ad} (h)$ является ${\textstyle t^{r}\left(t^{\dim {\mathfrak {g}}-r}-\sum _{\alpha \in \Phi }\alpha (h)t^{\dim {\mathfrak {g}}-r-1}+\cdots \pm \prod _{\alpha \in \Phi }\alpha (h)\right)}$ .

Эту характеристику иногда принимают за определение регулярного элемента (особенно, когда интерес представляют только регулярные элементы в подалгебрах Картана).

Примечания

^ Сепански, Марк Р. (2006). Компактные группы Ли . Спрингер. п. 156. ИСБН 978-0-387-30263-8 .
^ Примечание редакции: определение регулярного элемента над конечным полем неясно.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Бурбаки 1981 , Гл. VII, § 2.2. Определение 2.
^ Серр 2001 , гл. III, § 1. Предложение 1.
^ Серр 2001 , Гл. III, §6.
^ Это следствие биномиальной формулы для рекламы.
^ Напомним, что геометрическая кратность собственного значения эндоморфизма - это размерность собственного пространства, а его алгебраическая кратность - это размерность обобщенного собственного пространства.
^ Бурбаки 1981 , Гл. VII, § 2.3. Теорема 1.
^ Бурбаки 1981 , Гл. VII, § 3.3. Теорема 2.
^ Труды 2007 г. , гл. 10, § 3.2.

Ссылки

Бурбаки, Н. (1981), Группы и алгебры Ли , Элементы математики, Герман
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991), Теория представлений, Первый курс , Тексты для выпускников по математике, том. 129, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-97495-8 , МР 1153249
Процесси, Клаудио (2007), Группы Ли: подход через инварианты и представление , Springer, ISBN 9780387260402
Серр, Жан-Пьер (2001), Комплексные полупростые алгебры Ли , Springer, ISBN 3-5406-7827-1

[1] Сепански, Марк Р. (2006). Компактные группы Ли . Спрингер. п. 156. ИСБН 978-0-387-30263-8 .

[2] Примечание редакции: определение регулярного элемента над конечным полем неясно.

[Def-3] Jump up to: ^а ^б ^с Бурбаки 1981 , Гл. VII, § 2.2. Определение 2.

[4] Серр 2001 , гл. III, § 1. Предложение 1.

[5] Серр 2001 , Гл. III, §6.

[6] Это следствие биномиальной формулы для рекламы.

[7] Напомним, что геометрическая кратность собственного значения эндоморфизма - это размерность собственного пространства, а его алгебраическая кратность - это размерность обобщенного собственного пространства.

[8] Бурбаки 1981 , Гл. VII, § 2.3. Теорема 1.

[application-9] Бурбаки 1981 , Гл. VII, § 3.3. Теорема 2.

[10] Труды 2007 г. , гл. 10, § 3.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]