Теорема Энгеля

В теории представлений , разделе математики, теорема Энгеля утверждает, что конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ является нильпотентной алгеброй Ли тогда и только тогда, когда для каждого $X\in {\mathfrak {g}}$, присоединенное отображение

$\operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},$

данный $\operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]$, является нильпотентным эндоморфизмом на ${\mathfrak {g}}$; то есть $\operatorname {ad} (X)^{k}=0$ для некоторого k . Это следствие теоремы, также называемой теоремой Энгеля, которая гласит, что если алгебра Ли матриц состоит из нильпотентных матриц, то все матрицы можно одновременно привести к строго верхнетреугольному виду. Заметим, что если мы имеем просто алгебру Ли матриц, которая нильпотентна как алгебра Ли , то этот вывод не следует (т.е. наивная замена в теореме Ли «разрешимой» на «нильпотентную», а «верхнетреугольной» на «строго верхняя треугольная» неверно; это неверно уже для одномерной подалгебры Ли скалярных матриц).

Теорема названа в честь математика Фридриха Энгеля , который набросал ее доказательство в письме Вильгельму Киллингу от 20 июля 1890 года ( Хокинс 2000 , стр. 176). Ученик Энгеля К. А. Умлауф дал полное доказательство в своей диссертации 1891 года, перепечатанной как ( Умлауф 2010 ).

Заявления

Позволять ${\mathfrak {gl}}(V)$ — алгебра Ли эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V и ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)$ подалгебра. Тогда теорема Энгеля утверждает, что следующие утверждения эквивалентны:

1. Каждый $X\in {\mathfrak {g}}$ is a nilpotent endomorphism on V .
2. Существует флаг $V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\,\operatorname {codim} V_{i}=i$ такой, что ${\mathfrak {g}}\cdot V_{i}\subset V_{i+1}$; то есть элементы ${\mathfrak {g}}$ одновременно строго триангулизуемы сверху.

Обратите внимание, что никаких предположений относительно базового поля не требуется.

Отметим, что утверждение 2. для различных ${\mathfrak {g}}$ и V эквивалентно утверждению

• Для каждого ненулевого конечномерного векторного пространства V и подалгебры ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)$, существует ненулевой вектор v в V такой, что $X(v)=0$ для каждого $X\in {\mathfrak {g}}.$

Это форма теоремы, доказанной в #Доказательство . (Это утверждение тривиально эквивалентно утверждению 2, поскольку оно позволяет индуктивно построить флаг с требуемым свойством.)

В общем случае алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ называется нильпотентным , если нижний центральный ряд его обращается в нуль за конечный шаг; то есть для $C^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},C^{i}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},C^{i-1}{\mathfrak {g}}]$ = ( i +1)-я степень ${\mathfrak {g}}$, существует такой k , что $C^{k}{\mathfrak {g}}=0$. Тогда из теоремы Энгеля следует следующая теорема (также называемая теоремой Энгеля): когда ${\mathfrak {g}}$ имеет конечную размерность,

• ${\mathfrak {g}}$ нильпотентен тогда и только тогда, когда $\operatorname {ad} (X)$ нильпотентен для каждого $X\in {\mathfrak {g}}$.

Действительно, если $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$ состоит из нильпотентных операторов, то на 1. $\Leftrightarrow$ 2. применительно к алгебре $\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$, существует флаг ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0$ такой, что $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}$. С $C^{i}{\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {g}}_{i}$, это подразумевает ${\mathfrak {g}}$ является нильпотентным. (Обратное следует непосредственно из определения.)

Доказательство

Докажем следующую форму теоремы: если ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)$ является подалгеброй Ли такой, что каждое $X\in {\mathfrak {g}}$ является нильпотентным эндоморфизмом, и если V имеет положительную размерность, то существует ненулевой вектор v в V такой, что $X(v)=0$ для каждого X в ${\mathfrak {g}}$.

Доказательство проводится индукцией по размерности ${\mathfrak {g}}$ и состоит из нескольких шагов. (Обратите внимание, что структура доказательства очень похожа на структуру доказательства теоремы Ли , которая касается разрешимой алгебры.) Основной случай тривиален, и мы предполагаем размерность ${\mathfrak {g}}$ является положительным.

Шаг 1 : Найдите идеал ${\mathfrak {h}}$ коразмерности один в ${\mathfrak {g}}$.

Это самый трудный шаг. Позволять ${\mathfrak {h}}$ — максимальная (собственная) подалгебра в ${\mathfrak {g}}$, который существует в силу конечномерности. Мы утверждаем, что это идеал коразмерности один. Для каждого $X\in {\mathfrak {h}}$, легко проверить, что (1) $\operatorname {ad} (X)$ индуцирует линейный эндоморфизм ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ и (2) это индуцированное отображение нильпотентно (фактически, $\operatorname {ad} (X)$ нильпотентен, поскольку $X$ нильпотентен; см. разложение Жордана в алгебрах Ли ). Таким образом, по индуктивному предположению, примененному к подалгебре Ли ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})$ созданный $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$, существует ненулевой вектор v в ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ такой, что $\operatorname {ad} (X)(v)=0$ для каждого $X\in {\mathfrak {h}}$. То есть, если $v=[Y]$ для некоторого Y в ${\mathfrak {g}}$ но не в ${\mathfrak {h}}$, затем $[X,Y]=\operatorname {ad} (X)(Y)\in {\mathfrak {h}}$ для каждого $X\in {\mathfrak {h}}$. Но тогда подпространство ${\mathfrak {h}}'\subset {\mathfrak {g}}$ охватываемый ${\mathfrak {h}}$ и Y — подалгебра Ли, в которой ${\mathfrak {h}}$ является идеалом коразмерности один. Следовательно, в силу максимальности ${\mathfrak {h}}'={\mathfrak {g}}$. Это доказывает утверждение.

Шаг 2 : Пусть $W=\{v\in V|X(v)=0,X\in {\mathfrak {h}}\}$. Затем ${\mathfrak {g}}$ стабилизирует W ; то есть, $X(v)\in W$ для каждого $X\in {\mathfrak {g}},v\in W$.

Действительно, для $Y$ в ${\mathfrak {g}}$ и $X$ в ${\mathfrak {h}}$, у нас есть: $X(Y(v))=Y(X(v))+[X,Y](v)=0$ с ${\mathfrak {h}}$ это идеал и так $[X,Y]\in {\mathfrak {h}}$. Таким образом, $Y(v)$ в В. находится

Шаг 3. Завершите доказательство, найдя ненулевой вектор, который уничтожается ${\mathfrak {g}}$.

Писать ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L$ где L — одномерное векторное подпространство. Пусть Y — ненулевой вектор в L а v — ненулевой вектор в W. , Сейчас, $Y$ является нильпотентным эндоморфизмом (по условию), поэтому $Y^{k}(v)\neq 0,Y^{k+1}(v)=0$ для некоторого k . Затем $Y^{k}(v)$ он лежит в W. является искомым вектором, поскольку на шаге 2 $\square$

См. также

• Теорема Ли
• Группа Гейзенберга

Цитируемые работы

• Эрдманн, Карин ; Уилдон, Марк (2006). Введение в алгебры Ли (1-е изд.). Спрингер. ISBN  1-84628-040-0 .
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Хокинс, Томас (2000), Возникновение теории групп Ли , Источники и исследования по истории математики и физических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98963-1 , МР   1771134
• Хохшильд, Г. (1965). Структура групп Ли . День Холдена.
• Хамфрис, Дж. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Спрингер.
• Рунд, Карл Артур (2010) [Впервые опубликовано в 1891 г.], О составе конечных непрерывных групп преобразований, в частности групп нулевого диапазона , вступительная диссертация, Лейпциг (на немецком языке), Nabu Press, ISBN  978-1-141-58889-3