Спиновое представление

В математике — представления спина это конкретные проективные представления ортогональных специальных или ортогональных групп в произвольной размерности и сигнатуре (т. е. включая неопределенные ортогональные группы ). Точнее, это два эквивалентных представления спиновых групп , которые являются двойными накрытиями специальных ортогональных групп. Обычно они изучаются на основе действительных или комплексных чисел , но их можно определить и на других полях .

Элементы спинового представления называются спинорами . Они играют важную роль в физическом описании фермионов, таких как электрон .

Представления спина могут быть построены несколькими способами, но обычно построение включает (возможно, только неявно) выбор максимального изотропного подпространства в векторном представлении группы. Что касается действительных чисел, это обычно требует использования комплексификации векторного представления. По этой причине удобно сначала определить представления спина для комплексных чисел и получить действительные представления, введя действительные структуры .

Свойства представлений спина тонким образом зависят от размерности и сигнатуры ортогональной группы. В частности, спиновые представления часто допускают инвариантные билинейные формы , которые можно использовать для встраивания спиновых групп в классические группы Ли . В малых размерностях эти вложения сюръективны и определяют специальные изоморфизмы между спиновыми группами и более знакомыми группами Ли; это объясняет свойства спиноров в этих измерениях.

Настраивать

Пусть V — конечномерное вещественное или комплексное векторное пространство с невырожденной формой Q. квадратичной (Вещественные или комплексные) линейные отображения , сохраняющие Q, образуют ортогональную группу O( V , Q ) . Единичный компонент группы называется специальной ортогональной группой SO( V , Q ) . (Для V вещественного с неопределенной квадратичной формой эта терминология не является стандартной: в этом случае специальная ортогональная группа обычно определяется как подгруппа с двумя компонентами.) С точностью до группового изоморфизма SO ( V , Q ) имеет единственную связную группу . двойное покрытие , спиновая группа Spin( V , Q ) . Таким образом, существует групповой гомоморфизм h : Spin( V , Q ) → SO( V , Q ), ​​которого ядро имеет два элемента, обозначаемые {1, −1} , где 1 — единичный элемент . Таким образом, групповые элементы g и −g группы Spin( V , Q ) эквивалентны после гомоморфизма SO( V , Q ) ; то есть час ( г ) = час ( -г ) для любого г в Spin( V , Q ) .

Группы O( V , Q ), SO( V , Q ) и Spin( V , Q ) являются группами Ли , и при фиксированном ( V , Q ) они имеют одну и ту же алгебру Ли , поэтому ( V , Q ) . Если V вещественно, то V векторным подпространством его комплексификации VC _{, и} = V ⊗ _RC естественным образом продолжается до квадратичная форма Q квадратичной формы Q _C на VC _{является вещественным} . Это встраивает SO( V , Q ) как подгруппу SO ( VC _{следовательно ,} , Q _C ) мы можем реализовать Spin( V , Q ) как подгруппу Spin( VC _, , и , Q _C ) . того, so ( VC _{является} , QC _Более ) комплексификацией so ( V , Q ) .

однозначно с точностью до изоморфизма размерностью n V В комплексном случае квадратичные формы определяются . Конкретно можно считать V = C ^н и

$Q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}.$

Соответствующие группы Ли обозначаются O( n , C ), SO( n , C ), Spin( n , C ) , а их алгебра Ли — так ( n , C ) .

В реальном случае квадратичные формы определяются с точностью до изоморфизма парой неотрицательных целых чисел ( p , q ) , где n = p + q — размерность V , а p — q — сигнатура . Конкретно можно считать V = R ^н и

$Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-(x_{p+1}^{2}+\cdots +x_{p+q}^{2}).$

Соответствующие группы Ли и алгебра Ли обозначаются O( p , q ), SO( p , q ), Spin( p , q ) и , следовательно, ( p , q ) . Мы пишем Р. ^{п , д} вместо Р ^н сделать подпись явной.

Представления спина в некотором смысле являются простейшими представлениями Spin ( n , C ) и Spin( p , q ) , которые не происходят из представлений SO( n , C ) и SO( p , q ) . Таким образом, спиновое представление представляет собой вещественное или комплексное векторное пространство S вместе с групповым гомоморфизмом ρ из Spin( n , C ) или Spin( p , q ) в общую линейную группу GL( S ) таким, что элемент −1 равен не в ядре ρ .

Если S является таким представлением, то в соответствии с соотношением между группами Ли и алгебрами Ли оно индуцирует представление алгебры Ли , т. е. гомоморфизм алгебры Ли из so ( n , C ) или so ( p , q ) в алгебру Ли. gl ( S ) эндоморфизмов S со коммутатором скобкой - .

Спиновые представления можно анализировать в соответствии со следующей стратегией: если S — вещественное спиновое представление Spin( p , q ) , то его комплексификация — это комплексное спиновое представление Spin( p , q ) ; как представление so ( p , q ) , оно поэтому расширяется до комплексного представления so ( n , C ) . Поэтому, действуя в обратном порядке, мы сначала строим комплексные спиновые представления Spin( n , C ) и so ( n , C ) , затем ограничиваем их комплексными спиновыми представлениями so ( p , q ) и Spin( p , q ) , а затем, наконец, проанализировать возможные приведения к представлениям реального спина.

Комплексные спиновые представления

Let V = C ^н со стандартной квадратичной формой Q так, что

${\mathfrak {so}}(V,Q)={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ).$

Симметричная билинейная форма на V , связанная с Q поляризацией , обозначается ⟨.,.⟩ .

Изотропные подпространства и корневые системы

Стандартное построение спиновых представлений so ( n , C ) начинается с выбора пары ( W , W ^∗ ) максимальных вполне изотропных подпространств (относительно Q ) пространства V таких, что W ∩ W ^∗ = 0 . Давайте сделаем такой выбор. Если n = 2 m или n = 2 m + 1 , то W и W ^∗ оба имеют размерность m . Если n = 2 m , то V = W ⊕ W ^∗ , тогда как если n = 2 m + 1 , то V = W ⊕ U ⊕ W ^∗ , где U — одномерное ортогональное дополнение к W ⊕ W ^∗ . Билинейная форма ⟨.,.⟩, связанная с Q, индуцирует спаривание между W и W ^∗ , который должен быть невырожденным, поскольку W и W ^∗ являются вполне изотропными подпространствами и Q невырождено. Следовательно, W и W ^∗ являются двойственными векторными пространствами .

Более конкретно, пусть a ₁ , ... будет _am базой для W . Тогда существует единственный базис α ₁ , ... α _m группы W ^∗ такой, что

$\langle \alpha _{i},a_{j}\rangle =\delta _{ij}.$

Если A — матрица размера m × m , то A индуцирует эндоморфизм W относительно этого базиса и транспонирования A ^Т индуцирует преобразование W ^∗ с

$\langle Aw,w^{*}\rangle =\langle w,A^{\mathrm {T} }w^{*}\rangle$

для всех w в W и w ^∗ в Вт ^∗ . Отсюда следует, что эндоморфизм ρ _A группы V , равный A на W , − A ^Т на Вт ^∗ и ноль на U (если n нечетно), является перекосом,

$\langle \rho _{A}u,v\rangle =-\langle u,\rho _{A}v\rangle$

для всех u , v в V и, следовательно, (см. классическую группу ) элемент so ( n , C ) ⊂ End( V ) .

Использование диагональных матриц в этой конструкции определяет подалгебру h в so ( n , C ) : ранг so n ( n , C ) равен m , а диагональные матрицы n × картановскую определяют m -мерную абелеву подалгебру.

Пусть ε ₁ , ... ε _m — базис h ^∗ для диагональной матрицы A такая, что ε _k ( ρ _A ) является k -м диагональным элементом A . Очевидно, что это основа для h ^∗ . Поскольку билинейная форма отождествляет so ( n , C ) с $\wedge ^{2}V$, явно,

$x\wedge y\mapsto \varphi _{x\wedge y},\quad \varphi _{x\wedge y}(v)=2(\langle y,v\rangle x-\langle x,v\rangle y),\quad x\wedge y\in \wedge ^{2}V,\quad x,y,v\in V,\quad \varphi _{x\wedge y}\in {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),$

теперь легко построить корневую систему, связанную с h . Корневые пространства (одновременные собственные пространства для действия h ) охватываются следующими элементами:

$a_{i}\wedge a_{j},\;i\neq j,$ с корнем (одновременное собственное значение) $\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}$

$a_{i}\wedge \alpha _{j}$ (который находится в h, если i = j ) с корнем $\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j}$

$\alpha _{i}\wedge \alpha _{j},\;i\neq j,$ с корнем $-\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j},$

и, если n нечетно, а u — ненулевой элемент U ,

$a_{i}\wedge u,$ с корнем $\varepsilon _{i}$

$\alpha _{i}\wedge u,$ с корнем $-\varepsilon _{i}.$

Таким образом, относительно базиса ε ₁ , ... ε _m корнями являются векторы из h ^∗ это перестановки

$(\pm 1,\pm 1,0,0,\dots ,0)$

вместе с перестановками

$(\pm 1,0,0,\dots ,0)$

если n = 2 m + 1 нечетно.

Система положительных корней задается формулами ε _i + ε _j ( i ≠ j ), ε _i − ε _j ( i < j ) и (при n нечетном) ε _i . Соответствующие простые корни :

$\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2},\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3},\ldots ,\varepsilon _{m-1}-\varepsilon _{m},\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{m-1}+\varepsilon _{m}&n=2m\\\varepsilon _{m}&n=2m+1.\end{matrix}}\right.$

Положительные корни представляют собой неотрицательные целочисленные линейные комбинации простых корней.

Спиновые представления и их веса

Одна конструкция спиновых представлений so ( n , C ) использует внешнюю алгебру (s)

$S=\wedge ^{\bullet }W$ и/или $S'=\wedge ^{\bullet }W^{*}.$

Существует действие V на S такое, что для любого элемента v = w + w ^∗ в W ⊕ W ^∗ и для любого ψ в S действие задается формулой:

$v\cdot \psi =2^{\frac {1}{2}}(w\wedge \psi +\iota (w^{*})\psi ),$

где второй член — это сокращение ( внутреннее умножение ), определенное с использованием билинейной формы, которая объединяет W и W ^∗ . Это действие соблюдает соотношения Клиффорда v ² = Q ( v ) 1 и, таким образом, индуцирует гомоморфизм алгебры Клиффорда Cl _n C группы V в End( S ) . Аналогичное действие можно определить на S ' , так что и S , и S ' являются модулями Клиффорда .

Алгебра Ли so ( n , C ) изоморфна комплексифицированной алгебре Ли spin _n ^С в Cl _n C посредством отображения, индуцированного накрытием Spin( n ) → SO( n )

$v\wedge w\mapsto {\tfrac {1}{4}}[v,w].$

Отсюда следует, что и S , и S ′ являются представлениями so ( n , C ) . На самом деле это эквивалентные мы сосредоточимся на S. представления, поэтому

Явное описание показывает, что элементы α _i ∧ a _i подалгебры Картана h действуют на S следующим образом:

$(\alpha _{i}\wedge a_{i})\cdot \psi ={\tfrac {1}{4}}(2^{\tfrac {1}{2}})^{2}(\iota (\alpha _{i})(a_{i}\wedge \psi )-a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ))={\tfrac {1}{2}}\psi -a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ).$

Базис для S задают элементы вида

$a_{i_{1}}\wedge a_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge a_{i_{k}}$

для 0 ≤ k ≤ m и я ₁ < ... < i _k . Они явно охватывают весовые пространства для действия h : α _i ∧ a _i имеет собственное значение -1/2 на данном базисном векторе, если i = i _j для некоторого j , и имеет собственное значение 1/2 в противном случае.

Отсюда следует, что веса S представляют собой все возможные комбинации

${\bigl (}\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\ldots \pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$

и каждое весовое пространство одномерно. Элементы S называются спинорами Дирака .

Когда n четно, S не является неприводимым представлением : $S_{+}=\wedge ^{\mathrm {even} }W$ и $S_{-}=\wedge ^{\mathrm {odd} }W$ являются инвариантными подпространствами. Веса делятся на веса с четным числом знаков минус и веса с нечетным количеством знаков минус. И S _+, и S ₋ являются неприводимыми представлениями размерности 2. ^{м −1} элементы которого называются спинорами Вейля . Они также известны как киральные спиновые представления или полуспиновые представления. Что касается системы положительных корней, описанной выше, веса S старшие ₊ и S ₋ равны

${\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$ и ${\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$

соответственно. Действие Клиффорда отождествляет Cl _n C с End( S ), а четная подалгебра отождествляется с эндоморфизмами, сохраняющими S ₊ и S ₋ . Другой модуль Клиффорда S ′ изоморфен S. случае в этом

Когда n нечетно, S является неприводимым представлением so ( n , C ) размерности 2. ^м : действие Клиффорда единичного вектора u ∈ U определяется выражением

$u\cdot \psi =\left\{{\begin{matrix}\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {even} }W\\-\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {odd} }W\end{matrix}}\right.$

и поэтому элементы so ( n , C ) вида u ∧ w или u ∧ w ^∗ не сохраняют четную и нечетную части внешней алгебры W . Наибольший вес S равен

${\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.$

Действие Клиффорда не является точным на S : Cl _n C можно отождествить с End( S ) ⊕ End( S ′), где u действует с противоположным знаком на S ′. Точнее, два представления связаны четности инволюцией α Cl _n C (также известной как главный автоморфизм), которая является тождеством четной подалгебры и минус тождество нечетной части Cl _n C . Другими словами, существует линейный изоморфизм от S к S ', который отождествляет действие A в Cl _n C на S с действием α ( A ) на S '.

Билинейные формы

если λ является весом S , то же самое относится и к − λ . Отсюда следует, что S изоморфно двойственному представлению S ^∗ .

Когда n = 2 m + 1 нечетно, изоморфизм B : S → S ^∗ уникальна в масштабе по лемме Шура , поскольку S неприводима, и определяет невырожденную инвариантную билинейную форму β на S через

$\beta (\varphi ,\psi )=B(\varphi )(\psi ).$

Здесь инвариантность означает, что

$\beta (\xi \cdot \varphi ,\psi )+\beta (\varphi ,\xi \cdot \psi )=0$

для всех ξ в so ( n , C ) и φ , ψ в S — другими словами, действие ξ косо относительно β . На самом деле правда больше: S ^∗ является представлением противоположной алгебры Клиффорда, и, следовательно, поскольку Cl _n C имеет только два нетривиальных простых модуля S и S ′, связанных инволюцией четности α , существует антиавтоморфизм τ τ группы Cl _n C такой, что

$\quad \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\beta (\varphi ,\tau (A)\cdot \psi )\qquad (1)$

для любого A из Cl _n C . Фактически τ — это реверсия (антиавтоморфизм, индуцированный тождеством на V ) для четного m , и сопряжение (антиавтоморфизм, индуцированный вычетом тождества на V ) для m нечетного . Эти два антиавтоморфизма связаны инволюцией четности α , которая является автоморфизмом, индуцированным минус-тождеством на V . Оба удовлетворяют τ ( ξ ) = − ξ для ξ в so ( n , C ).

Когда n = 2 m , ситуация более чувствительно зависит от четности m . При четном m вес λ имеет четное количество знаков минус тогда и только тогда, когда — λ имеет; отсюда следует, что существуют отдельные изоморфизмы B _± : S _± → S _± ^∗ каждого представления полуспина с его двойником, каждое из которых определяется однозначно в пределах масштаба. Их можно объединить в изоморфизм B : S → S. ^∗ . Для m нечетного λ является весом S ₊ тогда и только тогда, когда − λ является весом S ₋ ; таким образом, существует изоморфизм от S ₊ до S ₋ ^∗ , снова уникальный в пределах масштаба, и его транспонирование обеспечивает изоморфизм от S ₋ до S ₊ ^∗ . Их снова можно объединить в изоморфизм B : S → S. ^∗ .

Как для четного , так и для нечетного m свобода выбора B может быть ограничена общим масштабом, настаивая на том, что билинейная форма β, соответствующая B , удовлетворяет (1), где τ — фиксированный антиавтоморфизм (либо реверсия, либо сопряжение).

Симметрия и тензорный квадрат

Свойства симметрии β : S ⊗ S → C можно определить с помощью алгебр Клиффорда или теории представлений. На самом деле можно сказать гораздо больше: тензорный квадрат S ⊗ S должен разложиться в прямую сумму k -форм на V для различных k , поскольку все его веса являются элементами из h ^∗ компоненты которого принадлежат {−1,0,1}. Теперь эквивариантные линейные отображения S ⊗ S → ∧ ^к V ^∗ биективно соответствуют инвариантным отображениям ∧ ^к V ⊗ S ⊗ S → C и ненулевые такие отображения могут быть построены включением ∧ ^к V в алгебру Клиффорда. Более того, если β ( φ , ψ ) = β ( ψ , φ ) и τ имеет знак _∧ τ ^к Ви тогда

$\beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\varepsilon \varepsilon _{k}\beta (A\cdot \psi ,\varphi )$

для A в ∧ ^к V .

Если n = 2 m +1 нечетно, то из леммы Шура следует, что

$S\otimes S\cong \bigoplus _{j=0}^{m}\wedge ^{2j}V^{*}$

(обе стороны имеют размерность 2 ^22м и представления справа неэквивалентны). Поскольку симметрии управляются инволюцией τ , которая является либо сопряжением, либо реверсией, симметрия ∧ ^2дж V ^∗ компонент чередуется с j . Элементарная комбинаторика дает

$\sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}\dim \wedge ^{2j}\mathbb {C} ^{2m+1}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}(\dim \mathrm {S} ^{2}S-\dim \wedge ^{2}S)$

а знак определяет, какие представления встречаются в S ² S и которые встречаются в ∧ ² С. ​ В частности

$\beta (\phi ,\psi )=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (\psi ,\phi ),$ и

$\beta (v\cdot \phi ,\psi )=(-1)^{m}(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (v\cdot \psi ,\phi )=(-1)^{m}\beta (\phi ,v\cdot \psi )$

для v ∈ V (изоморфного ∧ ^22м V ), подтверждающее, что τ является реверсией для четного m и сопряжением для m нечетного .

Если n = 2 m четное, анализ становится более сложным, но в результате получается более точное разложение: S ² S _± , ∧ ² S _± и S ₊ ⊗ S ₋ каждая может быть разложена в прямую сумму k -форм (где при k = m происходит дальнейшее разложение на самодуальные и антиавтодуальные m -формы).

Основным результатом является реализация so ( n , C ) как подалгебры классической алгебры Ли на S , зависящей от n по модулю 8, согласно следующей таблице:

п против 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Спинорная алгебра	${\mathfrak {so}}(S_{+})\oplus {\mathfrak {so}}(S_{-})$	${\mathfrak {so}}(S)$	${\mathfrak {gl}}(S_{\pm })$	${\mathfrak {sp}}(S)$	${\mathfrak {sp}}(S_{+})\oplus {\mathfrak {sp}}(S_{-})$	${\mathfrak {sp}}(S)$	${\mathfrak {gl}}(S_{\pm })$	${\mathfrak {so}}(S)$

При n ≤ 6 эти вложения являются изоморфизмами (на sl, а не на gl для n = 6):

${\mathfrak {so}}(2,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )\qquad (=\mathbb {C} )$

${\mathfrak {so}}(3,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\qquad (={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ))$

${\mathfrak {so}}(4,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )$

${\mathfrak {so}}(5,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {C} )$

${\mathfrak {so}}(6,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {C} ).$

Реальные представления

Представления комплексного спина so ( n , C ) дают вещественные представления S so ) , ( p , q ограничивая действие вещественными подалгебрами. Однако существуют дополнительные структуры «реальности», инвариантные относительно действия вещественных алгебр Ли. Они бывают трех типов.

1. Существует инвариантное комплексное антилинейное отображение r : S → S такое, что r ² = _S. идентификатор Тогда множество неподвижных точек r является вещественным векторным подпространством S _R в S с таким, что S _R ⊗ C = S . Это называется реальной структурой .
2. Существует инвариантное комплексное антилинейное отображение j : S → S с j ² -id _S. = что тройка i , j и k := ij превращает S в кватернионное векторное пространство SH _. Отсюда следует , Это называется кватернионной структурой .
3. Существует инвариантное комплексное антилинейное отображение b : S → S. ^∗ это обратимо. Это определяет псевдоэрмитову билинейную форму на S и называется эрмитовой структурой .

Тип структуры, инвариантной относительно so ( p , q ), зависит только от сигнатуры p − q по модулю 8 и определяется следующей таблицей.

п - q мод 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Структура	Р + Р	Р	С	ЧАС	Ч + Ч	ЧАС	С	Р

Здесь R , C и H обозначают вещественную, эрмитову и кватернионную структуру соответственно, а R + R и H + H указывают, что оба представления полуспиновой структуры допускают вещественную или кватернионную структуру соответственно.

Описание и таблицы

Для завершения описания реального представления необходимо описать, как эти структуры взаимодействуют с инвариантными билинейными формами. Поскольку n = p + q ≅ p − q mod 2, есть два случая: размерность и подпись четные, а размерность и подпись нечетные.

Нечетный случай проще: существует только одно комплексное спиновое представление S и эрмитовы структуры не возникают. За исключением тривиального случая n = 1, S всегда четномерен, скажем, dim S = 2 N . Действительными формами so (2 N , C ) являются so ( K , L ) с K + L = 2 N и поэтому ^∗ ( N , H ), в то время как реальные формы sp (2 N , C ) — это sp (2 N , R ) и sp ( K , L ) с K + L = N . Наличие действия Клиффорда V на S приводит к тому, что K = L в обоих случаях, если только pq = 0, в этом случае KL =0, что обозначается просто so (2 N ) или sp ( N ). Следовательно, представления нечетных спинов можно свести в следующую таблицу.

	п против 8	1, 7	3, 5
п - q мод 8		итак (2 Н , С )	сп (2 Н , С )
1, 7	Р	так ( N , N ) или так ( 2 N )	сп (2 Н , Р )
3, 5	ЧАС	так ∗ ( Н , Ч )	сп ( Н /2, Н /2) † или сп ( Н )

(†) N четно для n > 3 , а для n = 3 это sp (1) .

Четномерный случай аналогичен. При n > 2 комплексные представления полуспина четномерны. Нам приходится дополнительно иметь дело с эрмитовыми структурами и вещественными формами sl (2 N , C ) , которыми являются sl (2 N , R ) , su ( K , L ) с K + L = 2 N и sl ( N , Х ) . Полученные представления о четных спинах суммируются следующим образом.

	п против 8	0	2, 6	4
п - q мод 8		итак (2 N , C )+ итак (2 N , C )	сл (2 Н , С )	сп (2 Н , С )+ сп (2 Н , С )
0	Р + Р	итак ( N , N )+ так ( N , N ) ∗	сл ( 2Н , Р )	сп (2 Н , Р )+ сп (2 Н , Р )
2, 6	С	итак (2 Н , С )	су ( Н , Н )	сп (2 Н , С )
4	Ч + Ч	так ∗ ( N , H )+ поэтому ∗ ( Н , Ч )	сл ( Н , Ч )	сп ( N /2, N /2)+ сп ( N /2, N /2) †

(*) Для pq = 0 вместо этого имеем so (2 N ) + so (2 N )

(†) N четно для n > 4 и для pq = 0 (включая n = 4 с N = 1 ), вместо этого мы имеем sp ( N ) + sp ( N )

Маломерные изоморфизмы в комплексном случае имеют следующие вещественные формы.

Евклидова подпись	подпись Минковского	Другие подписи
${\mathfrak {so}}(2)\cong {\mathfrak {u}}(1)$	${\mathfrak {so}}(1,1)\cong \mathbb {R}$
${\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {sp}}(1)$	${\mathfrak {so}}(2,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$
${\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {sp}}(1)\oplus {\mathfrak {sp}}(1)$	${\mathfrak {so}}(3,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$	${\mathfrak {so}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$
${\mathfrak {so}}(5)\cong {\mathfrak {sp}}(2)$	${\mathfrak {so}}(4,1)\cong {\mathfrak {sp}}(1,1)$	${\mathfrak {so}}(3,2)\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )$
${\mathfrak {so}}(6)\cong {\mathfrak {su}}(4)$	${\mathfrak {so}}(5,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {H} )$	${\mathfrak {so}}(4,2)\cong {\mathfrak {su}}(2,2)$	${\mathfrak {so}}(3,3)\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )$

Единственные специальные изоморфизмы вещественных алгебр Ли, отсутствующие в этой таблице, — это ${\mathfrak {so}}^{*}(3,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}(3,1)$ и ${\mathfrak {so}}^{*}(4,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {so}}(6,2).$

Ссылки

• Брауэр, Ричард ; Вейль, Герман (1935), «Спиноры в n измерениях», Американский журнал математики , 57 (2), Американский журнал математики, Том. 57, № 2: 425–449, номер документа : 10.2307/2371218 , JSTOR   2371218 .
• Картан, Эли (1966), Теория спиноров , Париж, Герман (переиздано в 1981 году, Dover Publications), ISBN  978-0-486-64070-9 .
• Шевалле, Клод (1954), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда , издательство Колумбийского университета (перепечатано в 1996 году, Springer), ISBN  978-3-540-57063-9 .
• Делинь, Пьер (1999), «Заметки о спинорах», П. Делинь; П. Этингоф; Д.С. Фрид; LC Джеффри; Д. Каждан; Дж. В. Морган; Д.Р. Моррисон; Э. Виттен (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков , Провиденс: Американское математическое общество, стр. 99–135 . См. также веб-сайт программы для предварительной версии.
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991), Теория представлений. Первый курс , Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике, вып. 129, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  0-387-97495-4 , МР   1153249 .
• Харви, Ф. Риз (1990), Спиноры и калибровки , Academic Press, ISBN  978-0-12-329650-4 .
• Лоусон, Х. Блейн ; Майкельсон, Мария-Луиза (1989), Спиновая геометрия , Princeton University Press, ISBN  0-691-08542-0 .
• Вейль, Герман (1946), Классические группы: их инварианты и представления (2-е изд.), Princeton University Press (перепечатано в 1997 г.), ISBN  978-0-691-05756-9 .