Картановая подгруппа
В теории алгебраических групп — подгруппа Картана связной линейной алгебраической группы. над полем (не обязательно алгебраически замкнутым) является централизатором максимального тора. Подгруппы Картана гладкие (эквивалентно редуцированные), связные и нильпотентные. Если алгебраически замкнуто, все они сопряжены друг другу. [1]
Обратите внимание, что в контексте алгебраических групп тор является алгебраической группой. такое, что базовое расширение (где является алгебраическим замыканием ) изоморфно произведению конечного числа копий . Максимальные такие подгруппы играют в теории алгебраических групп роль, аналогичную роли максимальных торов в теории групп Ли .
Если редуктивен централизатором (в частности, если он полупрост), то тор максимален тогда и только тогда, когда он является собственным [2] и, следовательно, подгруппы Картана являются в точности максимальными торами.
Пример
[ редактировать ]Общие линейные группы являются редуктивными. Диагональная подгруппа, очевидно, является тором (на самом деле это расщепленный тор, поскольку она является произведением n копий уже перед любым расширением базы), и можно показать, что оно максимально. С редуктивна, диагональная подгруппа является подгруппой Картана.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Милн (2017) , Предложение 17.44.
- ^ Милн (2017) , Следствие 17.84.
- Борель, Арманд (31 декабря 1991 г.). Линейные алгебраические группы . ISBN 3-540-97370-2 .
- Ланг, Серж (2002). Алгебра . Спрингер. ISBN 978-0-387-95385-4 .
- Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736 , ISBN 978-1107167483 , МР 3729270
- Попов, В.Л. (2001) [1994], «Подгруппа Картана» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы , Progress in Mathematics, vol. 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7 , МР 1642713