Модуль Клиффорда

В математике модуль Клиффорда — это представление алгебры Клиффорда . В общем случае алгебра Клиффорда C — это центральная простая алгебра над некоторым расширением L поля K, над которым квадратичная форма Q , определяющая C. определена

Абстрактная теория модулей Клиффорда была основана на статье М. Ф. Атьи , Р. Ботта и Арнольда С. Шапиро . Фундаментальный результат о модулях Клиффорда состоит в том, что класс эквивалентности Мориты алгебры Клиффорда (класс эквивалентности категории модулей Клиффорда над ней) зависит только от сигнатуры p − q (mod 8) . Это алгебраическая форма периодичности Ботта .

Матричные представления вещественных алгебр Клиффорда

Нам потребуется изучить антикоммутирующие матрицы ( AB = − BA ), поскольку в алгебрах Клиффорда ортогональные векторы антикоммутируют.

$A\cdot B={\frac {1}{2}}(AB+BA)=0.$

Для настоящей алгебры Клиффорда $\mathbb {R} _{p,q}$, нам нужны p + q взаимно антикоммутирующие матрицы, из которых p имеет +1 в качестве квадрата, а q имеет -1 в качестве квадрата.

${\begin{matrix}\gamma _{a}^{2}&=&+1&{\mbox{if}}&1\leq a\leq p\\\gamma _{a}^{2}&=&-1&{\mbox{if}}&p+1\leq a\leq p+q\\\gamma _{a}\gamma _{b}&=&-\gamma _{b}\gamma _{a}&{\mbox{if}}&a\neq b.\ \\\end{matrix}}$

Такой базис гамма-матриц не является единственным. Всегда можно получить другой набор гамма-матриц, удовлетворяющих той же алгебре Клиффорда, с помощью преобразования подобия.

$\gamma _{a'}=S\gamma _{a}S^{-1},$

где S — неособая матрица. Множества γ _{a ′} и γ _a принадлежат одному и тому же классу эквивалентности.

Вещественная алгебра Клиффорда R _3,1

Этот модуль Клиффорда, разработанный Этторе Майораной , позволяет построить уравнение типа Дирака без комплексных чисел, а его элементы называются спинорами Майораны .

Четыре базисных вектора — это три матрицы Паули и четвертая антиэрмитова матрица. Подпись : (+++−). Для сигнатур (+---) и (---+), часто используемых в физике, необходимы комплексные матрицы 4×4 или вещественные матрицы 8×8.

См. также

• Матрицы Вейля – Брауэра
• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Комплект модулей Клиффорда

Ссылки

• Атья, Майкл; Ботт, Рауль; Шапиро, Арнольд (1964), «Модули Клиффорда» (PDF) , Топология , 3 (Приложение 1): 3–38, doi : 10.1016/0040-9383(64)90003-5 , заархивировано из оригинала (PDF) на 17 июля 2011 г. , получено 28 июля 2011 г.
• Делинь, Пьер (1999), «Заметки о спинорах», в Делинь, П.; Этингоф, П.; Фрид, Д.С.; Джеффри, ЛК; Каждан Д.; Морган, JW; Моррисон, доктор медицинских наук; Виттен, Э. (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков , Провиденс: Американское математическое общество, стр. 99–135, ISBN.  978-0-8218-2012-4 . См. также веб-сайт программы для предварительной версии.
• Харви, Ф. Риз (1990), Спиноры и калибровки , Academic Press, ISBN  978-0-12-329650-4 .
• Лоусон, Х. Блейн; Майкельсон, Мария-Луиза (1989), Спиновая геометрия , Princeton University Press, ISBN  0-691-08542-0 .