Центральная простая алгебра

В теории колец и смежных областях математики центральная простая алгебра ( CSA ) над полем K представляет собой конечномерную ассоциативную K -алгебру A , которая является простой и для которой является именно K. центром (Обратите внимание, что не всякая простая алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром: например, если K — поле характеристики 0, то алгебра Вейля $K[X,\partial _{X}]$ является простой алгеброй с центром K , но не является центральной простой алгеброй над K, поскольку имеет бесконечную размерность как K -модуль.)

Например, комплексные числа C образуют CSA над собой, но не над действительными числами R (центром C является весь C , а не только R ). Кватернионы H и образуют 4-мерный CSA над R фактически представляют единственный нетривиальный элемент группы Брауэра действительных чисел (см. ниже).

Даны две центральные простые алгебры A ~ M ( n , S ) и B ~ M ( m , T ) над одним и тем же полем F , A и B называются подобными (или Брауэровскими эквивалентами ), если их тела S и T изоморфны. Множество всех классов эквивалентности центральных простых алгебр над данным полем F при этом отношении эквивалентности может быть снабжено групповой операцией, заданной тензорным произведением алгебр . Полученная группа называется группой Брауэра Br( F поля F. ) Это всегда торсионная группа .

Свойства

• Согласно Веддерберна конечномерная простая алгебра A изоморфна матричной алгебре M ( n , S ) для некоторого тела S. теореме Артина – Следовательно, в каждом классе эквивалентности Брауэра существует единственная алгебра с делением.
• Каждый автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним автоморфизмом (это следует из теоремы Скулема–Нётер ).
• Размерность степень центральной простой алгебры как векторного пространства над ее центром всегда равна квадрату: равна квадратному корню из этого измерения. Индекс Шура центральной простой алгебры - это степень эквивалентной алгебры с делением: оно зависит только от класса Брауэра алгебры.
• Период центральной простой алгебры — это или показатель порядок ее класса Брауэра как элемента группы Брауэра. Это делитель индекса, и эти два числа состоят из одних и тех же простых делителей.
• Если S — простая подалгебра центральной простой алгебры A, то dim _F   S делит dim _F   A .
• Каждая 4-мерная центральная простая алгебра над полем F изоморфна алгебре кватернионов ; на самом деле это либо матричная алгебра два на два , либо алгебра с делением .
• Если D — центральная алгебра с делением над K , индекс которой имеет простую факторизацию

$\mathrm {ind} (D)=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}\$

тогда D имеет разложение тензорного произведения

$D=\bigotimes _{i=1}^{r}D_{i}\$

где каждая компонента D _i представляет собой центральную алгебру с делением индекса $p_{i}^{m_{i}}$, а компоненты определены однозначно с точностью до изоморфизма.

Поле разделения

назовем Поле E полем разложения для A над K , если A ⊗ E изоморфно кольцу матриц над E . Каждое конечномерное CSA имеет поле разложения: действительно, в случае, когда A — тело алгебры, то максимальное подполе в A является полем разложения. В общем случае по теоремам Веддерберна и Кете существует поле разложения, которое является сепарабельным расширением поля К равной индексу поля А , и это поле разложения изоморфно подполю поля А. степени , Например, поле C расщепляет алгебру кватернионов H над R с помощью

$t+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \leftrightarrow \left({\begin{array}{*{20}c}t+xi&y+zi\\-y+zi&t-xi\end{array}}\right).$

Мы можем использовать существование поля расщепления, чтобы определить приведенную норму и сокращенный след для CSA A . Отобразите A в кольцо матриц над полем разложения и определите приведенную норму и след как составную часть этого отображения с определителем и следом соответственно. Например, в алгебре кватернионов H приведенное выше расщепление показывает, что элемент t + x i + y j + z k имеет приведенную норму t ² + х ² + и ² + я ² и уменьшенный след 2 т .

Приведенная норма является мультипликативной, а приведенный след – аддитивной. Элемент a из A обратим тогда и только тогда, когда его приведенная норма отлична от нуля: следовательно, CSA является делением тогда и только тогда, когда приведенная норма отлична от нуля на ненулевых элементах.

Обобщение

CSA над полем K являются некоммутативным аналогом расширенных полей над K - в обоих случаях они не имеют нетривиальных двусторонних идеалов и имеют выделенное поле в своем центре, хотя CSA может быть некоммутативным и не обязательно должна иметь обратные (не обязательно должна быть алгеброй с делением ). Это представляет особый интерес в некоммутативной теории чисел как обобщении числовых полей (расширения рациональных чисел Q ); см. некоммутативное числовое поле .

См. также

• Алгебра Адзумая , обобщение CSA, в котором базовое поле заменяется коммутативным локальным кольцом
• Сорт Севери – Брауэра
• Теорема Познера

Ссылки

• Кон, премьер-министр (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (2-е изд.). Спрингер. ISBN  1852336676 . Збл   1006.00001 .
• Джейкобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями . Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-57029-2 . Збл   0874.16002 .
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том. 67. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1095-2 . МР   2104929 . Збл   1068.11023 .
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Спрингер. ISBN  978-0-387-72487-4 . Збл   1130.12001 .

Дальнейшее чтение

• Альберт, А.А. (1939). Структура алгебр . Публикации коллоквиума. Том. 24 (7-е исправленное переиздание). Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1024-3 . Збл   0023.19901 .
• Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-86103-9 . Збл   1137.12001 .