Порядок (теория колец)

«Максимальный заказ» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о максимальном порядке арифметической функции, см. Экстремальные порядки арифметической функции .

В математике порядок . в смысле теории колец — это подкольцо ${\mathcal {O}}$ кольца ​ $A$, такой, что

1. $A$ является конечномерной алгеброй над полем $\mathbb {Q}$ рациональных чисел
2. ${\mathcal {O}}$ пролеты $A$ над $\mathbb {Q}$, и
3. ${\mathcal {O}}$ это $\mathbb {Z}$- решетка в $A$.

Последние два условия можно сформулировать менее формально: ${\mathcal {O}}$ — свободная абелева группа порожденная базисом , $A$ над $\mathbb {Q}$.

В более общем плане для $R$ область целостности с полем дробей $K$, $R$-порядок в конечномерном $K$-алгебра $A$ является подкольцом ${\mathcal {O}}$ из $A$ который является полным $R$-решетка; т.е. является конечным $R$-модуль со свойством, которое ${\mathcal {O}}\otimes _{R}K=A$.

Когда $A$ не является коммутативным кольцом , идея порядка по-прежнему важна, но явления другие. Например, кватернионы Гурвица образуют максимальный порядок среди кватернионов с рациональными координатами; они не являются кватернионами с целочисленными координатами в самом очевидном смысле. Максимальные порядки вообще существуют, но не обязательно должны быть уникальными: обычно не существует наибольшего порядка, а есть несколько максимальных порядков. Важным классом примеров являются целые групповые кольца .

Примеры

Некоторые примеры заказов:

• Если $A$ это матричное кольцо $M_{n}(K)$ над $K$, то матричное кольцо $M_{n}(R)$ над $R$ это $R$-заказать в $A$
• Если $R$ является целостной областью и $L$ конечное сепарабельное расширение $K$, то интегральное замыкание $S$ из $R$ в $L$ это $R$-заказать в $L$.
• Если $a$ в $A$ является неотъемлемым элементом над $R$, то кольцо полиномов $R[a]$ это $R$-порядок в алгебре $K[a]$
• Если $A$ это групповое кольцо $K[G]$ конечной группы $G$, затем $R[G]$ это $R$-заказать на $K[G]$

Фундаментальное свойство $R$-orders заключается в том, что каждый элемент $R$-порядок целочислен по $R$.

Если интегральное замыкание $S$ из $R$ в $A$ это $R$-порядок, тогда целостность каждого элемента каждого $R$-порядок показывает, что $S$ должен быть единственным максимальным $R$-заказать в $A$. Однако $S$ не всегда должен быть $R$-заказ: действительно $S$ даже не обязательно должно быть кольцо, и даже если $S$ является кольцом (например, когда $A$ коммутативен), тогда $S$ не обязательно должен быть $R$-решетка.

Алгебраическая теория чисел

Ярким примером является случай, когда $A$ это числовое поле $K$ и ${\mathcal {O}}$ является его кольцом целых чисел . В алгебраической теории чисел есть примеры для любых $K$ кроме рационального поля собственных подколец кольца целых чисел, которые также являются порядками. Например, в расширении поля $A=\mathbb {Q} (i)$ гауссовых рациональных чисел над $\mathbb {Q}$, интегральное замыкание $\mathbb {Z}$ — кольцо гауссовских целых чисел $\mathbb {Z} [i]$ и это единственный максимум $\mathbb {Z}$-order: все остальные заказы в $A$ содержатся в нем. Например, мы можем взять подкольцо комплексных чисел вида $a+2bi$, с $a$ и $b$ целые числа.

Вопрос о максимальном порядке можно исследовать на локальном уровне поля . Этот метод применяется в алгебраической теории чисел и теории модулярных представлений .

См. также

• Порядок кватернионов Гурвица - пример порядка колец

Ссылки

• Похст, М.; Зассенхаус, Х. (1989). Алгоритмическая алгебраическая теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 30. Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-33060-2 . Збл   0685.12001 .
• Райнер, И. (2003). Максимальные заказы . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том. 28. Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-852673-3 . Збл   1024.16008 .