Уравнение Вейля

В физике , особенно в квантовой теории поля , уравнение Вейля представляет собой релятивистское волновое уравнение , описывающее безмассовые частицы со спином 1/2, называемые фермионами Вейля . Уравнение названо в честь Германа Вейля . Фермионы Вейля — один из трех возможных типов элементарных фермионов, два других — Дирака и фермионы Майорана .

Ни одна из элементарных частиц Стандартной модели не является фермионом Вейля. До подтверждения осцилляций нейтрино считалось возможным, что нейтрино может быть фермионом Вейля (теперь ожидается, что это фермион Дирака или Майорана). В физике конденсированного состояния некоторые материалы могут отображать квазичастицы , которые ведут себя как фермионы Вейля, что приводит к понятию полуметаллов Вейля .

Математически любой фермион Дирака можно разложить на два фермиона Вейля противоположной киральности, связанные массовым членом. ^[1]

История [ править ]

Уравнение Дирака было опубликовано в 1928 году Полем Дираком и впервые использовалось для моделирования частиц со спином ½ в рамках релятивистской квантовой механики . ^[2] Герман Вейль опубликовал свое уравнение в 1929 году как упрощенную версию уравнения Дирака. ^[2]^[3] Вольфганг Паули в 1933 году выступил против уравнения Вейля, поскольку оно нарушало четность . ^[4] Однако за три года до этого Паули предсказал существование нового элементарного фермиона , нейтрино , чтобы объяснить бета-распад , который в конечном итоге был описан с помощью уравнения Вейля.

В 1937 году Коньерс Херринг предположил, что фермионы Вейля могут существовать в виде квазичастиц в конденсированном состоянии. ^[5]

Нейтрино были экспериментально обнаружены в 1956 году как частицы с чрезвычайно малой массой (и исторически иногда даже считались безмассовыми). ^[4] В том же году эксперимент Ву показал, что паритет может быть нарушен из-за слабого взаимодействия , что противоречило критике Паули. ^[6] нейтрино За этим последовало измерение спиральности в 1958 году. ^[4]Поскольку эксперименты не показали никаких признаков массы нейтрино, интерес к уравнению Вейля возобновился. Таким образом, Стандартная модель была построена в предположении, что нейтрино являются фермионами Вейля. ^[4]

Хотя итальянский физик Бруно Понтекорво в 1957 году предположил возможность существования нейтринных масс и нейтринных осцилляций , ^[4] только в 1998 году Супер-Камиоканде наконец подтвердил существование нейтринных осцилляций и их ненулевую массу. ^[4] Это открытие подтвердило, что уравнение Вейля не может полностью описать распространение нейтрино, поскольку уравнения могут описывать только безмассовые частицы. ^[2]

В 2015 году первый полуметалл Вейля был экспериментально продемонстрирован в кристаллическом арсениде тантала (TaAs) в сотрудничестве команд М. З. Хасана ( Принстонский университет ) и Х. Дина ( Китайская академия наук ). ^[5] Независимо, в том же году М. Солячича команда ( Массачусетский технологический институт ) также наблюдала вейлевские возбуждения в фотонных кристаллах . ^[5]

Уравнение [ править ]

Уравнение Вейля имеет две формы. Правую форму можно записать так: ^[7]^[8]^[9]

\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0

Разложив это уравнение и подставив $c$ для скорости света это становится

I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0

где

\sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}

- вектор 2 × 2. , компоненты которого представляют собой единичную матрицу $I_{2}$ для $\mu =0$ и матрицы Паули для $\mu =1,2,3,$ и $\psi$ – волновая функция – один из спиноров Вейля . Левая форма уравнения Вейля обычно записывается как:

{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0

где

{\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}~.

Решения правых и левых уравнений Вейля различны: они имеют правую и левую спиральность и, следовательно, киральность соответственно. Удобно указать это явно следующим образом: $\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0$ и ${\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.$

Решения для плоских волн [ править ]

Плосковолновые . решения уравнения Вейля называются левым и правым спинорами Вейля, каждый из которых состоит из двух компонент Оба имеют форму

\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }

,

где

\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}

представляет собой зависящий от импульса двухкомпонентный спинор, который удовлетворяет условию

\sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0

или

{\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0

.

Путем прямых манипуляций получается, что

\left({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu }\right)\left(\sigma ^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =\left(\sigma ^{\nu }p_{\nu }\right)\left({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =p_{\mu }p^{\mu }\chi =\left(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0

,

частице и приходит к выводу, что уравнения соответствуют безмассовой . В результате величина импульса $\mathbf {p}$ относится непосредственно к волновому вектору $\mathbf {k}$ по соотношениям де Бройля как:

|\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |={\frac {\hbar \omega }{c}}\,\Rightarrow \,|\mathbf {k} |={\frac {\omega }{c}}

Уравнение можно записать в терминах левых и правых спиноров как:

{\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}&=0\\{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}&=0\end{aligned}}

Спиральность [ править ]

Левая и правая компоненты соответствуют спиральности $\lambda$ частиц, проекция оператора углового момента $\mathbf {J}$ на линейный импульс $\mathbf {p}$ :

\mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle

Здесь ${\textstyle \lambda =\pm {\frac {1}{2}}~.}$

Лоренц-инвариантность [ править ]

Оба уравнения лоренц-инвариантны относительно преобразования Лоренца. $x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x$ где $\Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)~.$ Точнее, уравнения преобразуются как

\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)

где $S^{\dagger }$ является эрмитовым транспонированием при условии, что правое поле преобразуется как

\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)

Матрица $S\in SL(2,\mathbb {C} )$ связано с преобразованием Лоренца посредством двойного покрытия группы Лоренца специальной линейной группой $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ данный

\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}

Таким образом, если непреобразованный дифференциал обращается в нуль в одной системе Лоренца, то он исчезает и в другой. Сходным образом

{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)

при условии, что левое поле преобразуется как

\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)~.

Доказательство: ни одно из этих свойств трансформации никоим образом не является «очевидным» и поэтому заслуживает тщательного вывода. Начните с формы

\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=R\psi _{\rm {R}}(x)

для какого-то неизвестного $R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ быть определенным. Преобразование Лоренца в координатах имеет вид

x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }

или, что то же самое,

x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }

Это ведет к

{\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}

Чтобы воспользоваться картой Вейля

\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}

несколько индексов необходимо поднять и понизить. Это легче сказать, чем сделать, поскольку это вызывает тождество

\eta \Lambda ^{\mathsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}

где $\eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)$ плоского пространства — метрика Минковского . Приведенное выше тождество часто используется для определения элементов $\Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).$ Делается транспонирование:

{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }

написать

{\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}

Таким образом, человек восстанавливает первоначальную форму, если $S^{-1}R=1,$ то есть, $R=S.$ Проделав те же манипуляции с левым уравнением, приходим к выводу, что

\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=L\psi _{\rm {L}}(x)

с $L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.$ ^[а]

с Майораной Отношения

Уравнение Вейля традиционно интерпретируется как описание безмассовой частицы. Однако с небольшой переделкой можно получить двухкомпонентную версию уравнения Майораны . ^[10] Это происходит потому, что специальная линейная группа $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ изоморфна симплектической группе $\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )~.$ Симплектическая группа определяется как набор всех комплексных матриц размера 2 × 2, удовлетворяющих условиям

S^{\mathsf {T}}\omega S=\omega

где

\omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}

Определяющее соотношение можно переписать как $\omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega$ где $S^{*}$ является комплексно-сопряженным . Правое поле, как отмечалось ранее, преобразуется как

\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)

и поэтому комплексно-сопряженное поле преобразуется как

\psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)

Применяя определяющее соотношение, можно сделать вывод, что

m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)

что является точно тем же свойством ковариации Лоренца, отмеченным ранее. Таким образом, линейная комбинация с использованием произвольного комплексного фазового коэффициента $\eta =e^{i\phi }$

i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)

преобразуется ковариантным образом; установка этого значения в ноль дает сложное двухкомпонентное уравнение Майораны . Уравнение Майораны традиционно записывается как четырехкомпонентное вещественное уравнение, а не как двухкомпонентное комплексное уравнение; вышеизложенное можно привести к четырехкомпонентной форме (подробности см. в этой статье). Аналогично, левокиральное уравнение Майораны (включая произвольный фазовый множитель $\zeta$ ) является

i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0

Как отмечалось ранее, левая и правая киральные версии связаны преобразованием четности. Косой комплексный конъюгат $\omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi$ можно признать зарядово -сопряженной формой $\psi ~.$ Таким образом, уравнение Майораны можно прочитать как уравнение, связывающее спинор с его зарядово-сопряженной формой. Две различные фазы массового члена связаны с двумя различными собственными значениями оператора зарядового сопряжения; см. в зарядовом сопряжении Подробности и уравнении Майораны.

Определим пару операторов, операторов Майораны,

D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\qquad D_{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K

где $K$ является кратким напоминанием о необходимости использования комплексного сопряжения. При преобразованиях Лоренца они преобразуются как

D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}

тогда как спиноры Вейля преобразуются как

\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}

так же, как указано выше. Таким образом, их согласованные комбинации являются лоренц-ковариантными, и можно принять

D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0

как пара комплексных 2-спинорных уравнений Майораны.

Продукты $D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}$ и $D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}$ оба лоренц-ковариантны. Продукт явно

D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)

Для проверки этого необходимо иметь в виду, что $\omega ^{2}=-1$ и это $Ki=-iK~.$ RHS сводится к оператору Клейна – Гордона при условии, что $\eta \zeta ^{*}=1$ , то есть $\eta =\zeta ~.$ Таким образом, эти два оператора Майораны являются «квадратными корнями» оператора Клейна – Гордона.

плотности Лагранжевы

Уравнения получены из лагранжевых плотностей

{\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}~,

{\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}~.

Рассматривая спинор и его конъюгат (обозначаемый $\dagger$ ) в качестве независимых переменных получается соответствующее уравнение Вейля.

Спиноры Вейля [ править ]

Термин спинор Вейля также часто используется в более общем контексте как элемент модуля Клиффорда . Это тесно связано с решениями, приведенными выше, и дает естественную геометрическую интерпретацию спиноров как геометрических объектов, живущих на многообразии . Эта общая установка имеет множество сильных сторон: она проясняет их интерпретацию как фермионов в физике и показывает, как точно определить спин в общей теории относительности или, более того, для любого риманова многообразия или псевдориманова многообразия . Неформально это обрисовывается следующим образом.

Уравнение Вейля инвариантно относительно действия группы Лоренца. Это означает, что при применении ускорений и вращений форма самого уравнения не меняется. Однако форма спинора $\psi$ сам меняется. Если полностью игнорировать пространство-время , алгебра спиноров описывается (комплексифицированной) алгеброй Клиффорда . Спиноры трансформируются под действием спиновой группы . Это полностью аналогично тому, как можно говорить о векторе и как он преобразуется под действием группы вращения , за исключением того, что теперь это было адаптировано к случаю спиноров.

Учитывая произвольное псевдориманово многообразие $M$ размера $(p,q)$ , можно рассмотреть его касательное расслоение $TM$ . В любой заданный момент $x\in M,$ касательное пространство $T_{x}M$ это $(p,q)$ размерное векторное пространство . По этому векторному пространству можно построить алгебру Клиффорда $\mathrm {Cl} (p,q)$ в теме. Если $\{e_{i}\}$ являются базисом векторного пространства на $T_{x}M$ , можно построить пару спиноров Вейля как ^[11]

w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)

и

w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)

При правильном рассмотрении в свете алгебры Клиффорда они, естественно, являются антикоммутирующими , то есть имеем следующее: $w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}~.$ Это можно с радостью интерпретировать как математическую реализацию принципа исключения Паули , что позволяет интерпретировать эти абстрактно определенные формальные структуры как фермионы. Для $(p,q)=(1,3)$ В многомерном пространстве-времени Минковского возможны только два таких спинора, условно обозначенных как «левый» и «правый», как описано выше. Более формальное, общее представление о спинорах Вейля можно найти в статье о спиновой группе .

Абстрактную общерелятивистскую форму уравнения Вейля можно понять следующим образом: дано псевдориманово многообразие $M,$ над ним строится расслоение со спиновой группой в качестве слоя. Спиновая группа $\mathrm {Spin} (p,q)$ является двойным накрытием специальной ортогональной группы $\mathrm {SO} (p,q)$ , и поэтому можно послойно отождествить спиновую группу с расслоением реперов над $M~.$ Когда это будет сделано, полученная структура будет называться спиновой структурой .

Выбор одной точки на волокне соответствует выбору локальной системы координат для пространства-времени; две разные точки на волокне связаны (лоренцевым) толчком/вращением, то есть локальным изменением координат. Естественными обитателями спиновой структуры являются спиноры Вейля, поскольку спиновая структура полностью описывает, как спиноры ведут себя при (Лоренцовых) повышениях/вращениях.

Для спинового многообразия аналогом метрической связности является спиновая связность ; по сути, это «то же самое», что и обычное соединение, только с последовательно прикрепленными к нему индексами вращения. Ковариантная производная может быть определена через связь совершенно обычным способом. Он естественным образом действует на расслоении Клиффорда ; расслоение Клиффорда — это пространство, в котором живут спиноры. Общее исследование таких структур и их взаимосвязей называется спиновой геометрией .

Математическое определение [ править ]

Даже для $n$ , четная подалгебра $\mathbb {C} l^{0}(n)$ комплексной алгебры Клиффорда $\mathbb {C} l(n)$ изоморфен $\mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})\oplus \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})=:\Delta _{n}^{+}\oplus \Delta _{n}^{-}$ , где $N=2^{n/2}$ . Левый (соответственно правый) комплексный спинор Вейля в $n$ Двухмерное пространство – это элемент $\Delta _{n}^{+}$ (соответственно, $\Delta _{n}^{-}$ ).

Особые случаи [ править ]

Из спиноров Вейля можно построить три важных частных случая. Одним из них является спинор Дирака , который можно рассматривать как пару спиноров Вейля, один левый и один правый. Они связаны друг с другом таким образом, что представляют собой электрически заряженное фермионное поле. Электрический заряд возникает вследствие трансформации поля Дирака под действием комплексифицированной спиновой группы $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).$ Эта группа имеет структуру

\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}

где $S^{1}\cong \mathrm {U} (1)$ представляет собой круг, и его можно отождествить с $\mathrm {U} (1)$ электромагнетизма . Продукт $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ это просто причудливое обозначение, обозначающее продукт $\mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}$ с противоположными точками $(s,u)=(-s,-u)$ идентифицированные (двойное покрытие).

снова Спинор Майораны представляет собой пару спиноров Вейля, но на этот раз устроенных так, что левый спинор является зарядовым сопряжением правого спинора. В результате получается поле с двумя степенями свободы меньше, чем у спинора Дирака. Он не способен взаимодействовать с электромагнитным полем, так как под действием $\mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }$ группа. То есть он преобразуется как спинор, но трансверсально, так что он инвариантен относительно $\mathrm {U} (1)$ действие спиновой группы.

Третий особый случай — спинор ELKO , построенный во многом аналогично спинору Майораны, за исключением дополнительного знака минус между парой сопряженных зарядов. Это снова делает его электрически нейтральным, но привносит ряд других весьма удивительных свойств.

Примечания [ править ]

^ Представленные здесь результаты идентичны результатам Асте (2010). ^[10]уравнения 52 и 57, хотя вывод, проведенный здесь, совершенно другой. Используемое здесь двойное накрытие также идентично уравнению Асте 48 и текущей версии (декабрь 2020 г.) статьи Википедии о группе Лоренца .

Ссылки [ править ]

^ Шифман, Михаил (1999). Лекции ИТЭФ по физике элементарных частиц и теории поля . Том. 1. п. 292. ИСБН 9789810239480 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Пал, Палаш Б. (2011). «Фермионы Дирака, Майорана и Вейля» . Американский журнал физики . 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718 . Бибкод : 2011AmJPh..79..485P . дои : 10.1119/1.3549729 . ISSN 0002-9505 . S2CID 118685467 .
^ Вейль, Герман (15 апреля 1929). «Гравитация и электрон» . Труды Национальной академии наук . 15 (4): 323–334. Бибкод : 1929PNAS...15..323W . дои : 10.1073/pnas.15.4.323 . ISSN 0027-8424 . ПМЦ 522457 . ПМИД 16587474 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Биленький, С.М. (2005). «История нейтринных осцилляций» . Физика Скрипта . Т121 : 17–22. arXiv : hep-ph/0410090 . Бибкод : 2005PhST..121...17B . дои : 10.1088/0031-8949/2005/T121/001 . ISSN 0031-8949 . S2CID 119341278 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Вишванат, Ашвин (8 сентября 2015 г.). «Где вещи Вейля» . АПС Физика . Том. 8.
^ Ву, CS; Эмблер, Э.; Хейворд, RW; Хоппс, Д.Д.; Хадсон, Р.П. (1957). «Экспериментальная проверка сохранения четности при бета-распаде» . Физический обзор . 105 (4): 1413–1415. Бибкод : 1957PhRv..105.1413W . дои : 10.1103/PhysRev.105.1413 .
^ Пирсон, Э. Аберс, изд. (2004). Квантовая механика . Аддисон Уэсли, ISBN Prentice Hall Inc. 978-0-13-146100-0 .
^ Воан, Г., изд. (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2 .
^ Пескин, Мэн; Шредер, Д.В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-50397-2 – через Google Книги.
^ Перейти обратно: ^а ^б Асте, Андреас (2010). «Прямая дорога к полям Майораны». Симметрия . Том. 2010, нет. 2. стр. 1776–1809. дои : 10.3390/sym2041776 . ISSN 2073-8994 .
^ Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.). Университетский текст Спрингера.

Дальнейшее чтение [ править ]

МакМахон, Д. (2008). Квантовая теория поля демистифицирована . США: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-154382-8 .
Мартин, БР; Шоу, Г. (2008). Физика частиц . Манчестерская физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-03294-7 .
- Мартин, Брайан Р.; Шоу, Грэм (2013). Физика элементарных частиц (3-е изд.). ISBN 9781118681664 – через Google Книги.
ЛаБелль, П. (2010). Раскрытие тайны суперсимметрии . США: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-163641-4 – через Google Книги.
Пенроуз, Роджер (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4 .
Джонстон, Хэмиш (23 июля 2015 г.). «Наконец-то обнаружены фермионы Вейля» . Мир физики . Проверено 22 ноября 2018 г.
Сьюдад, Давид (20 августа 2015 г.). «Безмассовый, но реальный» . Природные материалы . 14 (9): 863. дои : 10.1038/nmat4411 . ISSN 1476-1122 . ПМИД 26288972 .
Вишванат, Ашвин (8 сентября 2015 г.). «Где вещи Вейля» . АПС Физика . Том. 8 . Проверено 22 ноября 2018 г.
Цзя, Шуан; Сюй, Су-Ян; Хасан, М. Захид (25 октября 2016 г.). «Полуметаллы Вейля, дуги Ферми и киральная аномалия» . Природные материалы . 15 (11): 1140–1144. arXiv : 1612.00416 . Бибкод : 2016NatMa..15.1140J . дои : 10.1038/nmat4787 . ПМИД 27777402 . S2CID 1115349 .

Внешние ссылки [ править ]

[11] Представленные здесь результаты идентичны результатам Асте (2010). ^[10]уравнения 52 и 57, хотя вывод, проведенный здесь, совершенно другой. Используемое здесь двойное накрытие также идентично уравнению Асте 48 и текущей версии (декабрь 2020 г.) статьи Википедии о группе Лоренца .

[Shifman-1999-1] Шифман, Михаил (1999). Лекции ИТЭФ по физике элементарных частиц и теории поля . Том. 1. п. 292. ИСБН 9789810239480 .

[Pal-2011-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Пал, Палаш Б. (2011). «Фермионы Дирака, Майорана и Вейля» . Американский журнал физики . 79 (5): 485–498. arXiv : 1006.1718 . Бибкод : 2011AmJPh..79..485P . дои : 10.1119/1.3549729 . ISSN 0002-9505 . S2CID 118685467 .

[Weyl-1929-3] Вейль, Герман (15 апреля 1929). «Гравитация и электрон» . Труды Национальной академии наук . 15 (4): 323–334. Бибкод : 1929PNAS...15..323W . дои : 10.1073/pnas.15.4.323 . ISSN 0027-8424 . ПМЦ 522457 . ПМИД 16587474 .

[Bilenky-2005-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Биленький, С.М. (2005). «История нейтринных осцилляций» . Физика Скрипта . Т121 : 17–22. arXiv : hep-ph/0410090 . Бибкод : 2005PhST..121...17B . дои : 10.1088/0031-8949/2005/T121/001 . ISSN 0031-8949 . S2CID 119341278 .

[Vishwanath-2015-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с Вишванат, Ашвин (8 сентября 2015 г.). «Где вещи Вейля» . АПС Физика . Том. 8.

[Wu1957-6] Ву, CS; Эмблер, Э.; Хейворд, RW; Хоппс, Д.Д.; Хадсон, Р.П. (1957). «Экспериментальная проверка сохранения четности при бета-распаде» . Физический обзор . 105 (4): 1413–1415. Бибкод : 1957PhRv..105.1413W . дои : 10.1103/PhysRev.105.1413 .

[Pearson-2004-7] Пирсон, Э. Аберс, изд. (2004). Квантовая механика . Аддисон Уэсли, ISBN Prentice Hall Inc. 978-0-13-146100-0 .

[Woan-2010-8] Воан, Г., изд. (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2 .

[Peskin-Schroeder-1995-9] Пескин, Мэн; Шредер, Д.В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-50397-2 – через Google Книги.

[Aste-2010-10] Перейти обратно: ^а ^б Асте, Андреас (2010). «Прямая дорога к полям Майораны». Симметрия . Том. 2010, нет. 2. стр. 1776–1809. дои : 10.3390/sym2041776 . ISSN 2073-8994 .

[12] Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е изд.). Университетский текст Спрингера.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[а]

[10]

[11]