Принцип исключения Паули
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Wolfgang_Pauli_young.jpg/200px-Wolfgang_Pauli_young.jpg)
Часть серии статей о |
Квантовая механика |
---|
В квантовой механике принцип исключения Паули гласит, что две или более идентичные частицы с полуцелыми спинами (то есть фермионы ) не могут одновременно занимать одно и то же квантовое состояние внутри системы, подчиняющейся законам квантовой механики . Этот принцип был сформулирован австрийским физиком Вольфгангом Паули в 1925 году для электронов , а затем распространен на все фермионы с помощью его теоремы о спин-статистике 1940 года.
В случае электронов в атомах принцип исключения можно сформулировать следующим образом: в многоэлектронном атоме невозможно, чтобы любые два электрона имели одинаковые два значения всех четырех их квантовых чисел , а именно: n , главное квантовое число ; ℓ — азимутальное квантовое число ; м ℓ , магнитное квантовое число ; и m s — спиновое квантовое число . Например, если два электрона находятся на одной и той же орбитали , то их значения n , ℓ и m ℓ равны. В этом случае два значения пары m s (спин) должны быть разными. Поскольку единственными двумя возможными значениями проекции спина m s являются +1/2 и -1/2, отсюда следует, что один электрон должен иметь m s = +1/2, а другой m s = -1/2.
На частицы с целым спином ( бозоны ) не распространяется принцип Паули. Любое количество идентичных бозонов может занимать одно и то же квантовое состояние, например, фотоны, создаваемые лазером , или атомы, обнаруженные в конденсате Бозе-Эйнштейна .
Более строгое утверждение таково: при обмене двумя одинаковыми частицами полная (многочастичная) волновая функция антисимметрична для фермионов и симметрична для бозонов. Это означает, что если поменять местами пространственную и спиновую координаты двух одинаковых частиц, то полная волновая функция меняет знак для фермионов, но не меняет знак для бозонов.
Итак, если бы гипотетически два фермиона находились в одном и том же состоянии — например, в одном и том же атоме на одной и той же орбитали с одинаковым спином — то их замена ничего бы не изменила и общая волновая функция не изменилась бы. Однако единственный способ, которым полная волновая функция может одновременно менять знак (что требуется для фермионов), а также оставаться неизменной, заключается в том, что такая функция должна быть равна нулю всюду, а значит, такое состояние не может существовать. Это рассуждение неприменимо к бозонам, поскольку знак не меняется.
Обзор [ править ]
Принцип исключения Паули описывает поведение всех фермионов (частиц с полуцелым спином ), тогда как на бозонов (частиц с целым спином) распространяются другие принципы. Фермионы включают элементарные частицы , такие как кварки , электроны и нейтрино . Кроме того, барионы , такие как протоны и нейтроны ( субатомные частицы, состоящие из трех кварков) и некоторые атомы (например, гелий-3 ), являются фермионами и поэтому также описываются принципом Паули. Атомы могут иметь разный общий спин, который определяет, являются ли они фермионами или бозонами: например, гелий-3 имеет спин 1/2 и, следовательно, является фермионом, тогда как гелий-4 имеет спин 0 и является бозоном. [2] : 123–125 Принцип Паули лежит в основе многих свойств повседневной материи, от ее крупномасштабной стабильности до химического поведения атомов .
Полуцелый спин означает, что значение собственного углового момента фермионов равно (приведенную постоянную Планка ) раз на полуцелое число (1/2, 3/2, 5/2 и т. д.). В теории квантовой механики фермионы описываются антисимметричными состояниями . Напротив, частицы с целым спином (бозоны) имеют симметричные волновые функции и могут иметь одни и те же квантовые состояния. К бозонам относятся фотон , куперовские пары , отвечающие за сверхпроводимость , а также W- и Z-бозоны . Фермионы получили свое название от статистического распределения Ферми-Дирака , которому они подчиняются, а бозоны получили свое название от распределения Бозе-Эйнштейна .
История [ править ]
В начале 20 века стало очевидно, что атомы и молекулы с четным числом электронов химически более стабильны , чем атомы с нечетным числом электронов. «Атом и молекула» 1916 года Например, в статье Гилберта Н. Льюиса третий из шести постулатов химического поведения утверждает, что атом имеет тенденцию удерживать четное число электронов в любой данной оболочке, и особенно удерживать восемь электронов, которые, как он предполагал, обычно располагаются симметрично в восьми углах куба . [3] В 1919 году химик Ирвинг Ленгмюр предположил, что таблицу Менделеева можно объяснить, если электроны в атоме каким-либо образом связаны или сгруппированы. Считалось, что группы электронов занимают набор электронных оболочек вокруг ядра. [4] В 1922 году Нильс Бор обновил свою модель атома, предположив, что определенное количество электронов (например, 2, 8 и 18) соответствует стабильным «закрытым оболочкам». [5] : 203
Паули искал объяснение этим цифрам, которые поначалу были лишь эмпирическими . В то же время он пытался объяснить экспериментальные результаты эффекта Зеемана в атомной спектроскопии и ферромагнетизме . Он нашел важную подсказку в статье Эдмунда С. Стоунера 1924 года , в которой указывалось, что для данного значения главного квантового числа ( n ) число энергетических уровней одного электрона в спектрах щелочных металлов во внешнем Магнитное поле, в котором разделены все вырожденные энергетические уровни , равно числу электронов в замкнутой оболочке благородных газов при том же значении n . Это привело Паули к пониманию того, что сложное число электронов в закрытых оболочках можно свести к простому правилу: один электрон на состояние, если электронные состояния определяются с использованием четырех квантовых чисел. С этой целью он ввел новое двузначное квантовое число, идентифицированное Сэмюэлем Гаудсмитом и Джорджем Уленбеком как спин электрона . [6] [7]
с симметрией состояния Связь квантового
В своей Нобелевской лекции Паули разъяснил важность симметрии квантового состояния для принципа исключения: [8]
Среди различных классов симметрии наиболее важными (причем для двух частиц являются единственными) являются симметричный класс , в котором волновая функция не меняет своего значения при перестановке пространственных и спиновых координат двух частиц, и антисимметричный класс , в котором при такой перестановке волновая функция меняет знак... [Антисимметричный класс — это] правильная и общая волновая механическая формулировка принципа исключения.
Принцип исключения Паули с однозначной многочастичной волновой функцией эквивалентен требованию, чтобы волновая функция была антисимметричной относительно обмена . Если и пробегают базисные векторы гильбертова пространства , описывающего одночастичную систему, то тензорное произведение дает базисные векторы гильбертова пространства, описывающего систему двух таких частиц. Любое двухчастичное состояние можно представить как суперпозицию (то есть сумму) этих базисных векторов:
где каждый A ( x , y ) представляет собой (комплексный) скалярный коэффициент. Антисимметрия при обмене означает, что A ( x , y ) = − A ( y , x ) . Это подразумевает A ( x , y ) = 0, когда x = y , что является исключением Паули. Это верно для любого базиса, поскольку локальные изменения базиса сохраняют антисимметричные матрицы.
И наоборот, если диагональные величины A ( x , x ) равны нулю в каждом базисе , то компонент волновой функции
обязательно антисимметричен. Для доказательства рассмотрим матричный элемент
Это ноль, потому что две частицы имеют нулевую вероятность находиться в состоянии суперпозиции. . Но это равно
Первое и последнее члены являются диагональными элементами и равны нулю, а вся сумма равна нулю. Таким образом, элементы матрицы волновой функции подчиняются:
или
Для системы с n > 2 частиц многочастичные базисные состояния становятся n -кратными тензорными произведениями одночастичных базисных состояний, а коэффициенты волновой функции идентифицируются n одночастичными состояниями. Условие антисимметрии гласит, что коэффициенты должны менять знак всякий раз, когда меняются местами любые два состояния: для любого . Принцип исключения – это следствие того, что, если для любого затем Это показывает, что ни одна из n частиц не может находиться в одном и том же состоянии.
Продвинутая квантовая теория [ править ]
Согласно теореме о спин-статистике , частицы с целым спином занимают симметричные квантовые состояния, а частицы с полуцелым спином - антисимметричные состояния; более того, принципы квантовой механики допускают только целые или полуцелые значения спина. В релятивистской квантовой теории поля принцип Паули следует из применения оператора вращения в мнимом времени к частицам с полуцелым спином.
В одном измерении бозоны, как и фермионы, могут подчиняться принципу исключения. Одномерный бозе-газ с отталкивающими взаимодействиями бесконечной силы с дельта-функцией эквивалентен газу свободных фермионов. Причина этого в том, что в одном измерении обмен частицами требует, чтобы они прошли друг через друга; при бесконечно сильном отталкивании этого не может быть. Эта модель описывается квантовым нелинейным уравнением Шрёдингера . В пространстве импульсов принцип исключения справедлив и для конечного отталкивания в бозе-газе с взаимодействиями с дельта-функцией: [9] а также для взаимодействующих спинов и модели Хаббарда в одном измерении, а также для других моделей, решаемых анзацем Бете . Основным состоянием в моделях, решаемых анзацем Бете, является ферми-сфера .
Приложения [ править ]
Атомы [ править ]
Принцип Паули помогает объяснить широкий спектр физических явлений. Одним из особенно важных последствий этого принципа является сложная структура электронной оболочки атомов и способ обмена атомами электронов, что объясняет разнообразие химических элементов и их химических комбинаций. атом Электрически нейтральный содержит связанные электроны, число которых равно количеству протонов в ядре . Электроны, будучи фермионами, не могут занимать то же квантовое состояние, что и другие электроны, поэтому электроны должны «складываться» внутри атома, т.е. иметь разные спины, находясь на одной и той же электронной орбитали, как описано ниже.
Примером может служить нейтральный атом гелия (He), который имеет два связанных электрона, оба из которых могут занимать состояния с наименьшей энергией ( 1s ), приобретая противоположный спин; поскольку спин является частью квантового состояния электрона, два электрона находятся в разных квантовых состояниях и не нарушают принцип Паули. Однако спин может принимать только два разных значения ( собственные значения ). В атоме лития (Li) с тремя связанными электронами третий электрон не может находиться в состоянии 1s и вместо этого должен занимать состояние с более высокой энергией. Наименьшее доступное состояние — 2 с , так что основное состояние Li — 1 с. 2 2 с . Точно так же все более крупные элементы должны иметь оболочки с последовательно более высокой энергией. Химические свойства элемента во многом зависят от количества электронов во внешней оболочке; Атомы с разным числом занятых электронных оболочек, но с одинаковым количеством электронов во внешней оболочке, обладают сходными свойствами, что приводит к возникновению периодической таблицы элементов . [10] : 214–218
Чтобы проверить принцип исключения Паули для атома гелия, Гордон Дрейк [11] провел очень точные расчеты для гипотетических состояний атома He, нарушающих его, которые называются паронными состояниями . Позже К. Дейламян с соавт. [12] использовал атомно-лучевой спектрометр для поиска паронного состояния 1s2s 1 S 0 рассчитано Дрейком. Поиск не увенчался успехом и показал, что статистический вес этого паронического состояния имеет верхний предел 5 × 10. −6 . (Принцип исключения подразумевает нулевой вес.)
Свойства твердого тела [ править ]
В проводниках и полупроводниках имеется очень большое количество молекулярных орбиталей , которые эффективно образуют непрерывную зонную структуру энергетических уровней . В сильных проводниках ( металлах ) электроны настолько вырождены , что не могут даже внести большой вклад в теплоемкость металла. [13] : 133–147 Многие механические, электрические, магнитные, оптические и химические свойства твердых тел являются прямым следствием исключения Паули.
Стабильность материи [ править ]
Стабильность каждого электронного состояния в атоме описывается квантовой теорией атома, которая показывает, что близкое приближение электрона к ядру обязательно увеличивает кинетическую энергию электрона, что является применением принципа неопределенности Гейзенберга. [14] Однако стабильность больших систем со многими электронами и многими нуклонами — это другой вопрос, требующий соблюдения принципа Паули. [15]
Было показано, что принцип запрета Паули отвечает за то, что обычное объемное вещество стабильно и занимает объем. Это предположение было впервые сделано в 1931 году Полем Эренфестом , который указал, что электроны каждого атома не могут все попасть на орбиталь с самой низкой энергией и должны занимать все более крупные оболочки. Следовательно, атомы занимают объем и не могут быть сжаты слишком близко друг к другу. [16]
Первое строгое доказательство было предоставлено в 1967 году Фрименом Дайсоном и Эндрю Ленардом ( де ), которые рассмотрели баланс сил притяжения (электрон-ядерных) и отталкивания (электрон-электронные и ядерно-ядерные) и показали, что обычная материя коллапсирует и занимает гораздо меньший объем без принципа Паули. [17] [18] Гораздо более простое доказательство было найдено позже Эллиотом Х. Либом и Уолтером Тиррингом в 1975 году. Они предоставили нижнюю границу квантовой энергии в терминах модели Томаса-Ферми , которая устойчива благодаря теореме Теллера . В доказательстве использовалась нижняя граница кинетической энергии, которая теперь называется неравенством Либа-Тирринга .
Следствием принципа Паули здесь является то, что электроны одного и того же спина удерживаются друг от друга за счет отталкивающего обменного взаимодействия , которое представляет собой короткодействующий эффект, действующий одновременно с дальнодействующей электростатической или кулоновской силой . Этот эффект частично ответственен за повседневное наблюдение в макроскопическом мире, согласно которому два твердых объекта не могут находиться в одном и том же месте в одно и то же время.
Астрофизика [ править ]
Дайсон и Ленард не учли экстремальные магнитные или гравитационные силы, возникающие в некоторых астрономических объектах. В 1995 году Эллиот Либ и его коллеги показали, что принцип Паули по-прежнему приводит к стабильности в интенсивных магнитных полях, таких как нейтронные звезды , хотя и при гораздо более высокой плотности, чем в обычной материи. [19] Следствием общей теории относительности является то, что в достаточно интенсивных гравитационных полях материя коллапсирует, образуя черную дыру .
Астрономия представляет собой впечатляющую демонстрацию эффекта принципа Паули в виде белых карликов и нейтронных звезд . В обоих телах атомная структура нарушается под действием экстремального давления, но звезды удерживаются в гидростатическом равновесии за счет давления вырождения , также известного как давление Ферми. Эта экзотическая форма материи известна как вырожденная материя . Огромная гравитационная сила массы звезды обычно удерживается в равновесии за счет теплового давления , вызванного теплом, выделяемым при термоядерном синтезе в ядре звезды. У белых карликов, которые не подвергаются ядерному синтезу, сила, противодействующая гравитации, обеспечивается давлением электронного вырождения . В нейтронных звездах , подверженных еще более сильным гравитационным силам, электроны сливаются с протонами, образуя нейтроны. Нейтроны способны создавать еще более высокое давление вырождения, давление вырождения нейтронов , хотя и в более коротком диапазоне. Это может стабилизировать нейтронные звезды от дальнейшего коллапса, но при меньшем размере и более высокой плотности. чем белый карлик. Нейтронные звезды — самые «жесткие» из известных объектов; их модуль Юнга (точнее, модуль объемного сжатия ) на 20 порядков больше, чем у алмаза . Однако даже эту огромную жесткость можно преодолеть гравитационным полем нейтронной звезды, масса которого превышает предел Толмана-Оппенгеймера-Волкова , что приводит к образованию черной дыры . [20] : 286–287
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ «Вольфганг Паули во время лекции в Копенгагене» . Проверено 11 сентября 2023 г.
- ^ Кеннет С. Крейн (5 ноября 1987 г.). Введение в ядерную физику . Уайли. ISBN 978-0-471-80553-3 .
- ^ «Лайнус Полинг и природа химической связи: документальная история» . Исследовательский центр специальных коллекций и архивов — Университет штата Орегон — через Scarc.library.oregonstate.edu.
- ^ Ленгмюр, Ирвинг (1919). «Расположение электронов в атомах и молекулах» (PDF) . Журнал Американского химического общества . 41 (6): 868–934. дои : 10.1021/ja02227a002 . Архивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2012 г. Проверено 1 сентября 2008 г.
- ^ Шавив, Глора (2010). Жизнь звезд: противоречивое зарождение и появление теории звездной структуры . Спрингер. ISBN 978-3-642-02087-2 .
- ^ Штрауманн, Норберт (2004). «Роль принципа исключения атомов для звезд: исторический отчет». Приглашенный доклад на 12-м семинаре по ядерной астрофизике : 184–196. arXiv : Quant-ph/0403199 . Бибкод : 2004quant.ph..3199S . CiteSeerX 10.1.1.251.9585 .
- ^ Паули, В. (1925). «О связи замыкания электронных групп в атоме со сложной структурой спектров». Журнал по физике . 31 (1): 765–783. Бибкод : 1925ZPhy...31..765P . дои : 10.1007/BF02980631 . S2CID 122941900 .
- ^ «Вольфганг Паули, Нобелевская лекция (13 декабря 1946 г.)» (PDF) .
- ^ А.Г. Изергин; В.Е. Корепин (июль 1982 г.). «Принцип Паули для одномерных бозонов и алгебраический анзац Бете» (PDF) . Письма по математической физике . 6 (4): 283–288. Бибкод : 1982LMaPh...6..283I . дои : 10.1007/BF00400323 . S2CID 121829553 . Архивировано из оригинала (PDF) 25 ноября 2018 г. Проверено 2 декабря 2009 г.
- ^ Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.) , Прентис Холл, ISBN 0-13-111892-7
- ^ Дрейк, GWF (1989). «Предсказанные сдвиги энергии для «паронического» гелия» . Физ. Преподобный А. 39 (2): 897–899. Бибкод : 1989PhRvA..39..897D . дои : 10.1103/PhysRevA.39.897 . ПМИД 9901315 . S2CID 35775478 .
- ^ Дейламян, К.; и другие. (1995). «Поиск малых нарушений постулата симметризации в возбужденном состоянии гелия». Физ. Преподобный Летт . 74 (24): 4787–4790. Бибкод : 1995PhRvL..74.4787D . doi : 10.1103/PhysRevLett.74.4787 . ПМИД 10058599 .
- ^ Киттель, Чарльз (2005), Введение в физику твердого тела (8-е изд.), США: John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-41526-8
- ^ Либ, Эллиот Х. (2002). «Стабильность материи и квантовая электродинамика». arXiv : math-ph/0209034 .
- ^ Это осознание приписывается Либ, Эллиот Х. (2002). «Стабильность материи и квантовая электродинамика». arXiv : math-ph/0209034 . и по Г.Л. Сьюэлл (2002). Квантовая механика и ее новая макрофизика . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-05832-6 . Ф. Дж. Дайсону и А. Ленарду: Стабильность материи, части I и II ( J. Math. Phys. , 8 , 423–434 (1967); J. Math. Phys. , 9 , 698–711 (1968)).
- ^ Как описано Ф. Дж. Дайсоном (J.Math.Phys. 8 , 1538–1545 (1967)), Эренфест сделал это предложение в своем обращении по случаю вручения медали Лоренца . Паули
- ^ Ф. Дж. Дайсон и А. Ленард: Стабильность материи, части I и II ( J. Math. Phys. , 8 , 423–434 (1967); J. Math. Phys. , 9 , 698–711 (1968)).
- ^ Дайсон, Фриман (1967). «Энергия основного состояния конечной системы заряженных частиц». Дж. Математика. Физ . 8 (8): 1538–1545. Бибкод : 1967JMP.....8.1538D . дои : 10.1063/1.1705389 .
- ^ Либ, Э.Х.; Потеря, М.; Соловей, Дж. П. (1995). «Устойчивость материи в магнитных полях». Письма о физических отзывах . 75 (6): 985–9. arXiv : cond-mat/9506047 . Бибкод : 1995PhRvL..75..985L . doi : 10.1103/PhysRevLett.75.985 . ПМИД 10060179 . S2CID 2794188 .
- ^ Мартин Бойовальд (5 ноября 2012 г.). Вселенная: взгляд с точки зрения классической и квантовой гравитации . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-3-527-66769-7 .
- Общий
- Дилл, Дэн (2006). «Глава 3.5, Многоэлектронные атомы: ферми-дырки и ферми-кучи». Заметки по общей химии (2-е изд.) . У. Х. Фриман. ISBN 1-4292-0068-5 .
- Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8714-5 .
- Массими, Микела (2005). Принцип исключения Паули . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-83911-4 .
- Типлер, Пол; Ллевелин, Ральф (2002). Современная физика (4-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-4345-0 .
- Шерри, Эрик (2007). Таблица Менделеева: ее история и значение . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-530573-9 .
Внешние ссылки [ править ]
- Нобелевская лекция: Принцип исключения и квантовая механика. Отчет Паули о развитии принципа исключения.