Неразличимые частицы

В квантовой механике неотличимые частицы (также называемые идентичными или неразличимыми частицами ) — это частицы , которые невозможно отличить друг от друга даже в принципе. Разновидности идентичных частиц включают, помимо прочего, элементарные частицы (такие как электроны ), составные субатомные частицы (такие как атомные ядра ), а также атомы и молекулы . квазичастицы Подобным образом ведут себя и . Хотя все известные неразличимые частицы существуют только в квантовом масштабе, не существует ни исчерпывающего списка всех возможных типов частиц, ни четкого предела применимости, как это исследуется в квантовой статистике . Впервые они были обсуждены Вернером Гейзенбергом и Полем Дираком в 1926 году. ^[1]

Есть две основные категории идентичных частиц: бозоны , которые могут иметь общие квантовые состояния , и фермионы , которые не могут (как описано в принципе исключения Паули ). Примерами бозонов являются фотоны , глюоны , фононы , ядра гелия-4 и все мезоны . Примерами фермионов являются электроны , нейтрино , кварки , протоны , нейтроны и гелия-3 ядра .

Тот факт, что частицы могут быть идентичными, имеет важные последствия в статистической механике , где расчеты основаны на вероятностных аргументах, которые чувствительны к тому, идентичны ли изучаемые объекты. В результате идентичные частицы демонстрируют заметно отличающееся статистическое поведение от различимых частиц. Например, неразличимость частиц была предложена как решение парадокса смешивания Гиббса .

Различение частиц

Существует два метода различения частиц. Первый метод основан на различиях во внутренних физических свойствах частиц, таких как масса , электрический заряд и спин . Если существуют различия, можно различить частицы, измеряя соответствующие свойства. Однако, насколько можно определить, микроскопические частицы одного и того же вида обладают совершенно эквивалентными физическими свойствами. ^{[ нужна ссылка ]} Например, каждый электрон имеет одинаковый электрический заряд .

Даже если частицы имеют эквивалентные физические свойства, остается второй метод различения частиц, заключающийся в отслеживании траектории каждой частицы. Пока положение каждой частицы можно измерить с бесконечной точностью (даже когда частицы сталкиваются), не будет никакой двусмысленности относительно того, какая частица какая.

Проблема второго подхода в том, что он противоречит принципам квантовой механики . Согласно квантовой теории, частицы не обладают определенными положениями в периоды между измерениями. Вместо этого они управляются волновыми функциями , которые определяют вероятность обнаружения частицы в каждой позиции. С течением времени волновые функции имеют тенденцию расширяться и перекрываться. Как только это произойдет, при последующем измерении становится невозможным определить, какое из положений частиц соответствует измеренному ранее. В этом случае говорят, что частицы неразличимы.

Квантово-механическое описание

Симметричные и антисимметричные состояния

Антисимметричная волновая функция для (фермионного) двухчастичного состояния в потенциале бесконечной квадратной ямы.

Симметричная волновая функция для (бозонного) двухчастичного состояния в потенциале бесконечной квадратной ямы.

Далее следует пример, позволяющий конкретизировать приведенное выше обсуждение, используя формализм, развитый в статье о математической формулировке квантовой механики .

Пусть n обозначает полный набор (дискретных) квантовых чисел для определения одночастичных состояний (например, для о частице в ящике задачи примите n за квантованный волновой вектор волновой функции.) Для простоты рассмотрим систему, состоящую двух частиц, не взаимодействующих друг с другом. Предположим, что одна частица находится в состоянии n ₁ , а другая — в состоянии n ₂ . Квантовое состояние системы обозначается выражением

|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle

где порядок тензорного произведения имеет значение (если $|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle$ , то частица 1 занимает состояние n ₂ , а частица 2 — состояние n ₁ ). Это канонический способ построения основы произведений . тензорного пространства $H\otimes H$ комбинированной системы из отдельных помещений. Это выражение справедливо для различимых частиц, однако для неразличимых частиц оно неприемлемо, поскольку $|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle$ и $|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle$ в результате обмена частицы обычно находятся в разных состояниях.

«частица 1 занимает состояние n ₁ , а частица 2 занимает состояние n ₂ » ≠ «частица 1 занимает состояние n ₂ , а частица 2 занимает состояние n ₁ ».

Два состояния физически эквивалентны только в том случае, если они отличаются не более чем на комплексный фазовый коэффициент. Для двух неразличимых частиц состояние до обмена частицами должно быть физически эквивалентно состоянию после обмена, поэтому эти два состояния отличаются максимум на комплексный фазовый коэффициент. Этот факт позволяет предположить, что состояние двух неразличимых (и невзаимодействующих) частиц задается следующими двумя возможностями: ^[2]^[3]^[4]

|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle

Состояния, в которых это сумма, называются симметричными , а состояния, в которых присутствует разность, называются антисимметричными . Более полно симметричные состояния имеют вид

|n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}

а антисимметричные состояния имеют вид

|n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}

Обратите внимание: если n ₁ и n ₂ одинаковы, антисимметричное выражение дает ноль, который не может быть вектором состояния, поскольку его нельзя нормализовать. Другими словами, более одной одинаковой частицы не может находиться в антисимметричном состоянии (одно антисимметричное состояние может занимать только одна частица). Это известно как принцип Паули , и это фундаментальная причина химических свойств атомов и стабильности материи .

Обменная симметрия

Важность симметричных и антисимметричных государств в конечном итоге основана на эмпирических данных. Кажется, это факт природы, что идентичные частицы не занимают состояния смешанной симметрии, такие как

|n_{1},n_{2};?\rangle ={\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +i|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}

На самом деле из этого правила есть исключение, о котором мы поговорим позже. С другой стороны, можно показать, что симметричные и антисимметричные состояния в некотором смысле особенные, исследуя особую симметрию многочастичных состояний, известную как обменная симметрия .

Определим линейный оператор P , называемый оператором обмена. Когда он действует на тензорное произведение двух векторов состояния, он меняет значения векторов состояния:

P{\bigg (}|\psi \rangle |\phi \rangle {\bigg )}\equiv |\phi \rangle |\psi \rangle

P является одновременно эрмитовым и унитарным . Поскольку он унитарен, его можно рассматривать как оператор симметрии . Эту симметрию можно описать как симметрию относительно обмена метками, прикрепленными к частицам (т. е. к одночастичным гильбертовым пространствам).

Четко, $P^{2}=1$ (тождественный оператор), поэтому равны +1 собственные значения P и −1. Соответствующие собственные векторы представляют собой симметричное и антисимметричное состояния:

P|n_{1},n_{2};S\rangle =+|n_{1},n_{2};S\rangle

P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle

Другими словами, симметричные и антисимметричные состояния практически не изменяются при обмене метками частиц: они только умножаются на коэффициент +1 или -1, а не «поворачиваются» где-то еще в гильбертовом пространстве. Это указывает на то, что метки частиц не имеют физического смысла, что согласуется с предыдущим обсуждением неотличимости.

Напомним, что P эрмитово. В результате его можно рассматривать как наблюдаемую системы, а это означает, что в принципе можно выполнить измерение, чтобы выяснить, является ли состояние симметричным или антисимметричным. Кроме того, эквивалентность частиц указывает на то, что гамильтониан можно записать в симметричной форме, например:

H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_{2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})

Можно показать, что такие гамильтонианы удовлетворяют коммутационному соотношению

\left[P,H\right]=0

Согласно уравнению Гейзенберга , это означает, что значение P является константой движения. Если квантовое состояние изначально симметрично (антисимметрично), оно останется симметричным (антисимметричным) по мере развития системы. Математически это означает, что вектор состояния ограничен одним из двух собственных пространств P и не может распространяться на все гильбертово пространство. Таким образом, это собственное пространство с таким же успехом можно рассматривать как фактическое гильбертово пространство системы. Это идея, лежащая в основе определения пространства Фока .

Фермионы и бозоны

Выбор симметрии или антисимметрии определяется видом частицы. Например, симметричные состояния всегда должны использоваться при описании фотонов или атомов гелия-4 , а антисимметричные состояния — при описании электронов или протонов .

Частицы, обладающие симметричными состояниями, называются бозонами . Природа симметричных состояний имеет важные последствия для статистических свойств систем, состоящих из многих одинаковых бозонов. Эти статистические свойства описываются как статистика Бозе-Эйнштейна .

Частицы, обладающие антисимметричными состояниями, называются фермионами . Антисимметрия порождает принцип исключения Паули , который запрещает идентичным фермионам находиться в одном и том же квантовом состоянии. Системы многих одинаковых фермионов описываются статистикой Ферми – Дирака .

Парастатистика математически возможна, но в природе не существует примеров. ^[5]

В некоторых двумерных системах может возникнуть смешанная симметрия. Эти экзотические частицы известны как анионы , и они подчиняются дробной статистике . Экспериментальные доказательства существования анионов существуют в виде дробного квантового эффекта Холла — явления, наблюдаемого в двумерных электронных газах, образующих инверсионный слой МОП-транзисторов . Существует другой тип статистики, известный как статистика кос , которая связана с частицами, известными как плектоны .

Теорема спин -статистики связывает обменную симметрию идентичных частиц с их спином . Он утверждает, что бозоны имеют целочисленный спин, а фермионы — полуцелый. Анионы обладают дробным спином.

N частиц

Вышеприведенное обсуждение легко обобщается на случай N частиц. Предположим, существует N частиц с квантовыми числами n ₁ , n ₂ , ..., n _N . Если частицы являются бозонами, они занимают полностью симметричное состояние , которое симметрично при обмене любыми двумя метками частиц:

|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle ={\sqrt {\frac {\prod _{n}m_{n}!}{N!}}}\sum _{p}\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle

Здесь сумма берется по всем различным состояниям при перестановках p, действующих на N элементов. Квадратный корень, оставшийся от суммы, является нормализующей константой . Величина m _n обозначает количество раз, когда каждое из одночастичных состояний n появляется в N -частичном состоянии. Обратите внимание, что Σ _n m _n = N .

Точно так же фермионы занимают полностью антисимметричные состояния :

|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatorname {sgn} (p)\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle \

Здесь $sn(p)$ — знак каждой перестановки (т. е. $+1$ если $p$ состоит из четного числа транспозиций и $-1$ если нечетное). Обратите внимание, что нет $\Pi _{n}m_{n}$ термин, поскольку каждое одночастичное состояние может возникнуть только один раз в фермионном состоянии. В противном случае сумма снова будет равна нулю из-за антисимметрии, что представляет собой физически невозможное состояние. Это принцип Паули для многих частиц.

Эти состояния были нормализованы так, что

\langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.

Измерение

Предположим, существует система из N бозонов (фермионов) в симметричном (антисимметричном) состоянии.

|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle

и измерение выполняется на некотором другом наборе дискретных наблюдаемых m . В общем, это дает некоторый результат m ₁ для одной частицы, m ₂ для другой частицы и так далее. Если частицы являются бозонами (фермионами), то состояние после измерения должно оставаться симметричным (антисимметричным), т.е.

|m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangle

Вероятность получения конкретного результата для измерения m равна

P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big |}\left\langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}

Можно показать, что

\sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N})=1

который проверяет, что общая вероятность равна 1. Сумма должна быть ограничена упорядоченными значениями m ₁ , ..., m _N, чтобы гарантировать, что каждое многочастичное состояние не учитывается более одного раза.

Представление волновой функции

До сих пор обсуждение включало только дискретные наблюдаемые. Его можно распространить на непрерывные наблюдаемые, такие как положение x .

Напомним, что собственное состояние непрерывной наблюдаемой представляет собой бесконечно малый диапазон значений наблюдаемой, а не одно значение, как в случае дискретных наблюдаемых. Например, если частица находится в состоянии | ψ ⟩, вероятность найти его в области объёма d ³x, окружающий некоторую позицию x ,

|\langle x|\psi \rangle |^{2}\;d^{3}x

В результате непрерывные собственные состояния | x ⟩ нормированы на дельта-функцию вместо единицы:

\langle x|x'\rangle =\delta ^{3}(x-x')

Симметричные и антисимметричные многочастичные состояния могут быть построены из непрерывных собственных состояний так же, как и раньше. Однако принято использовать другую нормировочную константу:

{\begin{aligned}|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle &={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \end{aligned}}

многих тел Волновую функцию можно записать так:

{\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\end{aligned}}

где одночастичные волновые функции определяются, как обычно, выражением

\psi _{n}(x)\equiv \langle x|n\rangle

Наиболее важным свойством этих волновых функций является то, что замена любых двух координатных переменных меняет волновую функцию только на знак плюс или минус. В этом проявляется симметрия и антисимметрия в представлении волновой функции:

{\begin{aligned}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{aligned}}

Волновая функция многих тел имеет следующий смысл: если система изначально находится в состоянии с квантовыми числами n ₁ , ..., n _N и производится измерение положения, то вероятность обнаружения частиц в бесконечно малых объемах вблизи x ₁ , x ₂ , ..., x _N есть

N!\;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}\;d^{3N}\!x

Фактор N ! исходит из нашей нормировочной константы, которая была выбрана так, что по аналогии с одночастичными волновыми функциями

\int \!\int \!\cdots \!\int \;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d^{3}\!x_{N}=1

Поскольку каждый интеграл охватывает все возможные значения x , каждое многочастичное состояние появляется N ! раз в интеграле. Другими словами, вероятность, связанная с каждым событием, равномерно распределена по N ! эквивалентные точки в интегральном пространстве. Поскольку обычно удобнее работать с неограниченными интегралами, чем с ограниченными, нормировочная константа была выбрана с учетом этого.

функцию можно записать как определитель матрицы Наконец, антисимметричную волновую , известный как определитель Слейтера :

\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|

Операторный подход и парастатистика

Гильбертово пространство для $n$ частиц задается тензорным произведением ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$ . Группа перестановок $S_{n}$ действует в этом пространстве, переставляя записи. По определению значения ожидания для наблюдаемой $a$ из $n$ неразличимые частицы должны быть инвариантны относительно этих перестановок. Это означает, что для всех $\psi \in H$ и $\sigma \in S_{n}$

(\sigma \Psi )^{t}a(\sigma \Psi )=\Psi ^{t}a\Psi ,

или эквивалентно для каждого $\sigma \in S_{n}$

\sigma ^{t}a\sigma =a

.

Два состояния эквивалентны, если их средние значения совпадают для всех наблюдаемых. Если мы ограничимся наблюдаемыми $n$ идентичные частицы и, следовательно, наблюдаемые, удовлетворяющие приведенному выше уравнению, мы находим, что следующие состояния (после нормализации) эквивалентны

\Psi \sim \sum _{\sigma \in S_{n}}\lambda _{\sigma }\sigma \Psi

.

Классы эквивалентности находятся в биективном отношении с неприводимыми подпространствами ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$ под $S_{n}$ .

Два очевидных неприводимых подпространства — это одномерное симметричное/бозонное подпространство и антисимметричное/фермионное подпространство. Однако существует больше типов неприводимых подпространств. Состояния, связанные с этими другими неприводимыми подпространствами, называются парастатистическими состояниями . ^[6] Таблицы Янга позволяют классифицировать все эти неприводимые подпространства.

Статистические свойства

Статистические эффекты неотличимости

Неразличимость частиц оказывает глубокое влияние на их статистические свойства. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим систему из N различимых невзаимодействующих частиц. Еще раз позвольте n _j обозначать состояние (т.е. квантовые числа) частицы j . Если частицы имеют одинаковые физические свойства, n _j находятся в одном и том же диапазоне значений. Пусть ε ( n ) обозначает энергию частицы в состоянии n . Поскольку частицы не взаимодействуют, полная энергия системы представляет собой сумму энергий отдельных частиц. Статистическая сумма системы равна

Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}\exp \left\{-{\frac {1}{kT}}\left[\varepsilon (n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\right]\right\}

где k — постоянная Больцмана , а T — температура . Это выражение можно факторизовать, чтобы получить

Z=\xi ^{N}

где

\xi =\sum _{n}\exp \left[-{\frac {\varepsilon (n)}{kT}}\right].

Если частицы идентичны, это уравнение неверно. Рассмотрим состояние системы, описываемое одночастичными состояниями [ n ₁ , ..., n _N ]. В уравнении для Z каждая возможная перестановка ns встречается в сумме один раз, даже если каждая из этих перестановок описывает одно и то же многочастичное состояние. Таким образом, количество штатов было завышено.

Если пренебречь возможностью перекрытия состояний, что справедливо при высокой температуре, то количество раз, когда будет подсчитано каждое состояние, составит примерно N !. Правильная функция разделения:

Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.

Обратите внимание, что это «высокотемпературное» приближение не делает различия между фермионами и бозонами.

О несовпадении статистических сумм различимых и неразличимых частиц было известно еще в XIX веке, до появления квантовой механики. Это приводит к затруднению, известному как парадокс Гиббса . Гиббс показал, что в уравнении Z = ξ ^Н, энтропия классического идеального газа равна

S=Nk\ln \left(V\right)+Nf(T)

где V — объем газа, а f — некоторая функция от Т. только Проблема с этим результатом заключается в том, что S не является экстенсивным — если N и V удваиваются, S не удваивается соответственно. Такая система не подчиняется постулатам термодинамики .

Гиббс также показал, что использование Z = ξ ^Н/ Н ! изменяет результат на

S=Nk\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nf(T)

который совершенно обширен. Однако причина этой поправки к статистической сумме оставалась неясной до открытия квантовой механики.

Статистические свойства бозонов и фермионов

Существуют важные различия между статистическим поведением бозонов и фермионов, которые описываются статистикой Бозе-Эйнштейна и статистикой Ферми-Дирака соответственно. Грубо говоря, бозоны имеют тенденцию объединяться в одно и то же квантовое состояние, что лежит в основе таких явлений, как лазер , бозе-эйнштейновская конденсация и сверхтекучесть . С другой стороны, фермионам запрещено иметь общие квантовые состояния, что приводит к возникновению таких систем, как ферми-газ . Это известно как принцип исключения Паули, и он отвечает за большую часть химии, поскольку электроны в атоме (фермионы) последовательно заполняют множество состояний внутри оболочек , а не все лежат в одном и том же самом низкоэнергетическом состоянии.

Различия между статистическим поведением фермионов, бозонов и различимых частиц можно проиллюстрировать на примере системы двух частиц. Частицы обозначаются A и B. Каждая частица может существовать в двух возможных состояниях, обозначенных $|0\rangle$ и $|1\rangle$ , которые имеют одинаковую энергию.

Составная система может развиваться во времени, взаимодействуя с зашумленной средой. Потому что $|0\rangle$ и $|1\rangle$ состояния энергетически эквивалентны, ни одно из состояний не является предпочтительным, поэтому этот процесс приводит к рандомизации состояний. (Об этом говорится в статье о квантовой запутанности .) Через некоторое время составная система будет иметь равную вероятность занимать каждое из доступных ей состояний. Затем измеряются состояния частиц.

Если A и B — идентичные бозоны, то составная система имеет только три различных состояния: $|0\rangle |0\rangle$ , $|1\rangle |1\rangle$ , и ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle +|1\rangle |0\rangle )$ . При проведении эксперимента вероятность получения двух частиц в $|0\rangle$ состояние теперь 0,33; вероятность получения двух частиц в $|1\rangle$ состояние — 0,33; и вероятность получения одной частицы в $|0\rangle$ государство и другое в $|1\rangle$ состояние 0,33. Заметим, что вероятность найти частицы в одном и том же состоянии относительно больше, чем в различимом случае. Это демонстрирует склонность бозонов «слипаться».

Если A и B — идентичные фермионы, сложной системе доступно только одно состояние: полностью антисимметричное состояние. ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle -|1\rangle |0\rangle )$ . При проведении эксперимента одна частица всегда находится в $|0\rangle$ состоянии, а другой находится в $|1\rangle$ состояние.

Результаты суммированы в Таблице 1:

Таблица 1: Статистика двух частиц
Частицы	Оба 0	Оба 1	Один 0 и один 1
Отличительный	0.25	0.25	0.5
Бозоны	0.33	0.33	0.33
Фермионы	0	0	1

Как можно видеть, даже система из двух частиц демонстрирует различное статистическое поведение между различимыми частицами, бозонами и фермионами. В статьях по статистике Ферми-Дирака и статистике Бозе-Эйнштейна эти принципы распространяются на большое количество частиц с качественно схожими результатами.

Гомотопический класс

Чтобы понять, почему статистика частиц работает именно так, сначала отметим, что частицы представляют собой точечно-локализованные возбуждения и что частицы, разделенные пространственноподобно, не взаимодействуют. В плоском $d$ -мерном пространстве $M$ в любой момент времени конфигурация двух одинаковых частиц может быть задана как $M \times M.$ элемент Если между частицами нет перекрытия, чтобы они не взаимодействовали напрямую, то их местоположения должны принадлежать пространству $[ M × M ] \ {совпадающие точки},$ подпространству с удаленными совпадающими точками. Элемент $(x, y)$ описывает конфигурацию с частицей I в $x$ и частицей II в $y$ , а $(y, x)$ описывает перепутанную конфигурацию. Для идентичных частиц состояние, описываемое $(x, y),$ должно быть неотличимо от состояния, описываемого $(y, x)$ . Теперь рассмотрим гомотопический класс непрерывных путей от $(x, y)$ до $(y, x)$ в пространстве $[ M × M ] \ {совпадающие точки}$ . Если $М$ есть ⁠ $\mathbb {R} ^{d}$ ⁠ где $d \geq 3$ , то этот гомотопический класс имеет только один элемент. Если $М$ есть ⁠ $\mathbb {R} ^{2}$ ⁠ , то этот гомотопический класс имеет счетное число элементов (т. е. перестановка против часовой стрелки на пол-оборота, перестановка против часовой стрелки на полтора оборота, два с половиной оборота и т. д., перестановка по часовой стрелке на пол-оборота и т. д.) . В частности, перестановка на пол-оборота против часовой стрелки не гомотопна перестановке на пол-оборота по часовой стрелке. Наконец, если $M$ есть ⁠ $\mathbb {R}$ ⁠ , то этот гомотопический класс пуст.

Предположим сначала, что $d \geq 3$ . Универсальное накрывающее пространство [ $M \times M] ∖ {совпадающие точки}$ , которое есть не что иное, как $[M \times M] ∖ {совпадающие точки}$ само по себе, имеет только две точки, которые физически неотличимы от $(x, y)$ , а именно $(x, y)$ сам по себе и $(y, x)$ . Итак, единственный допустимый обмен — поменять местами обе частицы. Этот обмен является инволюцией , поэтому его единственным эффектом является умножение фазы на квадратный корень из 1. Если корень равен +1, то точки имеют бозе-статистику, а если корень равен –1, точки имеют статистику Ферми.

В случае $M=\mathbb {R} ^{2},$ универсальное накрывающее пространство $[M \times M] ∖ {совпадающие точки}$ имеет бесконечное количество точек, которые физически неотличимы от $(x, y)$ . Это описывается бесконечной циклической группой , созданной путем выполнения разворота на пол-оборота против часовой стрелки. В отличие от предыдущего случая, выполнение этого обмена дважды подряд не восстанавливает исходное состояние; таким образом, такой обмен может в общем случае привести к умножению на $exp(iθ)$ для любого действительного $θ$ (по унитарности абсолютное значение умножения должно быть 1). Это называется анионной статистикой. Фактически, даже с двумя различимыми частицами, хотя $(x, y)$ теперь физически отличимы от $(y, x)$ , универсальное покрывающее пространство по-прежнему содержит бесконечно много точек, которые физически неотличимы от исходной точки, теперь порожденной движением против часовой стрелки. вращение на один полный оборот. Таким образом, этот генератор приводит к умножению на $exp(iφ)$ . Этот фазовый коэффициент здесь называется взаимной статистикой .

Наконец, в случае $M=\mathbb {R} ,$ пространство $[M \times M] ∖ {совпадающие точки}$ не связно, поэтому даже если частица I и частица II идентичны, их все равно можно отличить по таким меткам, как «частица слева» и «частица справа». ". Никакой взаимообменной симметрии здесь нет.

См. также

Сноски

^ Готфрид, Курт (2011). «ПАМ Дирак и открытие квантовой механики» . Американский журнал физики . 79 (3): 2, 10. arXiv : 1006.4610 . дои : 10.1119/1.3536639 . S2CID 18229595 .
^ Хейнс, П. Методы линейного масштабирования в квантово-механических расчетах ab initio . Дисс. Кембриджский университет, 1998. Раздел 2.3. Идентичные частицы.
^ Такерман (2010 , стр. 385)
^ Либофф, Ричард (2003). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. п. 597. ИСБН 978-0805387148 .
^ Бейкер, Дэвид Джон; Халворсон, Ганс; Суонсон, Ноэль (1 декабря 2015 г.). «Условность парастатистики» . Британский журнал философии науки . 66 (4): 929–976. дои : 10.1093/bjps/axu018 . ISSN 0007-0882 .
^ Бах, Алексанер (1993). «Классификация неразличимых частиц». Письма по еврофизике . 21 (5): 515–520. Бибкод : 1993EL.....21..515B . дои : 10.1209/0295-5075/21/5/002 . S2CID 250835341 .

Ссылки

Такерман, Марк (2010), Статистическая механика , ISBN 978-0198525264

Внешние ссылки

Фейнмановские лекции по физике Vol. III гл. 4: Идентичные частицы
Обмен одинаковыми и, возможно, неразличимыми частицами , Джон С. Денкер
Идентичность и индивидуальность в квантовой теории ( Стэнфордская энциклопедия философии )
Многоэлектронные состояния в Э. Паварини, Э. Кохе и У. Шольвеке: Возникающие явления в коррелированной материи, Юлих, 2013, ISBN 978-3-89336-884-6

[1] Готфрид, Курт (2011). «ПАМ Дирак и открытие квантовой механики» . Американский журнал физики . 79 (3): 2, 10. arXiv : 1006.4610 . дои : 10.1119/1.3536639 . S2CID 18229595 .

[2] Хейнс, П. Методы линейного масштабирования в квантово-механических расчетах ab initio . Дисс. Кембриджский университет, 1998. Раздел 2.3. Идентичные частицы.

[3] Такерман (2010 , стр. 385)

[4] Либофф, Ричард (2003). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. п. 597. ИСБН 978-0805387148 .

[5] Бейкер, Дэвид Джон; Халворсон, Ганс; Суонсон, Ноэль (1 декабря 2015 г.). «Условность парастатистики» . Британский журнал философии науки . 66 (4): 929–976. дои : 10.1093/bjps/axu018 . ISSN 0007-0882 .

[6] Бах, Алексанер (1993). «Классификация неразличимых частиц». Письма по еврофизике . 21 (5): 515–520. Бибкод : 1993EL.....21..515B . дои : 10.1209/0295-5075/21/5/002 . S2CID 250835341 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]