Унитарность (физика)

В физике квантовой унитарность — это (или унитарный процесс ) условие, при котором временная эволюция квантового состояния согласно уравнению Шрёдингера математически представляется унитарным оператором . Обычно это воспринимается как аксиома или основной постулат квантовой механики, в то время как обобщения унитарности или отклонения от нее являются частью рассуждений о теориях, которые могут выходить за рамки квантовой механики. ^[1] является Границей унитарности любое неравенство, которое следует из унитарности оператора эволюции , т.е. из утверждения, что временная эволюция сохраняет скалярные продукты в гильбертовом пространстве .

Гамильтонова эволюция

Эволюция времени, описываемая независимым от времени гамильтонианом , представлена однопараметрическим семейством унитарных операторов , для которых гамильтониан является генератором: $U(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }$ . В картине Шрёдингера предполагается, что унитарные операторы воздействуют на квантовое состояние системы, тогда как в картине Гейзенберга включается временная зависимость вместо этого в наблюдаемые . ^[2]

Влияние унитарности на результаты измерений

В квантовой механике каждое состояние описывается как вектор в гильбертовом пространстве . Когда выполняется измерение, это пространство удобно описывать с помощью векторного базиса , в котором каждый базисный вектор имеет определенный результат измерения – например, векторный базис с определенным импульсом в случае измерения импульса. В этом базисе оператор измерения является диагональным. ^[3]

Вероятность получения конкретного измеренного результата зависит от амплитуды вероятности, определяемой внутренним произведением физического состояния. $|\psi \rangle$ с базисными векторами $\{|\phi _{i}\rangle \}$ которые диагонализуют оператор измерения. Для физического состояния, которое измеряется после его развития во времени, амплитуда вероятности может быть описана либо внутренним произведением физического состояния после временной эволюции с соответствующими базисными векторами, либо, что то же самое, внутренним произведением физического состояния с базисные векторы, которые развиваются назад во времени. Использование оператора временной эволюции $e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }$ , у нас есть: ^[4]

\left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.e^{-i{\hat {H}}(-t)/\hbar }\phi _{i}\right|\psi \right\rangle

Но по определению эрмитова сопряжения это также:

\left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}\left(e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right)^{\dagger }\right|\psi \right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}e^{-i{\hat {H}}^{\dagger }(-t)/\hbar }\right|\psi \right\rangle

Поскольку эти равенства верны для каждых двух векторов, получаем

{\hat {H}}^{\dagger }={\hat {H}}

Это означает, что гамильтониан эрмитов , а оператор эволюции во времени $e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }$ является унитарным .

Поскольку по правилу Борна норма определяет вероятность получения определенного результата при измерении, унитарность вместе с правилом Борна гарантирует, что сумма вероятностей всегда равна единице. Более того, унитарность вместе с правилом Борна подразумевает, что операторы измерения в картине Гейзенберга действительно описывают, как результаты измерений должны меняться во времени.

Влияние на форму гамильтониана

То, что оператор временной эволюции унитарен, эквивалентно тому, что гамильтониан является эрмитовым . Эквивалентно это означает, что возможные измеренные энергии, которые являются собственными значениями гамильтониана, всегда являются действительными числами.

Амплитуда рассеяния и оптическая теорема

используется S-матрица для описания того, как физическая система изменяется в процессе рассеяния. Фактически он равен оператору временной эволюции в течение очень длительного времени (приближающемуся к бесконечности), действующему на импульсные состояния частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности. Таким образом, он также должен быть унитарным оператором; расчет, дающий неунитарную S-матрицу, часто подразумевает, что связанное состояние было упущено из виду.

Оптическая теорема

Унитарность S-матрицы предполагает, помимо прочего, оптическую теорему . Это можно увидеть следующим образом: ^[5]

S-матрицу можно записать как:

S=1+iT

где $T$ – часть S-матрицы, обусловленная взаимодействиями; например $T=0$ просто подразумевает, что S-матрица равна 1, взаимодействия не происходит и все состояния остаются неизменными.

Унитарность S-матрицы:

S^{\dagger }S=1

тогда эквивалентно:

-i\left(T-T^{\dagger }\right)=T^{\dagger }T

Левая часть в два раза больше мнимой части S-матрицы. Чтобы увидеть, что такое правая часть, давайте посмотрим на любой конкретный элемент этой матрицы, например, между некоторым начальным состоянием $|I\rangle$ и окончательное состояние $\langle F|$ , каждый из которых может включать множество частиц. Тогда матричный элемент:

\left\langle F\left|T^{\dagger }T\right|I\right\rangle =\sum _{i}\left\langle F|T^{\dagger }|A_{i}\right\rangle \left\langle A_{i}|T|I\right\rangle

где {A _i } — множество возможных состояний на оболочке, т.е. состояния импульса частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности.

Таким образом, удвоенная мнимая часть S-матрицы равна сумме, представляющей собой произведения вкладов всех рассеяний начального состояния S-матрицы в любое другое физическое состояние на бесконечности с рассеяниями последнего в конечное состояние S-матрицы. Поскольку мнимая часть S-матрицы может быть вычислена по виртуальным частицам, появляющимся в промежуточных состояниях диаграмм Фейнмана , отсюда следует, что эти виртуальные частицы должны состоять только из реальных частиц, которые могут появляться и в качестве конечных состояний. Математический аппарат, который используется для обеспечения этого, включает калибровочную симметрию , а иногда и призраки Фаддеева – Попова .

Границы унитарности

Согласно оптической теореме амплитуда вероятности M (= iT) для любого процесса рассеяния должна подчиняться

|M|^{2}=2\operatorname {Im} (M)

Подобные границы унитарности подразумевают, что амплитуды и сечение не могут слишком сильно увеличиваться с энергией или должны уменьшаться так быстро, как определенная формула ^{[ который? ]} диктует. Например, граница Фруассара гласит, что полное сечение рассеяния двух частиц ограничено величиной $c\ln ^{2}s$ , где $c$ является константой, и $s$ – квадрат энергии центра масс. (См. переменные Мандельштама )

См. также

Ссылки

^ Уэллетт, Дженнифер . «Алиса и Боб встречают стену огня» . Журнал Кванта . Проверено 15 июня 2023 г.
^ «Лекция 5: Эволюция во времени» (PDF) . 22.51. Квантовая теория радиационных взаимодействий . MIT OpenCourseWare . Проверено 21 августа 2019 г.
^ Коэн-Таннуджи, К., Диу, Б., Лало, Ф., и Дуи, Б. (2006). Квантовая механика (2 т. комплект).
^ Париж, MG (2012). Современные инструменты квантовой механики. Специальные темы Европейского физического журнала, 203 (1), 61–86.
^ Пескин, М. (2018). Введение в квантовую теорию поля , Гл. 7.3. ЦРК Пресс.

[1] Уэллетт, Дженнифер . «Алиса и Боб встречают стену огня» . Журнал Кванта . Проверено 15 июня 2023 г.

[2] «Лекция 5: Эволюция во времени» (PDF) . 22.51. Квантовая теория радиационных взаимодействий . MIT OpenCourseWare . Проверено 21 августа 2019 г.

[Cohen-Tannoudji-3] Коэн-Таннуджи, К., Диу, Б., Лало, Ф., и Дуи, Б. (2006). Квантовая механика (2 т. комплект).

[Paris-4] Париж, MG (2012). Современные инструменты квантовой механики. Специальные темы Европейского физического журнала, 203 (1), 61–86.

[5] Пескин, М. (2018). Введение в квантовую теорию поля , Гл. 7.3. ЦРК Пресс.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]