Теория квазимножеств

Теория квазимножеств — это формальная математическая теория, предназначенная для работы с совокупностями объектов, некоторые из которых могут быть неотличимы друг от друга. Теория квазимножеств в основном основана на предположении, что некоторые объекты, рассматриваемые в квантовой физике, неотличимы и не обладают индивидуальностью.

Мотивация [ править ]

Американское математическое общество спонсировало встречу 1974 года для оценки решения и последствий 23 проблем, предложенных Гильбертом в 1900 году. Результатом этой встречи стал новый список математических проблем, первая из которых принадлежит Манину (1976, стр. 36). ), поставил под сомнение, является ли классическая теория множеств адекватной парадигмой для рассмотрения совокупностей неразличимых элементарных частиц в квантовой механике . Он предположил, что такие коллекции не могут быть множествами в обычном понимании и что изучение таких коллекций требует «нового языка».

Использование термина «квази-множество» следует за предложением, содержащимся в монографии да Косты 1980 года «Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica» (см. da Costa and Krause 1994), в которой он исследовал возможную семантику того, что он назвал «логикой Шредингера». В этих логиках концепция идентичности ограничена некоторыми объектами предметной области и мотивирована утверждением Шредингера о том, что концепция идентичности не имеет смысла для элементарных частиц (Шрёдингер 1952). Таким образом, чтобы обеспечить семантику, соответствующую логике, да Коста утверждал, что «необходимо разработать теорию квазимножеств», охватывающую «стандартные множества» как частные случаи, однако да Коста не развил эту теорию каким-либо конкретным образом. С той же целью, независимо от да Косты, Далла Кьяра и ди Франсия (1993) предложили теорию квасетов , позволяющую семантически трактовать язык микрофизики . Первая теория квазимножеств была предложена Д. Краузе в его докторской диссертации в 1990 г. (см. Краузе, 1992). Соответствующая физическая теория, основанная на логике добавления фундаментальной неотличимости к равенству и неравенству, была разработана и развита независимо в книге. Теория неотличимых А. Ф. Паркера-Роудса . ^[1]

Краткое изложение теории [ править ]

Теперь мы изложим аксиоматическую теорию Краузе (1992). ${\mathfrak {Q}}$ , первая теория квазимножеств; С тех пор появились другие формулировки и улучшения. Обновленную статью по этому вопросу см. в работе French and Krause (2010). Краузе основывается на теории множеств ZFU, состоящей из теории множеств Цермело-Френкеля с расширенной онтологией , включающей два типа urelements :

m -атомы, предполагаемая интерпретация которых — элементарные квантовые частицы ;
М -атомы, макроскопические объекты, к которым, классическая логика . как предполагается, применима

Квази-множества ( q-множества ) — это коллекции, возникающие в результате применения аксиом, очень похожих на аксиомы для ZFU, к базовой области, состоящей из m -атомов, M -атомов и их агрегатов. Аксиомы ${\mathfrak {Q}}$ включать эквиваленты экстенсиональности , но в более слабой форме, называемой «аксиомой слабой экстенсиональности»; аксиомы, утверждающие существование пустого множества , неупорядоченной пары , объединенного множества и степенного множества ; аксиома разделения ; аксиома, утверждающая, что образ q-множества под действием q-функции также является q-множеством; q-множество эквивалентов аксиом бесконечности , регулярности и выбора . Теории Q-множеств, основанные на других теоретико-множественных концепциях, конечно, возможны.

${\mathfrak {Q}}$ имеет примитивное понятие квазикардинальности, управляемое восемью дополнительными аксиомами, интуитивно обозначающими количество объектов в коллекции. Квазикардинал квазимножества не определяется в обычном смысле (посредством ординалов ), поскольку m -атомы предполагаются (абсолютно) неразличимыми. Кроме того, можно определить перевод с языка ЗФУ на язык ЗФУ. ${\mathfrak {Q}}$ таким образом, чтобы в нем была «копия» ZFU. ${\mathfrak {Q}}$ . В этом экземпляре могут быть определены все обычные математические понятия, а также «множества» (на самом деле «множества»). ${\mathfrak {Q}}$ -множества') оказываются теми q-множествами, транзитивное замыкание которых не содержит m-атомов.

В ${\mathfrak {Q}}$ могут существовать q-множества, называемые «чистыми» q-множествами, все элементы которых являются m-атомами, и аксиоматика ${\mathfrak {Q}}$ дает основание утверждать, что ничто в ${\mathfrak {Q}}$ отличает элементы чистого q-множества друг от друга для некоторых чистых q-множеств. В рамках теории идея о том, что в x имеется более одной сущности, выражается аксиомой, утверждающей, что квазикардинал степенного квазимножества x имеет квазикардинал 2 ^{qc( х )}, где qc( x ) — квазикардинал x (который является кардиналом, полученным в только что упомянутой «копии» ZFU).

Что именно это означает? Рассмотрим уровень 2p атома натрия, на котором находятся шесть неразличимых электронов. Несмотря на это, физики рассуждают так, как будто на этом уровне на самом деле существует шесть сущностей, а не только одна. Таким образом, говоря, что квазикардинал степенного квазимножества x равен 2 ^{qc( х )} (предположим, что qc ( x ) = 6, чтобы следовать примеру), мы не исключаем гипотезу о том, что может существовать шесть субквазимножеств x , которые являются «одиночками», хотя мы не можем отличить их. Есть или нет шесть элементов в x — это то, что не может быть приписано теорией (хотя это понятие совместимо с теорией). Если бы теория могла ответить на этот вопрос, элементы x были бы индивидуализированы и, следовательно, подсчитаны, что противоречило бы основному предположению о том, что их невозможно различить.

Другими словами, мы можем последовательно (в рамках аксиоматики ${\mathfrak {Q}}$ имеется шесть сущностей ) рассуждать так, как будто в x , но x следует рассматривать как совокупность, элементы которой нельзя различить как отдельные личности. Используя теорию квазимножеств, мы можем выразить некоторые факты квантовой физики, не вводя условий симметрии (Краузе и др., 1999, 2005). Как хорошо известно, чтобы выразить неразличимость, частицы считаются отдельными , скажем, путем присоединения их к координатам или к адекватным функциям/векторам, таким как |ψ>. Таким образом, учитывая две квантовые системы, обозначенные в начале |ψ ₁ ⟩ и |ψ ₂ ⟩, нам нужно рассмотреть функцию вида |ψ ₁₂ ⟩ = |ψ ₁ ⟩|ψ ₂ ⟩ ± |ψ ₂ ⟩|ψ ₁ ⟩ ( за исключением некоторых констант), которые делают кванты неразличимыми при перестановках ; плотность вероятности совместной системы зависит от того, какой квант №1, а какой квант №2. (Обратите внимание, что точность требует, чтобы мы говорили о «двух» квантах, не различая их, что невозможно в традиционных теориях множеств.) ${\mathfrak {Q}}$ мы можем обойтись без этой «идентификации» квантов ; подробнее см. Krause et al. (1999, 2005) и Френч и Краузе (2006).

Теория квазимножеств — это способ реализовать утверждение Хайнца Поста (1963) о том, что кванты следует считать неотличимыми «с самого начала».

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ А. Ф. Паркер-Роудс , Теория неотличимых: поиск объяснительных принципов ниже уровня физики , Рейдель (Спрингер), Дордехт (1981). ISBN 90-277-1214-Х

Френч С. и Краузе Д. «Замечания по теории квазимножеств», Studia Logica 95 (1–2), 2010, стр. 101–124.
Ньютон да Коста (1980) Эссе об основах логики . Сан-Паулу: Hucitec.
да Коста, NCA и Краузе, Д. (1994) «Логика Шредингера», Studia Logica 53 : 533–550.
------ (1997) « Интенсиональная логика Шрёдингера », Notre Dame Journal of Formal Logic 38 : 179–94.
Далла Кьяра, М.Л. , и Торальдо ди Франсия, Г. (1993) «Люди, виды и имена в физике» в Корси, Г. и др., ред., Преодоление разрыва: философия, математика, физика . Клювер: 261–83.
Доменек Г. и Холик Ф. (2007), «Дискуссия о количестве частиц и квантовой неотличимости», «Основы физики», том. 37, нет. 6, стр. 855–878.
Доменек Г., Холик Ф. и Краузе Д., «Q-пространства и основы квантовой механики», Foundations of Physics 38 (11) ноябрь 2008 г., 969–994.
Фалькенбург, Б.: 2007, «Метафизика частиц: критический анализ субатомной реальности», Springer.
Френч, Стивен (2006) « Идентичность и индивидуальность в квантовой теории », Стэнфордская энциклопедия философии (издание весны 2006 г.), Эдвард Н. Залта (ред.).
Френч С. и Краузе Д. (2006) Идентичность в физике: исторический, философский и формальный анализ. Оксфордский университет. Нажимать.
Френч, С. и Риклз, Д. П. (2003), «Понимание симметрии перестановок», в книге К. Брейдинга и Э. Кастеллани, «Симметрии в физике: новое отражение», Cambridge University Press, стр. 212–238.
Краузе, Десио (1992) « О теории квазимножеств », Notre Dame Journal of Formal Logic 33 : 402–11.
Краузе Д., Сант'Анна А.С. и Волков А.Г. (1999) «Теория квазимножеств для бозонов и фермионов: квантовые распределения», Foundations of Physics Letters 12 : 51–66.
Краузе Д., Сант'Анна А.С. и Сарторелли А. (2005) «О концепции идентичности в аксиомах типа Цермело-Френкеля и ее связи с квантовой статистикой», Logique et Analyse : 189–192, 231– 260.
Манин, Юрий (1976) « Проблемы современной математики: основы », в книге Феликса Браудера , изд., Труды симпозиумов по чистой математике, Vol. ХXVIII . Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество .
Пост, Хайнц (1963) «Индивидуальность в физике», The Listener , 10 октября 1963: 534–537. Перепечатано в (1973 г.) «Веданта для Востока и Запада : 14–22».
Эрвин Шрёдингер (1952) Наука и гуманизм . Кембриджский университет. Нажимать.

[1] А. Ф. Паркер-Роудс , Теория неотличимых: поиск объяснительных принципов ниже уровня физики , Рейдель (Спрингер), Дордехт (1981). ISBN 90-277-1214-Х

[1]