Фокское пространство

Пространство Фока — это алгебраическая используемая в квантовой механике для построения пространства квантовых состояний переменного или неизвестного числа идентичных частиц из одного гильбертова пространства H. конструкция , Оно названо в честь В. А. Фока , который впервые представил его в своей статье 1932 года «Konfigurationsraum und zweite Quantelung» (« Конфигурационное пространство и вторичное квантование »).

Неформально пространство Фока представляет собой сумму набора гильбертовых пространств, представляющих состояния с нулевой частицей, состояния с одной частицей, состояния с двумя частицами и так далее. Если идентичные частицы являются бозонами , состояния n являются векторами в симметризованном тензорном произведении n - частиц одночастичных гильбертовых H. пространств Если идентичные частицы являются фермионами , состояния n -частиц являются векторами в антисимметризованном тензорном произведении n одночастичных гильбертовых пространств H (см. симметрическую алгебру и внешнюю алгебру соответственно). Общее состояние в пространстве Фока представляет собой линейную комбинацию состояний n -частиц, по одному на каждое n .

Технически пространство Фока представляет собой ( гильбертова пространства пополнение ) прямую сумму симметричных или антисимметричных тензоров в тензорных степенях одночастичного гильбертова пространства H , $$F_{\nu }(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}}~.$$

Здесь $S_{\nu }$ — оператор , который симметризирует или антисимметризирует тензор , в зависимости от того, описывает ли гильбертово пространство частицы, подчиняющиеся бозонному закону. $(\nu =+)$ или фермионный $(\nu =-)$ статистика, а верхняя линия означает завершение пространства. Бозонное (соответственно фермионное) пространство Фока можно альтернативно построить как (пополнение гильбертова пространства) симметричных тензоров $F_{+}(H)={\overline {S^{*}H}}$ (соответственно знакопеременные тензоры ${\textstyle F_{-}(H)={\overline {{\bigwedge }^{*}H}}}$). для каждого базиса для H существует естественный базис пространства Фока Фок утверждает, что .

Определение

Пространство Фока представляет собой (гильбертову) прямую сумму тензорных произведений копий одночастичного гильбертова пространства. $H$

$$F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \cdots$$

Здесь $\mathbb {C}$, комплексные скаляры , состоят из состояний, не соответствующих ни одной частице, $H$ состояния одной частицы, $S_{\nu }(H\otimes H)$ состояния двух одинаковых частиц и т. д.

Общее состояние в $F_{\nu }(H)$ дается

$$|\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots$$где

• $|0\rangle$ представляет собой вектор длины 1, называемый состоянием вакуума, и $a\in \mathbb {C}$ комплексный коэффициент,
• $|\psi _{i}\rangle \in H$ является состоянием в одночастичном гильбертовом пространстве и $a_{i}\in \mathbb {C}$ комплексный коэффициент,
• ${\textstyle |\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }=a_{ij}|\psi _{i}\rangle \otimes |\psi _{j}\rangle +a_{ji}|\psi _{j}\rangle \otimes |\psi _{i}\rangle \in S_{\nu }(H\otimes H)}$, и $a_{ij}=\nu a_{ji}\in \mathbb {C}$ – комплексный коэффициент и т. д.

Сходимость этой бесконечной суммы важна, если $F_{\nu }(H)$ должно быть гильбертовым пространством. Технически нам требуется $F_{\nu }(H)$ быть пополнением гильбертова пространства алгебраической прямой суммы. Он состоит из всех бесконечных кортежей $|\Psi \rangle _{\nu }=(|\Psi _{0}\rangle _{\nu },|\Psi _{1}\rangle _{\nu },|\Psi _{2}\rangle _{\nu },\ldots )$ такой, что норма , определяемая скалярным произведением, конечна $$\||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty$$где $n$ Норма частицы определяется выражением $$\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }=\sum _{i_{1},\ldots i_{n},j_{1},\ldots j_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{*}a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}\langle \psi _{i_{1}}|\psi _{j_{1}}\rangle \cdots \langle \psi _{i_{n}}|\psi _{j_{n}}\rangle$$т. е. ограничение нормы на тензорное произведение $H^{\otimes n}$

Для двух общих состояний $$|\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots ,$$ и $$|\Phi \rangle _{\nu }=|\Phi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =b|0\rangle \oplus \sum _{i}b_{i}|\phi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}b_{ij}|\phi _{i},\phi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots$$внутренний продукт на $F_{\nu }(H)$ затем определяется как $$\langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\sum _{n}\langle \Psi _{n}|\Phi _{n}\rangle _{\nu }=a^{*}b+\sum _{ij}a_{i}^{*}b_{j}\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle +\sum _{ijkl}a_{ij}^{*}b_{kl}\langle \psi _{i}|\phi _{k}\rangle \langle \psi _{j}|\phi _{l}\rangle _{\nu }+\cdots$$где мы используем внутренние продукты для каждого из $n$-частичные гильбертовые пространства. Обратите внимание, что, в частности, $n$ подпространства частиц ортогональны для разных $n$.

Состояния продукта, неразличимые частицы и полезная основа пространства Фока

Состояние -произведение пространства Фока — это состояние формы

$$|\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }=|\phi _{1}\rangle \otimes |\phi _{2}\rangle \otimes \cdots \otimes |\phi _{n}\rangle$$

который описывает совокупность $n$ частицы, одна из которых имеет квантовое состояние $\phi _{1}$, другой $\phi _{2}$ и так далее до $n$-я частица, где каждая $\phi _{i}$ это любое состояние из одночастичного гильбертова пространства $H$. Здесь сопоставление (запись одночастичных кетов рядом, без $\otimes$) — симметричное (соответственно антисимметричное) умножение в симметричной (антисимметричной) тензорной алгебре . Общее состояние в пространстве Фока представляет собой линейную комбинацию состояний-продуктов. Состояние, которое нельзя записать в виде выпуклой суммы состояний-продуктов, называется запутанным состоянием .

Когда мы говорим об одной частице в состоянии $\phi _{i}$Надо иметь в виду, что в квантовой механике одинаковые частицы неразличимы . В том же пространстве Фока все частицы одинаковы. (Для описания многих видов частиц мы берем тензорное произведение стольких различных пространств Фока, сколько рассматриваемых видов частиц). Одной из наиболее мощных особенностей этого формализма является то, что состояния имплицитно правильно симметричны. Например, если вышеуказанное состояние $|\Psi \rangle _{-}$ является фермионным, то оно будет равно 0, если два (или более) из $\phi _{i}$ равны, поскольку антисимметричное (внешнее) произведение $|\phi _{i}\rangle |\phi _{i}\rangle =0$. Это математическая формулировка принципа Паули , согласно которому никакие два (или более) фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Фактически, всякий раз, когда члены формального произведения линейно зависимы; произведение будет равно нулю для антисимметричных тензоров. Кроме того, произведение ортонормированных состояний по своей конструкции является ортонормированным (хотя, возможно, и равно 0 в случае Ферми, когда два состояния равны).

Полезной и удобной основой для пространства Фока является базис числа заполняемости . Учитывая основу $\{|\psi _{i}\rangle \}_{i=0,1,2,\dots }$ из $H$, мы можем обозначить состояние с помощью $n_{0}$ частицы в состоянии $|\psi _{0}\rangle$, $n_{1}$ частицы в состоянии $|\psi _{1}\rangle$, ..., $n_{k}$ частицы в состоянии $|\psi _{k}\rangle$, и никаких частиц в остальных состояниях, определив

$$|n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}},$$

где каждый $n_{i}$ принимает значение 0 или 1 для фермионных частиц и 0, 1, 2,... для бозонных частиц. Обратите внимание, что конечные нули можно отбросить без изменения состояния. Такое состояние называется состоянием Фока . Когда $|\psi _{i}\rangle$ понимаются как стационарные состояния свободного поля, состояния Фока описывают совокупность невзаимодействующих частиц в определенном количестве. Наиболее общее состояние Фока представляет собой линейную суперпозицию чистых состояний.

Двумя очень важными операторами являются операторы рождения и уничтожения , которые, воздействуя на состояние Фока, добавляют или, соответственно, удаляют частицу в приписанном квантовом состоянии. Они обозначаются $a^{\dagger }(\phi )\,$ для создания и $a(\phi )$для уничтожения соответственно. Чтобы создать («добавить») частицу, квантовое состояние $|\phi \rangle$ симметричен или внешне умножен на $|\phi \rangle$; и, соответственно, чтобы аннигилировать («удалить») частицу, внутренний продукт (четный или нечетный) с берется $\langle \phi |$, который является сопряженным $a^{\dagger }(\phi )$. Часто бывает удобно работать с состояниями базиса $H$ так что эти операторы удаляют и добавляют ровно одну частицу в заданном базисном состоянии. Эти операторы также служат генераторами для более общих операторов, действующих в пространстве Фока, например числового оператора, задающего количество частиц в определенном состоянии. $|\phi _{i}\rangle$ является $a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})$.

Интерпретация волновой функции

Часто одночастичное пространство $H$ дается как $L_{2}(X,\mu )$, пространство интегрируемых с квадратом функций на пространстве $X$ с мерой $\mu$ (строго говоря, классы эквивалентности функций, интегрируемых с квадратом, где функции эквивалентны, если они различаются на множестве меры нуль ). Типичным примером является свободная частица с $H=L_{2}(\mathbb {R} ^{3},d^{3}x)$ пространство суммируемых с квадратом функций в трехмерном пространстве. Тогда пространства Фока имеют естественную интерпретацию как симметричные или антисимметричные функции, интегрируемые с квадратом, следующим образом.

Позволять $X^{0}=\{*\}$ и $X^{1}=X$, $X^{2}=X\times X$, $X^{3}=X\times X\times X$, и т. д.Рассмотрим пространство наборов точек, которое представляет собой непересекающееся объединение

$$X^{*}=X^{0}\bigsqcup X^{1}\bigsqcup X^{2}\bigsqcup X^{3}\bigsqcup \cdots .$$

Имеет естественную меру $\mu ^{*}$ такой, что $\mu ^{*}(X^{0})=1$ и ограничение $\mu ^{*}$ к $X^{n}$ является $\mu ^{n}$.Четное пространство Фока $F_{+}(L_{2}(X,\mu ))$ тогда можно отождествить с пространством симметрических функций в $L_{2}(X^{*},\mu ^{*})$ тогда как нечетное пространство Фока $F_{-}(L_{2}(X,\mu ))$ можно отождествить с пространством антисимметричных функций. Идентификация следует непосредственно из изометрического отображения $$L_{2}(X,\mu )^{\otimes n}\to L_{2}(X^{n},\mu ^{n})$$$$\psi _{1}(x)\otimes \cdots \otimes \psi _{n}(x)\mapsto \psi _{1}(x_{1})\cdots \psi _{n}(x_{n})$$.

Данные волновые функции $\psi _{1}=\psi _{1}(x),\ldots ,\psi _{n}=\psi _{n}(x)$, определитель Слейтера

$$\Psi (x_{1},\ldots x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}(x_{1})&\cdots &\psi _{n}(x_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{1}(x_{n})&\cdots &\psi _{n}(x_{n})\\\end{vmatrix}}$$является антисимметричной функцией на $X^{n}$. Таким образом, его можно естественно интерпретировать как элемент $n$-частичный сектор нечетного пространства Фока. Нормировка выбирается такая, что $\|\Psi \|=1$ если функции $\psi _{1},\ldots ,\psi _{n}$ являются ортонормированными. Существует аналогичный «перманент Слейтера», в котором определитель заменен на перманент , который дает элементы $n$-сектор четного пространства Фока.

Связь с пространством Сигала – Баргмана.

Определите пространство Сигала – Баргмана. $B_{N}$ комплексных голоморфных функций , интегрируемых с квадратом относительно гауссовой меры :

$${\mathcal {F}}^{2}\left(\mathbb {C} ^{N}\right)=\left\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \right\},$$где $$\Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}:=\int _{\mathbb {C} ^{N}}\vert f(\mathbf {z} )\vert ^{2}e^{-\pi \vert \mathbf {z} \vert ^{2}}\,d\mathbf {z} .$$Затем определение пространства $B_{\infty }$ как вложенное объединение пространств $B_{N}$ над целыми числами $N\geq 0$, Сигал и Баргманн показал что $B_{\infty }$ изоморфно бозонному пространству Фока. Моном $$x_{1}^{n_{1}}...x_{k}^{n_{k}}$$соответствует состоянию Фока $$|n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}}.$$

См. также

• Фокское государство
• Тензорная алгебра
• Голоморфное пространство Фока
• Операторы создания и уничтожения
• Определитель Слейтера
• Теорема Вика
• Некоммутативная геометрия
• Большой канонический ансамбль , распределение тепла в пространстве Фока
• Функционал Шрёдингера

Внешние ссылки

• Диаграммы Фейнмана и произведения Вика, связанные с пространством q-Фока — некоммутативный анализ , Эдвард Г. Эффрос и Михай Попа, факультет математики, Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе
• Р. Герох, Математическая физика, Издательство Чикагского университета, Глава 21.