Сепарабельное состояние

В механике квантовой разделимые состояния — это многочастные квантовые состояния , которые можно записать как выпуклую комбинацию состояний-продуктов. Состояния продукта — это многочастные квантовые состояния, которые можно записать как тензорное произведение состояний в каждом пространстве. Физическая интуиция, лежащая в основе этих определений, заключается в том, что состояния продукта не имеют корреляции между различными степенями свободы, в то время как разделимые состояния могут иметь корреляции, но все такие корреляции можно объяснить как обусловленные классической случайной величиной, а не как обусловленные запутанностью.

В частном случае чистых состояний определение упрощается: чистое состояние является отделимым тогда и только тогда, когда оно является состоянием-продуктом.

Состояние называется запутанным, если оно неразделимо. В общем, определить, является ли состояние отделимым, непросто, и проблема классифицируется как NP-трудная .

Разделимость двудольных систем

Рассмотрим сначала составные состояния с двумя степенями свободы, называемые двучастными состояниями . По постулату квантовой механики их можно описать как векторы в тензорных произведений . пространстве $H_{1}\otimes H_{2}$. В этом обсуждении мы сосредоточимся на случае гильбертовых пространств. $H_{1}$ и $H_{2}$ будучи конечномерным.

Чистые состояния

Позволять $\{|{a_{i}}\rangle \}_{i=1}^{n}\subset H_{1}$ и $\{|{b_{j}}\rangle \}_{j=1}^{m}\subset H_{2}$ быть ортонормированными базисами для $H_{1}$ и $H_{2}$, соответственно. Основа для $H_{1}\otimes H_{2}$ тогда $\{|{a_{i}}\rangle \otimes |{b_{j}}\rangle \}$, или в более компактных обозначениях $\{|a_{i}b_{j}\rangle \}$. Из самого определения тензорного произведения любой вектор нормы 1, т.е. чистое состояние сложной системы, можно записать как

$|\psi \rangle =\sum _{i,j}c_{i,j}(|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle )=\sum _{i,j}c_{i,j}|a_{i}b_{j}\rangle ,$

где $c_{i,j}$ является константой. Если $|\psi \rangle$ можно записать в виде простого тензора , то есть в виде $|\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle$ с $|\psi _{i}\rangle$ чистое состояние в i -м пространстве называется состоянием -продуктом и, в частности, сепарабельным . В противном случае это называется запутанным . Обратите внимание, что хотя понятия продукта и разделимых состояний совпадают для чистых состояний, они не совпадают в более общем случае смешанных состояний.

Чистые состояния запутаны тогда и только тогда, когда их частичные состояния не являются чистыми . Чтобы убедиться в этом, напишите Шмидта разложение $|\psi \rangle$ как

$|\psi \rangle =\sum _{k=1}^{r_{\psi }}{\sqrt {p_{k}}}(|u_{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ),$

где ${\sqrt {p_{k}}}>0$ являются положительными действительными числами, $r_{\psi }$ это ранг Шмидта $|\psi \rangle$, и $\{|u_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{1}$ и $\{|v_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{2}$ представляют собой множества ортонормированных состояний в $H_{1}$ и $H_{2}$, соответственно.Государство $|\psi \rangle$ запутано тогда и только тогда, когда $r_{\psi }>1$. При этом частичное состояние имеет вид

$\rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(|\psi \rangle \!\langle \psi |)=\sum _{k=1}^{r_{\psi }}p_{k}\,|u_{k}\rangle \!\langle u_{k}|.$

Отсюда следует, что $\rho _{A}$ является чистой --- то есть является проекцией с единичным рангом --- тогда и только тогда, когда $r_{\psi }=1$, что эквивалентно $|\psi \rangle$ будучи разделимым.

Физически это означает, что невозможно приписать подсистемам определенное (чистое) состояние, которые вместо этого следует описывать как статистические ансамбли чистых состояний, то есть как матрицы плотности . Чистое состояние $\rho =|\psi \rangle \!\langle \psi |$ таким образом, запутано тогда и только тогда, когда энтропия фон Неймана частичного состояния $\rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(\rho )$ ненулевое значение.

Формально вложение произведения состояний в пространство продукта задаётся вложением Сегре . То есть квантовомеханическое чистое состояние является сепарабельным тогда и только тогда, когда оно соответствует образу вложения Сегре.

Например, в двухкубитном пространстве, где $H_{1}=H_{2}=\mathbb {C} ^{2}$, штаты $|0\rangle \otimes |0\rangle$, $|0\rangle \otimes |1\rangle$, $|1\rangle \otimes |1\rangle$, все продукты (и, следовательно, отделимые) являются чистыми состояниями, как и $|0\rangle \otimes |\psi \rangle$ с $|\psi \rangle \equiv {\sqrt {1/3}}|0\rangle +{\sqrt {2/3}}|1\rangle$. С другой стороны, такие государства, как ${\sqrt {1/2}}|00\rangle +{\sqrt {1/2}}|11\rangle$ или ${\sqrt {1/3}}|01\rangle +{\sqrt {2/3}}|10\rangle$ не являются раздельными.

Смешанные состояния

Рассмотрим случай смешанного состояния. Смешанное состояние сложной системы описывается матрицей плотности $\rho$ действуя на $H_{1}\otimes H_{2}$. ρ сепарабельна, если существуют $p_{k}\geq 0$, $\{\rho _{1}^{k}\}$ и $\{\rho _{2}^{k}\}$ которые представляют собой смешанные состояния соответствующих подсистем такие, что

$\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$

где

$\;\sum _{k}p_{k}=1.$

В противном случае $\rho$ называется запутанным состоянием. В приведенном выше выражении без ограничения общности можно предположить, что $\{\rho _{1}^{k}\}$ и $\{\rho _{2}^{k}\}$ все являются проекциями ранга 1, то есть представляют собой чистые ансамбли соответствующих подсистем. Из определения ясно, что семейство сепарабельных состояний представляет собой выпуклое множество .

Обратите внимание, что, опять же, исходя из определения тензорного произведения, любая матрица плотности, даже любая матрица, действующая в составном пространстве состояний, может быть тривиально записана в желаемой форме, если мы отбросим требование, что $\{\rho _{1}^{k}\}$ и $\{\rho _{2}^{k}\}$ сами являются государствами и $\;\sum _{k}p_{k}=1.$ Если эти требования удовлетворены, то мы можем интерпретировать общее состояние как распределение вероятностей по некоррелированным состояниям продукта .

С точки зрения квантовых каналов , отделимое состояние может быть создано из любого другого состояния с использованием локальных действий и классической коммуникации, тогда как запутанное состояние не может.

Когда пространства состояний бесконечномерны, матрицы плотности заменяются положительными операторами ядерного класса со следом 1, и состояние является сепарабельным, если его можно аппроксимировать в норме следа состояниями вышеуказанной формы.

Если существует только один ненулевой $p_{k}$, то состояние можно выразить так же, как ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ и называется просто сепарабельным или продуктивным состоянием . Одним из свойств состояния продукта является то, что с точки энтропии зрения

$S(\rho )=S(\rho _{1})+S(\rho _{2}).$

Распространение на многочастный случай

Приведенное выше обсуждение легко обобщается на случай квантовой системы, состоящей более чем из двух подсистем. Пусть система имеет n подсистем и пространство состояний. $H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}$. Чистое состояние $|\psi \rangle \in H$ отделим, если он принимает вид

$|\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes |\psi _{n}\rangle .$

Аналогично, смешанное состояние ρ, действующее на H, является сепарабельным, если оно представляет собой выпуклую сумму

$\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \cdots \otimes \rho _{n}^{k}.$

Или, в бесконечномерном случае, ρ является сепарабельным, если его можно аппроксимировать в норме следа состояниями указанного выше вида.

Критерий разделимости

Проблему определения того, является ли состояние вообще сепарабельным, иногда называют проблемой сепарабельности в квантовой теории информации . Считается, что это сложная проблема. Было показано, что это NP-трудно . во многих случаях и, как полагают, так оно и есть в целом. Некоторое понимание этой трудности можно получить, если попытаться решить проблему, используя метод прямого перебора для фиксированного измерения. Проблема быстро становится неразрешимой даже для небольших размеров. Поэтому требуются более сложные формулировки. Проблема сепарабельности является предметом текущих исследований.

Критерий отделимости — это необходимое условие, которому должно удовлетворять государство, чтобы быть отделимым. В маломерных случаях ( 2 X 2 и 2 X 3 ) критерий Переса-Городецкого фактически является необходимым и достаточным условием разделимости. Другие критерии разделимости включают (но не ограничиваются ими) критерий диапазона , критерий редукции и критерии, основанные на соотношениях неопределенности. См. ссылку. за обзор критериев разделимости в системах дискретных переменных.

В системах с непрерывными переменными критерий Переса-Городецкого также применяется . В частности, Саймон сформулировал частный вариант критерия Переса-Городецкого в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для $1\oplus 1$-модальные гауссовы состояния (см. для, казалось бы, другого, но по сути эквивалентного подхода). Позже было найдено что условие Саймона также необходимо и достаточно для $1\oplus n$-модные гауссовы состояния, но уже недостаточны для $2\oplus 2$-режимные гауссовы состояния. Условие Саймона можно обобщить, приняв во внимание моменты высших порядков канонических операторов. или с помощью энтропийных мер.

Характеризация с помощью алгебраической геометрии

Квантовая механика может быть смоделирована на основе проективного гильбертова пространства , а категориальное произведение двух таких пространств представляет собой вложение Сегре . В двудольном случае квантовое состояние сепарабельно тогда и только тогда, когда оно лежит в образе вложения Сегре. Йон Магне Лейнаас , Ян Мирхайм и Эйрик Оврум в своей статье «Геометрические аспекты запутанности» описать проблему и изучить геометрию разделимых состояний как подмножества общих матриц состояний. Это подмножество имеет некоторое пересечение с подмножеством состояний, удовлетворяющих критерию Переса-Городецкого. В этой статье Лейнаас и др. также дайте численный подход к проверке разделимости в общем случае.

Тестирование на разделимость

Проверка разделимости в общем случае является NP-трудной задачей. Лейнаас и др. сформулировал итерационный вероятностный алгоритм проверки разделимости данного состояния. Когда алгоритм успешен, он дает явное, случайное представление данного состояния как разделимого состояния. В противном случае он дает расстояние данного состояния от ближайшего отделимого состояния, которое оно может найти.

См. также

• Свидетель запутанности

Внешние ссылки

• Веб-приложение «StateSeparator»