Разложение Шмидта

В линейной алгебре ( разложение Шмидта названное в честь его создателя Эрхарда Шмидта ) относится к особому способу выражения вектора в тензорном произведении двух пространств внутреннего произведения . Он имеет многочисленные применения в квантовой теории информации , например, при запутанности описании , очистке состояний и пластичности .

Теорема

Позволять $H_{1}$ и $H_{2}$ — пространство размерностей и n гильбертово m соответственно. Предполагать $n\geq m$. Для любого вектора $w$ в тензорном произведении $H_{1}\otimes H_{2}$, существуют ортонормированные множества $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}\subset H_{1}$ и $\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\subset H_{2}$ такой, что ${\textstyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}}$, где скаляры $\alpha _{i}$ действительны, неотрицательны и уникальны с точностью до переупорядочения.

Доказательство

Разложение Шмидта по сути является повторением разложения по сингулярным значениям в другом контексте. Исправление ортонормированных базисов $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\subset H_{1}$ и $\{f_{1},\ldots ,f_{m}\}\subset H_{2}$. Мы можем определить элементарный тензор $e_{i}\otimes f_{j}$ с матрицей $e_{i}f_{j}^{\mathsf {T}}$, где $f_{j}^{\mathsf {T}}$ это транспонирование ​ $f_{j}$. Общий элемент тензорного произведения

$w=\sum _{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}\beta _{ij}e_{i}\otimes f_{j}$

тогда можно рассматривать как размера n × m матрицу

$\;M_{w}=(\beta _{ij}).$

По сингулярному разложению существуют размера n × n унитарная U , размера m × m унитарная V и положительно полуопределенная диагональная матрица Σ размера m × m такие, что

$M_{w}=U{\begin{bmatrix}\Sigma \\0\end{bmatrix}}V^{*}.$

Писать $U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}$ где $U_{1}$ есть n × m , и мы имеем

$\;M_{w}=U_{1}\Sigma V^{*}.$

Позволять $\{u_{1},\ldots ,u_{m}\}$ быть m вектор-столбцов $U_{1}$, $\{v_{1},\ldots ,v_{m}\}$ векторы-столбцы ${\overline {V}}$, и $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}$ диагональные элементы Σ. Тогда предыдущее выражение

$M_{w}=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}v_{k}^{\mathsf {T}},$

Затем

$w=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}\otimes v_{k},$

что доказывает утверждение.

Некоторые наблюдения

Некоторые свойства разложения Шмидта представляют физический интерес.

Спектр приведенных состояний

Рассмотрим вектор $w$ тензорного произведения

$H_{1}\otimes H_{2}$

в виде разложения Шмидта

$w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}.$

Сформируйте матрицу ранга 1 $\rho =ww^{*}$. Тогда частичный след $\rho$, относительно любой системы A или B , является диагональной матрицей, ненулевые диагональные элементы которой равны $|\alpha _{i}|^{2}$. Другими словами, разложение Шмидта показывает, что приведенные состояния $\rho$ в обеих подсистемах имеют одинаковый спектр.

Ранг Шмидта и запутанность

Строго положительные значения $\alpha _{i}$ в разложении Шмидта $w$ являются его коэффициентами Шмидта , или числами Шмидта . Общее количество коэффициентов Шмидта $w$, подсчитанный с кратностью, называется его рангом Шмидта .

Если $w$ можно выразить как произведение

$u\otimes v$

затем $w$ называется сепарабельным состоянием . В противном случае, $w$ Говорят, что это запутанное состояние . Из разложения Шмидта мы видим, что $w$ запутано тогда и только тогда, когда $w$ имеет ранг Шмидта строго больше 1. Следовательно, две подсистемы, разделяющие чистое состояние, запутаны тогда и только тогда, когда их приведенные состояния являются смешанными состояниями.

Энтропия фон Неймана

Следствием приведенных выше комментариев является то, что для чистых состояний энтропия фон Неймана приведенных состояний является четко определенной мерой запутанности . Для энтропии фон Неймана обоих приведенных состояний $\rho$ является ${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$, и это ноль тогда и только тогда, когда $\rho$ является состоянием продукта (не запутанным).

Вектор ранга Шмидта

Ранг Шмидта определен для двудольных систем, а именно квантовых состояний.

$|\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}$

Понятие ранга Шмидта можно распространить на квантовые системы, состоящие из более чем двух подсистем.

Рассмотрим трехчастную квантовую систему:

$|\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{C}$

Есть три способа свести это к двудольной системе, выполнив частичную трассировку по отношению к $H_{A},H_{B}$ или $H_{C}$

${\begin{cases}{\hat {\rho }}_{A}=Tr_{A}(|\psi \rangle \langle \psi |)\\{\hat {\rho }}_{B}=Tr_{B}(|\psi \rangle \langle \psi |)\\{\hat {\rho }}_{C}=Tr_{C}(|\psi \rangle \langle \psi |)\end{cases}}$

Каждая из полученных систем является двудольной и поэтому может быть охарактеризована одним числом (ее рангом Шмидта) соответственно. $r_{A},r_{B}$ и $r_{C}$. Эти числа отражают «степень запутанности» в двудольной системе, когда соответственно отбрасываются A, B или C. По этим причинам трехчастная система может быть описана вектором, а именно вектором ранга Шмидта

${\vec {r}}=(r_{A},r_{B},r_{C})$

Многосторонние системы

Понятие вектора ранга Шмидта также можно распространить на системы, состоящие из более чем трех подсистем, с помощью тензоров .

Пример

Возьмем трехстороннее квантовое состояние. $|\psi _{4,2,2}\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}|0,0,0\rangle +|1,0,1\rangle +|2,1,0\rangle +|3,1,1\rangle {\big )}$

Такая система стала возможной благодаря кодированию значения кудита в орбитальный угловой момент (ОУМ) фотона, а не в его спин , поскольку последний может принимать только два значения.

Вектор ранга Шмидта для этого квантового состояния равен $(4,2,2)$.

См. также

• Разложение по сингулярным значениям
• Очистка квантового состояния

Дальнейшее чтение

• Патхак, Анирбан (2013). Элементы квантовых вычислений и квантовой связи . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. стр. 92–98. ISBN  978-1-4665-1791-2 .