Свидетель запутанности

В квантовой теории информации свидетель запутанности — это функционал , который отличает конкретное запутанное состояние от разделимых. Свидетели запутанности могут быть линейными или нелинейными функционалами матрицы плотности . Если они линейны, то их также можно рассматривать как наблюдаемые , для которых математическое ожидание запутанного состояния находится строго вне диапазона возможных значений математического ожидания любого разделимого состояния .

Подробности

Пусть составная квантовая система имеет пространство состояний $H_{A}\otimes H_{B}$. Смешанное состояние ρ тогда является положительным оператором ядерного класса в пространстве состояний, которое имеет след 1. Мы можем рассматривать семейство состояний как подмножество реального банахова пространства, порожденное эрмитовыми операторами ядерного класса, с нормой следа. Смешанное состояние ρ называется сепарабельным , если его можно аппроксимировать в норме следа состояниями вида

$\xi =\sum _{i=1}^{k}p_{i}\,\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},$

где $\rho _{i}^{A}$ и $\rho _{i}^{B}$ являются чистыми состояниями подсистем A и B соответственно. Таким образом, семейство разделимых состояний представляет собой замкнутую выпуклую оболочку чистых состояний-продуктов. Мы воспользуемся следующим вариантом теоремы Хана–Банаха :

Теорема. Пусть $S_{1}$ и $S_{2}$ — непересекающиеся выпуклые замкнутые множества в вещественном банаховом пространстве и одно из них компактно , то существует ограниченный функционал f, разделяющий два множества.

Это обобщение того факта, что в реальном евклидовом пространстве для заданного выпуклого множества и точки снаружи всегда существует аффинное подпространство, разделяющее их. Аффинное подпространство проявляется как функционал f . В данном контексте семейство разделимых состояний представляет собой выпуклое множество в пространстве ядерных операторов. Если ρ — запутанное состояние (то есть лежащее вне выпуклого множества), то по приведенной выше теореме существует функционал f, отделяющий ρ от сепарабельных состояний. Именно этот функционал f или его идентификация как оператора мы называем свидетелем запутанности . Существует более одной гиперплоскости, отделяющей замкнутое выпуклое множество от точки, лежащей вне его, поэтому для запутанного состояния существует более одного свидетеля запутанности. Напомним, что двойственное к банаховому пространству ядерных операторов изоморфно множеству ограниченных операторов . мы можем отождествить f с эрмитовым оператором A. Следовательно , Таким образом, по модулю нескольких деталей мы показали существование свидетеля запутанности в запутанном состоянии:

Теорема. Для любого запутанного состояния ρ существует эрмитов оператор A такой, что $\operatorname {Tr} (A\,\rho )<0$, и $\operatorname {Tr} (A\,\sigma )\geq 0$ для всех сепарабельных состояний σ .

Когда оба $H_{A}$ и $H_{B}$ имеют конечную размерность, нет разницы между ядерным оператором и оператором Гильберта–Шмидта . Таким образом, в этом случае A может быть задано по теореме о представлении Рисса . Непосредственное следствие:

Теорема. Смешанное состояние σ является сепарабельным тогда и только тогда, когда

$\operatorname {Tr} (A\,\sigma )\geq 0$

для любого ограниченного оператора A, удовлетворяющего $\operatorname {Tr} (A\cdot P\otimes Q)\geq 0$, для всех продуктов в чистом виде $P\otimes Q$.

Если состояние сепарабельно, очевидно, что желаемое следствие теоремы должно выполняться. С другой стороны, в запутанном состоянии один из свидетелей запутанности нарушит данное условие.

Таким образом, если ограниченный функционал f банахова пространства ядерных классов и f положителен на чистых состояниях произведения, то f или его идентификация как эрмитова оператора является свидетелем запутанности. Такая f указывает на запутанность какого-то состояния.

Используя изоморфизм между свидетелями запутанности и не вполне положительными отображениями, было показано (Городецкими), что

Теорема. Предположим, что $H_{A},H_{B}$ конечномерны. Смешанное состояние $\sigma \in L(H_{A})\otimes L(H_{B})$ сепарабельна, если для любого положительного отображения Λ ограниченных операторов на $H_{B}$ ограниченным операторам на $H_{A}$, оператор $(I_{A}\otimes \Lambda )(\sigma )$ положительно, где $I_{A}$ это карта идентичности на $\;L(H_{A})$, ограниченные операторы на $H_{A}$.

Ссылки

• Терхал, Барбара М. (2000). «Неравенства Белла и критерий разделимости». Буквы по физике А. 271 (5–6): 319–326. arXiv : Quant-ph/9911057 . Бибкод : 2000PhLA..271..319T . дои : 10.1016/S0375-9601(00)00401-1 . ISSN   0375-9601 . Также доступно по адресу quant-ph/9911057.
• РБ Холмс. Геометрический функциональный анализ и его приложения , Springer-Verlag, 1975.
• М. Городецкий, П. Городецкий, Р. Городецкий, Разделимость смешанных состояний: необходимые и достаточные условия , Physics Letters A 223, 1 (1996) и arXiv:quant-ph/9605038
• З. Фичек, «Квантовая обработка запутанности с помощью атомов», Appl. Математика. Инф. наук. 3, 375–393 (2009).
• Барри С. Сандерс и Чон Сан Ким, «Моногамия и полигамия запутанности в многочастных квантовых системах», Appl. Математика. Инф. наук. 4, 281–288 (2010).
• Гюне, О.; Тот, Г. (2009). «Обнаружение запутывания». Физ. Представитель . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Бибкод : 2009ФР...474....1Г . дои : 10.1016/j.physrep.2009.02.004 .