Класс трассировки

В математике , особенно в функциональном анализе , оператор трассового класса — это линейный оператор, для которого может быть определен след , так что след представляет собой конечное число, независимое от выбора базиса, используемого для вычисления следа. Этот след ядерных операторов обобщает след матриц, изучаемых в линейной алгебре. Все операторы трассового класса являются компактными операторами .

В квантовой механике смешанные состояния описываются матрицами плотности , которые являются определенными операторами следового класса.

Операторы следового класса по существу такие же, как и ядерные операторы , хотя многие авторы оставляют термин «оператор следового класса» для особого случая ядерных операторов в гильбертовых пространствах и используют термин «ядерный оператор» в более общих топологических векторных пространствах (таких как как банаховы пространства ).

Обратите внимание, что оператор следа , изучаемый в уравнениях в частных производных, представляет собой несвязанное понятие.

Определение

Позволять $H$ — сепарабельное гильбертово пространство , $\left\{e_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ ортонормированный базис и $A:H\to H$ положительный на ограниченный линейный оператор $H$. След ​ ​ $A$ обозначается $\operatorname {Tr} (A)$ и определяется как

$\operatorname {Tr} (A)=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle Ae_{k},e_{k}\right\rangle ,$

независимо от выбора ортонормированного базиса. (Не обязательно положительный) ограниченный линейный оператор $T:H\rightarrow H$ называется классом трассировки тогда и только тогда, когда

$\operatorname {Tr} (|T|)<\infty ,$

где $|T|:={\sqrt {T^{*}T}}$ обозначает положительно-полуопределенный эрмитовский квадратный корень .

Следовая норма оператора ядерного класса T определяется как $$\|T\|_{1}:=\operatorname {Tr} (|T|).$$Можно показать, что норма следа является нормой в пространстве всех операторов ядерного класса. $B_{1}(H)$ и это $B_{1}(H)$, с нормой следа, становится банаховым пространством .

Когда $H$ конечномерен, каждый (положительный) оператор является ядерным классом, и это определение следа $A$ совпадает с определением следа матрицы . Если $H$ является сложным, то $A$ всегда самосопряжен (т.е. $A=A^{*}=|A|$), хотя обратное не обязательно верно.

Эквивалентные составы

Дан ограниченный линейный оператор $T:H\to H$, каждое из следующих утверждений эквивалентно $T$ находясь в классе трассировки:

• ${\textstyle \operatorname {Tr} (|T|)=\sum _{k}\left\langle |T|\,e_{k},e_{k}\right\rangle }$ конечно для любого ортонормированного базиса $\left(e_{k}\right)_{k}$ Х. ​ ​
• Т — ядерный оператор

Существуют две ортогональные последовательности $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ и $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $H$ и положительные действительные числа $\left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $\ell ^{1}$ такой, что ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}<\infty }$ и

$x\mapsto T(x)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}\right\rangle y_{i},\quad \forall x\in H,$

где $\left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ являются сингулярными значениями T ( или, что то же самое, собственными значениями $|T|$), где каждое значение повторяется так часто, как его кратность.

• T — компактный оператор с $\operatorname {Tr} (|T|)<\infty .$

Если T — трассировочный класс, то

$\|T\|_{1}=\sup \left\{|\operatorname {Tr} (CT)|:\|C\|\leq 1{\text{ and }}C:H\to H{\text{ is a compact operator }}\right\}.$

• T — интегральный оператор .
• T равен композиции двух операторов Гильберта-Шмидта .
• ${\textstyle {\sqrt {|T|}}}$ является оператором Гильберта-Шмидта .

Примеры

Спектральная теорема

Позволять $T$ — ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Затем $T^{2}$ является классом трассировки тогда и только тогда, когда $T$ имеет чисто точечный спектр с собственными значениями $\left\{\lambda _{i}(T)\right\}_{i=1}^{\infty }$ такой, что

$\operatorname {Tr} (T^{2})=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}(T^{2})<\infty .$

Теорема Мерсера

Теорема Мерсера дает еще один пример оператора ядерного класса. То есть, предположим $K$ является непрерывным симметричным положительно определенным ядром на $L^{2}([a,b])$, определяемый как

$K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)$

то соответствующий интегральный оператор Гильберта–Шмидта $T_{K}$ является классом трассировки, т. е.

$\operatorname {Tr} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.$

Операторы конечного ранга

Каждый оператор конечного ранга является оператором ядерного класса. Более того, пространство всех операторов конечного ранга является плотным подпространством $B_{1}(H)$ (при наделении следовой нормой).

Учитывая любой $x,y\in H,$ определить оператор $x\otimes y:H\to H$ к $(x\otimes y)(z):=\langle z,y\rangle x.$ Затем $x\otimes y$ является непрерывным линейным оператором ранга 1 и, следовательно, является ядерным классом; более того, для любого ограниченного линейного оператора A в H (и в H ) $\operatorname {Tr} (A(x\otimes y))=\langle Ax,y\rangle .$

Характеристики

1. Если $A:H\to H$ — неотрицательный самосопряженный оператор , то $A$ является трассировочным классом тогда и только тогда, когда $\operatorname {Tr} A<\infty .$ Следовательно, самосопряженный оператор $A$ является трассовым классом тогда и только тогда, когда его положительная часть $A^{+}$ и отрицательная часть $A^{-}$ оба являются трассировочными. (Положительная и отрицательная части самосопряженного оператора получаются с помощью непрерывного функционального исчисления .)
2. След является линейным функционалом над пространством ядерных операторов, т. е. $$\operatorname {Tr} (aA+bB)=a\operatorname {Tr} (A)+b\operatorname {Tr} (B).$$Билинейная карта $$\langle A,B\rangle =\operatorname {Tr} (A^{*}B)$$ является внутренним продуктом класса трассировки; соответствующая норма называется нормой Гильберта–Шмидта . Пополнение ядерных операторов в норме Гильберта–Шмидта называют операторами Гильберта–Шмидта.
3. $\operatorname {Tr} :B_{1}(H)\to \mathbb {C}$ — положительный линейный функционал такой, что если $T$ является оператором класса трассировки, удовлетворяющим $T\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Tr} T=0,$ затем $T=0.$
4. Если $T:H\to H$ это трассировочный класс, то это тоже $T^{*}$ и $\|T\|_{1}=\left\|T^{*}\right\|_{1}.$
5. Если $A:H\to H$ ограничен, и $T:H\to H$ является трассировочным классом, тогда $AT$ и $TA$ также являются ядерными (т.е. пространство ядерных операторов на H является идеалом в алгебре ограниченных линейных операторов на H ), и $$\|AT\|_{1}=\operatorname {Tr} (|AT|)\leq \|A\|\|T\|_{1},\quad \|TA\|_{1}=\operatorname {Tr} (|TA|)\leq \|A\|\|T\|_{1}.$$Более того, согласно той же гипотезе, $$\operatorname {Tr} (AT)=\operatorname {Tr} (TA)$$ и $|\operatorname {Tr} (AT)|\leq \|A\|\|T\|.$ Последнее утверждение справедливо и при более слабой гипотезе о том, что A и T гильбертово-шмидтовские.
6. Если $\left(e_{k}\right)_{k}$ и $\left(f_{k}\right)_{k}$ — это два ортонормированных базиса H , и если T — ядерный класс, то ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle Te_{k},f_{k}\right\rangle \right|\leq \|T\|_{1}.}$
7. Если A является ядерным классом, то можно определить Фредгольма определитель $I+A$: $$\det(I+A):=\prod _{n\geq 1}[1+\lambda _{n}(A)],$$ где $\{\lambda _{n}(A)\}_{n}$ это спектр $A.$ Условие класса трассировки на $A$ гарантирует, что бесконечное произведение конечно: действительно, $$\det(I+A)\leq e^{\|A\|_{1}}.$$Это также подразумевает, что $\det(I+A)\neq 0$ тогда и только тогда, когда $(I+A)$ является обратимым.
8. Если $A:H\to H$ является следовым классом тогда для любого ортонормированного базиса $\left(e_{k}\right)_{k}$ из $H,$ сумма положительных членов ${\textstyle \sum _{k}\left|\left\langle A\,e_{k},e_{k}\right\rangle \right|}$ конечно.
9. Если $A=B^{*}C$ для некоторых операторов Гильберта-Шмидта $B$ и $C$ тогда для любого нормального вектора $e\in H,$ ${\textstyle |\langle Ae,e\rangle |={\frac {1}{2}}\left(\|Be\|^{2}+\|Ce\|^{2}\right)}$ держит.

Теорема Лидского

Позволять $A$ быть оператором ядерного класса в сепарабельном гильбертовом пространстве $H,$ и пусть $\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N\leq \infty }$ быть собственными значениями $A.$ Предположим, что $\lambda _{n}(A)$ нумеруются с учетом алгебраической кратности (т. е. если алгебраическая кратность $\lambda$ является $k,$ затем $\lambda$ повторяется $k$ раз в списке $\lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots$). Теорема Лидского (названная в честь Виктора Борисовича Лидского ) утверждает, что $$\operatorname {Tr} (A)=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}(A)$$

Заметим, что ряд справа абсолютно сходится в силу неравенства Вейля $$\sum _{n=1}^{N}\left|\lambda _{n}(A)\right|\leq \sum _{m=1}^{M}s_{m}(A)$$между собственными значениями $\{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N}$ и сингулярные значения $\{s_{m}(A)\}_{m=1}^{M}$ компактного оператора $A.$

Отношения между распространенными классами операторов

Некоторые классы ограниченных операторов можно рассматривать как некоммутативный аналог классических пространств последовательностей , а операторы ядерного класса - как некоммутативный аналог пространства последовательностей. $\ell ^{1}(\mathbb {N} ).$

Действительно, можно применить спектральную теорему , чтобы показать, что каждый нормальный ядерный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве может быть определенным образом реализован как $\ell ^{1}$ последовательность относительно некоторого выбора пары гильбертовых базисов. Точно так же ограниченные операторы являются некоммутативными версиями операторов. $\ell ^{\infty }(\mathbb {N} ),$ компактные операторы ​ $c_{0}$ (последовательности, сходящиеся к 0), операторы Гильберта–Шмидта соответствуют $\ell ^{2}(\mathbb {N} ),$ и операторы конечного ранга $c_{00}$ (последовательности, имеющие лишь конечное число ненулевых членов). В некоторой степени отношения между этими классами операторов аналогичны отношениям между их коммутативными аналогами.

Напомним, что каждый компактный оператор $T$ в гильбертовом пространстве принимает следующий канонический вид: существуют ортонормированные базисы $(u_{i})_{i}$ и $(v_{i})_{i}$ и последовательность $\left(\alpha _{i}\right)_{i}$ неотрицательных чисел с $\alpha _{i}\to 0$ такой, что $$Tx=\sum _{i}\alpha _{i}\langle x,v_{i}\rangle u_{i}\quad {\text{ for all }}x\in H.$$Уточняя приведенные выше эвристические комментарии, мы имеем следующее: $T$ является трассовым классом тогда и только тогда, когда ряд ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}}$ является сходящимся, $T$ является Гильбертом–Шмидтом тогда и только тогда, когда ${\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}^{2}}$ является сходящимся, и $T$ имеет конечный ранг тогда и только тогда, когда последовательность $\left(\alpha _{i}\right)_{i}$ имеет лишь конечное число ненулевых членов. Это позволяет связать эти классы операторов. Следующие включения имеют место и являются правильными, когда $H$ бесконечномерен: $$\{{\text{ finite rank }}\}\subseteq \{{\text{ trace class }}\}\subseteq \{{\text{ Hilbert--Schmidt }}\}\subseteq \{{\text{ compact }}\}.$$

Операторам трассового класса задана трассовая норма ${\textstyle \|T\|_{1}=\operatorname {Tr} \left[\left(T^{*}T\right)^{1/2}\right]=\sum _{i}\alpha _{i}.}$ Норма, соответствующая скалярному произведению Гильберта – Шмидта, равна $$\|T\|_{2}=\left[\operatorname {Tr} \left(T^{*}T\right)\right]^{1/2}=\left(\sum _{i}\alpha _{i}^{2}\right)^{1/2}.$$Кроме того, обычная операторная норма ${\textstyle \|T\|=\sup _{i}\left(\alpha _{i}\right).}$ По классическим неравенствам относительно последовательностей $$\|T\|\leq \|T\|_{2}\leq \|T\|_{1}$$для соответствующего $T.$

Ясно также, что операторы конечного ранга плотны как в ядерном классе, так и в норме Гильберта–Шмидта.

Класс трассировки как двойственный компактным операторам

Двойное пространство ​ $c_{0}$ является $\ell ^{1}(\mathbb {N} ).$ Аналогично мы имеем, что двойственный компактному оператору, обозначаемый $K(H)^{*},$ — операторы трассового класса, обозначаемые $B_{1}.$ Рассуждение, которое мы сейчас обрисуем, напоминает рассуждение для соответствующих пространств последовательностей. Позволять $f\in K(H)^{*},$ мы определяем $f$ с оператором $T_{f}$ определяется $$\langle T_{f}x,y\rangle =f\left(S_{x,y}\right),$$где $S_{x,y}$ — оператор первого ранга, определяемый формулой $$S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x.$$

Эта идентификация работает, поскольку операторы конечного ранга плотны по норме в $K(H).$ В том случае, если $T_{f}$ является положительным оператором для любого ортонормированного базиса $u_{i},$ у одного есть $$\sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,$$где $I$ является идентификационным оператором: $$I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}.$$

Но это означает, что $T_{f}$ является трассировочным классом. Обращение к полярному разложению распространило это на общий случай, когда $T_{f}$ не обязательно должен быть положительным.

Ограничивающий аргумент с использованием операторов конечного ранга показывает, что $\|T_{f}\|_{1}=\|f\|.$ Таким образом $K(H)^{*}$ изометрически изоморфен $B_{1}.$

Как предуал ограниченных операторов

Напомним, что двойственный $\ell ^{1}(\mathbb {N} )$ является $\ell ^{\infty }(\mathbb {N} ).$ В данном контексте двойственный оператор трассировочного класса $B_{1}$ это ограниченные операторы $B(H).$ Точнее, набор $B_{1}$ двусторонним идеалом является $B(H).$ Итак, учитывая любой оператор $T\in B(H),$ мы можем определить непрерывный линейный функционал $\varphi _{T}$ на $B_{1}$ к $\varphi _{T}(A)=\operatorname {Tr} (AT).$ Это соответствие между ограниченными линейными операторами и элементами $\varphi _{T}$ двойного пространства ​ $B_{1}$ является изометрическим изоморфизмом . Отсюда следует, что $B(H)$ это двойственное пространство $B_{1}.$ Это можно использовать для определения топологииweak-* на $B(H).$

См. также

• Ядерный оператор - линейный оператор, связанный с топологическими векторными пространствами.
• Ядерные операторы между банаховыми пространствами
• Оператор трассировки

Библиография

• Конвей, Джон Б. (2000). Курс теории операторов . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое соц. ISBN  978-0-8218-2065-0 .
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Диксмье, Дж. (1969). Операторные алгебры в гильбертовом пространстве . Готье-Виллар.
• Рид, М .; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Академическая пресса. ISBN  978-0-12-585050-6 .
• Шефер, Хельмут Х. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Саймон, Барри (2010). Теорема Сегё и ее потомки: спектральная теория L² возмущений ортогональных многочленов . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-14704-8 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .