Интегральный линейный оператор

Целочисленная билинейная форма — это билинейный функционал , принадлежащий непрерывному двойственному пространству $X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y$ , инъективное тензорное произведение локально выпуклых топологических векторных пространств (TVS) X и Y . Интегральный линейный оператор — это непрерывный линейный оператор, каноническим образом возникающий из целочисленной билинейной формы.

Эти карты играют важную роль в теории ядерных пространств и ядерных карт .

Определение. Интегральные формы как двойственные инъективному тензорному произведению.

Пусть X и Y — локально выпуклые ТВС, пусть $X\otimes _{\pi }Y$ обозначим проективное тензорное произведение , $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ обозначим его завершение, пусть $X\otimes _{\epsilon }Y$ обозначим инъективное тензорное произведение и $X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y$ обозначают его завершение. Предположим, что $\operatorname {In} :X\otimes _{\epsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y$ обозначает TVS-вложение $X\otimes _{\epsilon }Y$ до его завершения и позвольте ${}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }$ быть его транспонированием , которое является изоморфизмом векторного пространства. Это идентифицирует непрерывное двойственное пространство $X\otimes _{\epsilon }Y$ как идентичное непрерывному двойственному пространству $X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y$ .

Позволять $\operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\epsilon }Y$ обозначаем тождественную карту и ${}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\epsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }$ обозначим его транспонирование , которое представляет собой непрерывную инъекцию. Напомним, что $\left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }$ канонически отождествляется с $B(X,Y)$ , пространство непрерывных билинейных отображений на $X\times Y$ . Таким образом, непрерывное двойственное пространство $X\otimes _{\epsilon }Y$ может быть канонически идентифицирован как векторное подпространство $B(X,Y)$ , обозначенный $J(X,Y)$ . Элементы $J(X,Y)$ называются целыми (билинейными) формами на $X\times Y$ . Следующая теорема оправдывает слово «интеграл» .

Теорема ^[1]^[2] — Двойственный $J (X, Y)$ $X{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y$ состоит ровно из непрерывных билинейных форм $u$ на $X\times Y$ формы

u(x,y)=\int _{S\times T}\langle x,x'\rangle \langle y,y'\rangle \;d\mu \!\left(x',y'\right),

где $S$ и $T$ — соответственно некоторые слабо замкнутые и равнонепрерывные (следовательно, слабо компактные) подмножества двойственных $X^{\prime }$ и $Y^{\prime }$ , и $\mu$ является (необходимо ограниченной) положительной мерой Радона на (компактном) множестве $S\times T$ .

Существует также близкая формулировка ^[3] приведенной выше теоремы, которую также можно использовать для объяснения терминологии интегральной билинейной формы: непрерывной билинейной формы $u$ о продукте $X\times Y$ локально выпуклых пространств является целым тогда и только тогда, когда существует компактное топологическое пространство $\Omega$ снабженный (обязательно ограниченной) положительной мерой Радона $\mu$ и непрерывные линейные карты $\alpha$ и $\beta$ от $X$ и $Y$ в банахово пространство $L^{\infty }(\Omega ,\mu )$ такой, что

u(x,y)=\langle \alpha (x),\beta (y)\rangle =\int _{\Omega }\alpha (x)\beta (y)\;d\mu

,

то есть форма $u$ может быть реализовано путем интегрирования (по существу ограниченных) функций на компакте.

Интегральные линейные карты

Непрерывная линейная карта $\kappa :X\to Y'$ называется целым , если связанная с ним билинейная форма является целочисленной билинейной формой, причем эта форма определяется формулой $(x,y)\in X\times Y\mapsto (\kappa x)(y)$ . ^[4] Отсюда следует, что интегральное отображение $\kappa :X\to Y'$ имеет вид: ^[4]

x\in X\mapsto \kappa (x)=\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle y'\mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)

для подходящих слабо замкнутых и равностепенно непрерывных S и T подмножеств $X'$ и $Y'$ соответственно, и некоторую положительную меру Радона $\mu$ общей массы ≤ 1. Приведенный выше интеграл является слабым интегралом , поэтому равенство выполняется тогда и только тогда, когда для каждого $y\in Y$ , ${\textstyle \left\langle \kappa (x),y\right\rangle =\int _{S\times T}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y',y\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y'\right)}$ .

Учитывая линейную карту $\Lambda :X\to Y$ , можно определить каноническую билинейную форму $B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y'\right)$ , называемая ассоциированной билинейной формой на $X\times Y'$ , к $B_{\Lambda }\left(x,y'\right):=\left(y'\circ \Lambda \right)\left(x\right)$ . Непрерывная карта $\Lambda :X\to Y$ называется целым , если связанная с ним билинейная форма является целочисленной билинейной формой. ^[5] Интегральная карта $\Lambda :X\to Y$ имеет вид, для каждого $x\in X$ и $y'\in Y'$ :

\left\langle y',\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A'\times B''}\left\langle x',x\right\rangle \left\langle y'',y'\right\rangle \mathrm {d} \mu \!\left(x',y''\right)

для подходящих слабозамкнутых и равнонепрерывных подмножеств $A'$ и $B''$ из $X'$ и $Y''$ соответственно, и некоторую положительную меру Радона $\mu$ общей массы $\leq 1$ .

Связь с гильбертовыми пространствами

Следующий результат показывает, что интегральные отображения «факторизуются» в гильбертовых пространствах.

Предложение: ^[6] Предположим, что $u:X\to Y$ является интегральным отображением между локально выпуклым TVS с Y Хаусдорфом и полным. Существует гильбертово пространство H и два непрерывных линейных отображения $\alpha :X\to H$ и $\beta :H\to Y$ такой, что $u=\beta \circ \alpha$ .

Более того, каждый интегральный оператор между двумя гильбертовыми пространствами является ядерным . ^[6] Таким образом, непрерывный линейный оператор между двумя гильбертовыми пространствами является ядерным тогда и только тогда, когда он целочислен.

Достаточные условия

Любая ядерная карта целостна. ^[5] Важное частичное обратное состоит в том, что каждый интегральный оператор между двумя гильбертовыми пространствами является ядерным . ^[6]

Предположим, что A , B , C и D являются хаусдорфовыми локально выпуклыми TVS и что $\alpha :A\to B$ , $\beta :B\to C$ , и $\gamma :C\to D$ все являются непрерывными линейными операторами. Если $\beta :B\to C$ является интегральным оператором, то такой же является и композиция $\gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D$ . ^[6]

Если $u:X\to Y$ является непрерывным линейным оператором между двумя нормированными пространствами, тогда $u:X\to Y$ является целым тогда и только тогда, когда ${}^{t}u:Y'\to X'$ является интегральным. ^[7]

Предположим, что $u:X\to Y$ является непрерывным линейным отображением локально выпуклых ТВС. Если $u:X\to Y$ является целым, то и его транспонирование является целым ${}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }$ . ^[5] Теперь предположим, что транспонирование ${}^{t}u:Y_{b}^{\prime }\to X_{b}^{\prime }$ непрерывного линейного отображения $u:X\to Y$ является интегральным. Затем $u:X\to Y$ является целым, если канонические инъекции $\operatorname {In} _{X}:X\to X''$ (определено $x\mapsto$ значение в точке $x$ ) и $\operatorname {In} _{Y}:Y\to Y''$ являются TVS-вложениями (что происходит, если, например, $X$ и $Y_{b}^{\prime }$ являются бочковыми или метризуемыми). ^[5]

Характеристики

Предположим, что , B , C и D — хаусдорфовы локально выпуклые ТВС с B и D. полными A Если $\alpha :A\to B$ , $\beta :B\to C$ , и $\gamma :C\to D$ все являются целочисленными линейными отображениями, то их композиция $\gamma \circ \beta \circ \alpha :A\to D$ является ядерным . ^[6] Так, в частности, если $X$ — бесконечномерное пространство Фреше , то непрерывная линейная сюръекция $u:X\to X$ не может быть интегральным оператором.

См. также

Ссылки

^ Шефер и Вольф 1999 , с. 168.
^ Тревес 2006 , стр. 500–502.
^ Гротендик 1955 , стр. 124–126.
^ Jump up to: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , с. 169.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Тревес 2006 , стр. 502–505.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Тревес 2006 , стр. 506–508.
^ Тревес 2006 , стр. 505.

Библиография

Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: новый взгляд на резюме Гротендика . Том. 16. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 9781470424831 . OCLC 185095773 .
Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Конспект лекций по математике . Том. 720. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09504-0 . OCLC 5126156 .
Гротендик, Александр (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском языке). 16 . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1216-7 . МР 0075539 . OCLC 1315788 .
Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0 . OCLC 4493665 .
Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087137-0 . МР 0500064 . OCLC 316549583 .
Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: Вводный курс по ядерным и ядерным пространствам в свете дуальности «топология-борнология» . Математические исследования Северной Голландии. Том. 52. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 978-0-08-087163-9 . OCLC 316564345 .
Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Результаты математики и ее пограничные области. Том 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 978-0-387-05644-9 . OCLC 539541 .
Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Райан, Раймонд А. (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Монографии Спрингера по математике . Лондон Нью-Йорк: Спрингер . ISBN 978-1-85233-437-6 . ОСЛК 48092184 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Конспект лекций по математике . Том. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09513-2 . OCLC 5126158 .

Внешние ссылки

Ядерный космос в ncatlab

[FOOTNOTESchaeferWolff1999168-1] Шефер и Вольф 1999 , с. 168.

[FOOTNOTETrèves2006500–502-2] Тревес 2006 , стр. 500–502.

[FOOTNOTEGrothendieck1955124–126-3] Гротендик 1955 , стр. 124–126.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999169-4] Jump up to: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , с. 169.

[FOOTNOTETrèves2006502–505-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Тревес 2006 , стр. 502–505.

[FOOTNOTETrèves2006506–508-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Тревес 2006 , стр. 506–508.

[FOOTNOTETrèves2006505-7] Тревес 2006 , стр. 505.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Топологические тензорные произведения и ядерные пространства
Основные понятия	Вспомогательные нормированные пространства Ядерный космос Тензорное произведение Топологическое тензорное произведение гильбертовых пространств
Топологии	Индуктивное тензорное произведение Инъективное тензорное произведение Проективное тензорное произведение
Операторы/Карты	Определитель Фредгольма Ядро Фредгольма Оператор Гильберта – Шмидта Гипонепрерывность Интеграл Ядерный между банаховыми пространствами Класс трассировки
Теоремы	Теорема Гротендика о следах Теорема о ядре Шварца