Топологическое векторное пространство

В математике топологическое векторное пространство (также называемое линейным топологическим пространством и обычно сокращенно TVS или tvs ) является одной из основных структур, исследуемых в функциональном анализе .Топологическое векторное пространство — это векторное пространство , которое также является топологическим пространством , обладающим тем свойством, что операции с векторным пространством (сложение векторов и скалярное умножение) также являются непрерывными функциями . Такая топология называется векторной топологией , и каждое топологическое векторное пространство имеет однородную топологическую структуру , что допускает понятие равномерной сходимости и полноты . Некоторые авторы также требуют, чтобы пространство было хаусдорфовым пространством (хотя в этой статье это не так). Одной из наиболее широко изученных категорий ТВС являются локально выпуклые топологические векторные пространства . В этой статье основное внимание уделяется TVS, которые не обязательно являются локально выпуклыми. Другие известные примеры TVS включают банаховы пространства , гильбертовы пространства и пространства Соболева .

Многие топологические векторные пространства представляют собой пространства функций или линейных операторов, действующих на топологические векторные пространства, и топология часто определяется так, чтобы отразить конкретное понятие сходимости последовательностей функций.

В этой статье скалярным полем топологического векторного пространства будет считаться либо комплексное число, либо $\mathbb {C}$ или реальные цифры $\mathbb {R} ,$ если явно не указано иное.

Мотивация

Нормированные пространства

Каждое нормированное векторное пространство имеет естественную топологическую структуру : норма индуцирует метрику , а метрика индуцирует топологию.Это топологическое векторное пространство, потому что :

1. Карта векторного сложения $\cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X$ определяется $(x,y)\mapsto x+y$ (совместно) непрерывен относительно этой топологии. Это следует непосредственно из неравенства треугольника, подчиняющегося норме.
2. Карта скалярного умножения $\cdot :\mathbb {K} \times X\to X$ определяется $(s,x)\mapsto s\cdot x,$ где $\mathbb {K}$ является основным скалярным полем $X,$ является (совместно) непрерывным. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы.

Таким образом, все банаховы и гильбертовы пространства являются примерами топологических векторных пространств.

Ненормированные пространства

Существуют топологические векторные пространства, топология которых не индуцируется нормой, но все же представляют интерес для анализа. Примерами таких пространств являются пространства голоморфных функций на открытой области, пространства бесконечно дифференцируемых функций , пространства Шварца , пространства основных функций и пространства распределений на них. Это все примеры пространств Montel . Бесконечномерное пространство Монтеля никогда не является нормируемым. Существование нормы для данного топологического векторного пространства характеризуется критерием нормируемости Колмогорова .

Топологическое поле — это топологическое векторное пространство над каждым из своих подполей .

Определение

Семейство окрестностей начала координат с двумя указанными выше свойствами однозначно определяет топологическое векторное пространство. Система окрестностей любой другой точки векторного пространства получается сдвигом .

Топологическое векторное пространство ( TVS ) $X$ - векторное пространство над топологическим полем $\mathbb {K}$ (чаще всего действительные или комплексные числа со стандартной топологией), наделенный такой топологией , что векторное сложение $\cdot \,+\,\cdot \;:X\times X\to X$ и скалярное умножение $\cdot :\mathbb {K} \times X\to X$ являются непрерывными функциями (где области определения этих функций наделены топологиями произведений ). Такая топология называется векторная топология или Топология TVS включена $X.$

Каждое топологическое векторное пространство также является коммутативной топологической группой при сложении.

предположение Хаусдорфа

Многие авторы (например, Вальтер Рудин ), но не эта страница, требуют топологию на $X$ быть Т ₁ ; отсюда следует, что пространство является Хаусдорфовым и даже Тихоновским . Топологическое векторное пространство называется отделяется, если это Хаусдорф; Важно отметить, что «отделенный» не означает «отделимый » . Топологические и линейные алгебраические структуры можно еще теснее связать вместе с помощью дополнительных предположений, наиболее распространенные из которых перечислены ниже .

Категория и морфизмы

Категория . топологических векторных пространств над заданным топологическим полем $\mathbb {K}$ обычно обозначается $\mathrm {TVS} _{\mathbb {K} }$ или $\mathrm {TVect} _{\mathbb {K} }.$ Объекты представляют собой топологические векторные пространства над $\mathbb {K}$ и морфизмы являются непрерывными $\mathbb {K}$-линейные карты от одного объекта к другому.

А гомоморфизм топологического векторного пространства (сокращенно TVS-гомоморфизм ), также называемый топологический гомоморфизм , представляет собой непрерывное линейное отображение $u:X\to Y$ между топологическими векторными пространствами (ТВП) такими, что индуцированное отображение $u:X\to \operatorname {Im} u$ является открытым отображением, когда $\operatorname {Im} u:=u(X),$ какой диапазон или изображение $u,$ задана топология подпространства, индуцированная $Y.$

А вложение топологического векторного пространства (сокращенно TVS-вложение ), также называемое топологический мономорфизм — инъективный топологический гомоморфизм. Эквивалентно, TVS-вложение — это линейное отображение, которое также является топологическим вложением .

А изоморфизм топологического векторного пространства (сокращенно TVS-изоморфизм ), также называемый топологический векторный изоморфизм или изоморфизм в категории TVS , является биективным линейным гомеоморфизмом . Эквивалентно, это сюръективное TVS-вложение.

Многие свойства TVS, которые изучаются, такие как локальная выпуклость , метризуемость , полнота и нормируемость , инвариантны относительно TVS-изоморфизмов.

Необходимое условие векторной топологии.

Коллекция ${\mathcal {N}}$ подмножеств векторного пространства называется аддитивным. если для каждого $N\in {\mathcal {N}},$ существует какой-то $U\in {\mathcal {N}}$ такой, что $U+U\subseteq N.$

Характеристика непрерывности добавления при $0$ - Если $(X,+)$ является группой (как и все векторные пространства), $\tau$ это топология на $X,$ и $X\times X$ наделен топологией произведения , то картой сложения $X\times X\to X$ (определено $(x,y)\mapsto x+y$) непрерывен в начале координат $X\times X$ тогда и только тогда, когда множество окрестностей начала координат в $(X,\tau )$ является аддитивным. Это утверждение остается верным, если слово «соседство» заменить на «открытое соседство».

Следовательно, все вышеперечисленные условия являются необходимыми для того, чтобы топология сформировала векторную топологию.

Определение топологий с использованием окрестностей начала координат

Поскольку каждая векторная топология трансляционно-инвариантна (это означает, что для всех $x_{0}\in X,$ карта $X\to X$ определяется $x\mapsto x_{0}+x$ является гомеоморфизмом ), для определения векторной топологии достаточно определить для нее окрестностный базис (или подбазис) в начале координат.

Теорема  (Фильтр соседства источника) — Предположим, что $X$ является действительным или комплексным векторным пространством. Если ${\mathcal {B}}$ представляет собой непустую аддитивную совокупность сбалансированных и поглощающих подмножеств $X$ затем ${\mathcal {B}}$ это районная база в $0$ для векторной топологии на $X.$ То есть предположения заключаются в том, что ${\mathcal {B}}$ представляет собой основу фильтра , удовлетворяющую следующим условиям:

1. Каждый $B\in {\mathcal {B}}$ сбалансирован ​ и поглощает ,
2. ${\mathcal {B}}$ является аддитивным: для каждого $B\in {\mathcal {B}}$ существует $U\in {\mathcal {B}}$ такой, что $U+U\subseteq B,$

Если ${\mathcal {B}}$ удовлетворяет двум вышеуказанным условиям, но не является базой фильтра, то он сформирует подбазис окрестности в точке $0$ (а не базис окрестности) для векторной топологии на $X.$

Вообще говоря, совокупность всех сбалансированных и поглощающих подмножеств векторного пространства не удовлетворяет условиям этой теоремы и не образует базиса окрестности в начале координат ни для какой векторной топологии.

Определение топологий с использованием строк

Позволять $X$ быть векторным пространством и пусть $U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ быть последовательностью подмножеств $X.$ Каждый набор в последовательности $U_{\bullet }$ называется узел ​ $U_{\bullet }$ и для каждого индекса $i,$ $U_{i}$ называется $i$-й узел $U_{\bullet }.$ Набор $U_{1}$ называется началом ​ $U_{\bullet }.$ Последовательность $U_{\bullet }$ есть/есть:

• Суммативное, если $U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}$ для каждого индекса $i.$
• Сбалансированный (соответственно поглощающий , закрытый , выпуклый , открытый , симметричный , бочкообразный , абсолютно выпуклый/дисковый и т. д.), если это верно для каждого $U_{i}.$
• Строка , если $U_{\bullet }$ является суммирующим, поглощающим и сбалансированным.
• Топологическая строка или строка соседства в TVS $X$ если $U_{\bullet }$ является строкой, и каждый ее узел является окрестностью начала координат в $X.$

Если $U$представляет собой поглощающий диск в векторном пространстве $X$ то последовательность, определяемая $U_{i}:=2^{1-i}U$ образует строку, начинающуюся с $U_{1}=U.$ Это называется естественной строкой $U$ Более того, если векторное пространство $X$ имеет счетную размерность, то каждая строка содержит абсолютно выпуклую строку.

Суммативные последовательности множеств обладают тем особенно приятным свойством, что они определяют неотрицательные непрерывные субаддитивные функции с действительным знаком. Эти функции затем можно использовать для доказательства многих основных свойств топологических векторных пространств.

Теорема   ( $\mathbb {R}$-значная функция, индуцированная строкой) — Пусть $U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }$ быть совокупностью подмножеств векторного пространства такой, что $0\in U_{i}$ и $U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}$ для всех $i\geq 0.$ Для всех $u\in U_{0},$ позволять $$\mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_{i}\geq 0{\text{ for all }}i,{\text{ and }}u\in U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.$$

Определять $f:X\to [0,1]$ к $f(x)=1$ если $x\not \in U_{0}$ а иначе пусть $$f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.$$

Затем $f$ является субаддитивным (т.е. $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ для всех $x,y\in X$) и $f=0$ на ${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}U_{i};}$ так, в частности, $f(0)=0.$ Если все $U_{i}$ являются симметричными множествами , то $f(-x)=f(x)$ и если все $U_{i}$ сбалансированы тогда $f(sx)\leq f(x)$ для всех скаляров $s$ такой, что $|s|\leq 1$ и все $x\in X.$ Если $X$ является топологическим векторным пространством, и если все $U_{i}$ являются окрестностями начала координат, тогда $f$ является непрерывным, причем если, кроме того, $X$ это Хаусдорф и $U_{\bullet }$ образует основу сбалансированных окрестностей начала в $X$ затем $d(x,y):=f(x-y)$ — метрика, определяющая векторную топологию на $X.$

Доказательство указанной теоремы дано в статье о метризуемых топологических векторных пространствах .

Если $U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ и $V_{\bullet }=\left(V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ представляют собой две коллекции подмножеств векторного пространства $X$ и если $s$ является скаляром, то по определению:

• $V_{\bullet }$ содержит $U_{\bullet }$: $\ U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }$ тогда и только тогда, когда $U_{i}\subseteq V_{i}$ для каждого индекса $i.$
• Набор узлов : $\ \operatorname {Knots} U_{\bullet }:=\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}.$
• Ядро : ${\textstyle \ \ker U_{\bullet }:=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }U_{i}.}$
• Скалярное кратное : $\ sU_{\bullet }:=\left(sU_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.$
• Сумма : $\ U_{\bullet }+V_{\bullet }:=\left(U_{i}+V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.$
• Пересечение : $\ U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:=\left(U_{i}\cap V_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }.$

Если $\mathbb {S}$ представляет собой совокупность последовательностей подмножеств $X,$ затем $\mathbb {S}$ называется направленным ( вниз ) при включении или просто направленным вниз , если $\mathbb {S}$ не пусто и для всех $U_{\bullet },V_{\bullet }\in \mathbb {S} ,$ существует какой-то $W_{\bullet }\in \mathbb {S}$ такой, что $W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }$ и $W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }$ (говоря по-другому, тогда и только тогда, когда $\mathbb {S}$ является предварительным фильтром по отношению к защитной оболочке $\,\subseteq \,$ определение выше).

Обозначение : Пусть ${\textstyle \operatorname {Knots} \mathbb {S} :=\bigcup _{U_{\bullet }\in \mathbb {S} }\operatorname {Knots} U_{\bullet }}$ быть множеством всех узлов всех струн в $\mathbb {S} .$

Определение векторных топологий с использованием наборов строк особенно полезно для определения классов TVS, которые не обязательно являются локально выпуклыми.

Теорема  (Топология, вызванная струнами) — Если $(X,\tau )$ является топологическим векторным пространством, то существует множество $\mathbb {S}$ соседних строк в $X$ направленный вниз и такой, что совокупность всех узлов всех струн в $\mathbb {S}$ является базисом окрестности в начале координат для $(X,\tau ).$ Говорят, что такая совокупность строк называется $\tau$ фундаментальный .

И наоборот, если $X$ является векторным пространством, и если $\mathbb {S}$ представляет собой набор строк в $X$ направленную вниз, то множество $\operatorname {Knots} \mathbb {S}$ всех узлов всех струн в $\mathbb {S}$ образует базис окрестности в начале координат векторной топологии на $X.$ В этом случае эта топология обозначается через $\tau _{\mathbb {S} }$ и это называется топологией, порожденной $\mathbb {S} .$

Если $\mathbb {S}$ - это набор всех топологических струн в TVS. $(X,\tau )$ затем $\tau _{\mathbb {S} }=\tau .$ Хаусдорф ТВС метризуем тогда и только тогда, когда его топология может быть индуцирована одной топологической струной.

Топологическая структура

Векторное пространство является абелевой группой относительно операции сложения, а в топологическом векторном пространстве обратная операция всегда непрерывна (поскольку она аналогична умножению на $-1$). Следовательно, каждое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой . Любой ТВС совершенно регулярен , но ТВС не обязательно должен быть нормальным .

Позволять $X$ быть топологическим векторным пространством. Учитывая подпространство $M\subseteq X,$ фактор-пространство $X/M$ с обычной фактортопологией является топологическим векторным пространством Хаусдорфа тогда и только тогда, когда $M$ закрыт. Это допускает следующую конструкцию: учитывая топологическое векторное пространство $X$ (это, вероятно, не Хаусдорф), образуют факторпространство $X/M$ где $M$ это закрытие $\{0\}.$ $X/M$ тогда является топологическим векторным пространством Хаусдорфа, которое можно изучать вместо $X.$

Инвариантность векторных топологий

Одним из наиболее часто используемых свойств векторных топологий является то, что каждая векторная топология является инвариант перевода :

для всех $x_{0}\in X,$ карта $X\to X$ определяется $x\mapsto x_{0}+x$ является гомеоморфизмом , но если $x_{0}\neq 0$ тогда он не линеен и, следовательно, не является TVS-изоморфизмом.

Скалярное умножение на ненулевой скаляр является TVS-изоморфизмом. Это означает, что если $s\neq 0$ тогда линейное отображение $X\to X$ определяется $x\mapsto sx$ является гомеоморфизмом. С использованием $s=-1$ создает карту отрицания $X\to X$ определяется $x\mapsto -x,$ который, следовательно, является линейным гомеоморфизмом и, следовательно, TVS-изоморфизмом.

Если $x\in X$ и любое подмножество $S\subseteq X,$ затем $\operatorname {cl} _{X}(x+S)=x+\operatorname {cl} _{X}S$ и более того, если $0\in S$ затем $x+S$ является окрестностью (соответственно открытой окрестностью, закрытой окрестностью) $x$ в $X$ тогда и только тогда, когда то же самое верно для $S$ в начале.

Местные понятия

Подмножество $E$ векторного пространства $X$ Говорят, что это

• поглощающий (в $X$): если для каждого $x\in X,$ существует настоящий $r>0$ такой, что $cx\in E$ для любого скаляра $c$ удовлетворяющий $|c|\leq r.$
• сбалансированный или обведенный : если $tE\subseteq E$ для каждого скаляра $|t|\leq 1.$
• выпуклый : если $tE+(1-t)E\subseteq E$ для каждого настоящего $0\leq t\leq 1.$
• диск абсолютно или выпуклый : если $E$ выпуклая и сбалансированная.
• симметричный : если $-E\subseteq E,$ или эквивалентно, если $-E=E.$

Каждая окрестность начала координат является поглощающим множеством и содержит открытую сбалансированную окрестность $0$ поэтому каждое топологическое векторное пространство имеет локальную базу поглощающих и сбалансированных множеств . В начале координат даже имеется базис окрестности, состоящий из замкнутых сбалансированных окрестностей $0;$ если пространство локально выпуклое , то оно также имеет базис окрестностей, состоящий из замкнутых выпуклых сбалансированных окрестностей начала координат.

Ограниченные подмножества

Подмножество $E$ топологического векторного пространства $X$ ограничен ​ если для каждого района $V$ происхождения существует $t$ такой, что $E\subseteq tV$.

Определение ограниченности можно несколько ослабить; $E$ ограничено тогда и только тогда, когда ограничено каждое его счетное подмножество. Множество ограничено тогда и только тогда, когда каждая его подпоследовательность является ограниченным множеством. Также, $E$ ограничен тогда и только тогда, когда для каждой сбалансированной окрестности $V$ происхождения, существует $t$ такой, что $E\subseteq tV.$ Более того, когда $X$ локально выпукло, ограниченность можно охарактеризовать полунормами : подмножество $E$ ограничена тогда и только тогда, когда каждая непрерывная полунорма $p$ ограничен $E.$

Всякое вполне ограниченное множество ограничено. Если $M$ является векторным подпространством TVS $X,$ тогда подмножество $M$ ограничен $M$ тогда и только тогда, когда оно ограничено $X.$

метризуемость

Теорема Биркгофа – Какутани — Если $(X,\tau )$ является топологическим векторным пространством, то следующие четыре условия эквивалентны:

1. Происхождение $\{0\}$ закрыт в $X$ и существует счетный базис окрестностей в начале координат в $X.$
2. $(X,\tau )$ метризуемо ( как топологическое пространство).
3. Существует трансляционно-инвариантная метрика на $X$ что вызывает $X$ топология $\tau ,$ которая представляет собой данную топологию на $X.$
4. $(X,\tau )$ — метризуемое топологическое векторное пространство .

По теореме Биркгофа–Какутани следует, что существует эквивалентная метрика , которая является трансляционно-инвариантной.

TVS псевдометризуем тогда и только тогда, когда он имеет счетный базис окрестностей в начале координат или эквивалентен ему тогда и только тогда, когда его топология порождается F -полунормой . ТВС метризуема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и псевдометризуема.

Более строго: топологическое векторное пространство называется нормируемым, если его топология может быть индуцирована нормой. Топологическое векторное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и имеет выпуклую ограниченную окрестность начала координат.

Позволять $\mathbb {K}$ быть недискретным локально компактным топологическим полем, например вещественных или комплексных чисел. векторное пространство Хаусдорфа Топологическое над $\mathbb {K}$ локально компактен тогда и только тогда, когда он конечномерен , т. е. изоморфен $\mathbb {K} ^{n}$ для некоторого натурального числа $n.$

Полнота и единая структура

Основная статья: Полное топологическое векторное пространство

Каноническое единообразие на ТВС $(X,\tau )$ - это уникальная трансляционно-инвариантная однородность , которая индуцирует топологию $\tau$ на $X.$

Предполагается, что каждая ТВС наделена этой канонической однородностью, которая превращает все ТВС в однородные пространства . Это позволяет говорить о связанных понятиях, таких как полнота , равномерная сходимость , сети Коши, равномерная непрерывность и т. д., которые всегда предполагаются относительно этой однородности (если не указано иное). Это означает, что каждое топологическое векторное пространство Хаусдорфа является тихоновским . Подмножество ТВС компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено (для хаусдорфовых ТВС вполне ограниченное множество эквивалентно тому, что оно предкомпактно ). Но если TVS не хаусдорфово, то существуют незамкнутые компактные подмножества. Однако замыкание компактного подмножества нехаусдорфовой TVS снова компактно (поэтому компактные подмножества относительно компактны ).

С учетом этой однородности сеть (или последовательность ) $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ является Коши тогда и только тогда, когда для каждой окрестности $V$ из $0,$ существует некоторый индекс $n$ такой, что $x_{i}-x_{j}\in V$ в любое время $i\geq n$ и $j\geq n.$

Любая последовательность Коши ограничена, хотя сети Коши и фильтры Коши могут быть не ограничены. Топологическое векторное пространство, в котором сходится каждая последовательность Коши, называется секвенциально полным ; вообще говоря, оно может быть не полным (в том смысле, что все фильтры Коши сходятся).

Операция сложения в векторном пространстве равномерно непрерывна и представляет собой открытое отображение . Скалярное умножение является непрерывным по Коши, но, вообще говоря, оно почти никогда не бывает равномерно непрерывным. Из-за этого каждое топологическое векторное пространство может быть полным и, таким образом, является плотным линейным подпространством полного топологического векторного пространства .

• Любая TVS имеет пополнение , а каждая TVS Хаусдорфа имеет пополнение Хаусдорфа. Каждая ТВС (даже хаусдорфова и/или полная) имеет бесконечное количество неизоморфных нехаусдорфовых пополнений.
• Компактное подмножество ТВС (не обязательно Хаусдорфа) полно. Полное подмножество хаусдорфовой ТВС замкнуто.
• Если $C$ является полным подмножеством TVS, то любое подмножество TVS $C$ который закрыт в $C$ завершен.
• Последовательность Коши в ТВС Хаусдорфа $X$ не обязательно относительно компактен (т. е. его замыкание в $X$ не обязательно компактен).
• Если фильтр Коши в ТВС имеет точку накопления $x$ тогда он сходится к $x.$
• Если сериал ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ сходится в ТВС $X$ затем $x_{\bullet }\to 0$ в $X.$

Примеры

Самая тонкая и самая грубая векторная топология

Позволять $X$ быть вещественным или комплексным векторным пространством.

Тривиальная топология

Тривиальная топология или недискретная топология $\{X,\varnothing \}$ всегда является топологией TVS в любом векторном пространстве. $X$ и это самая грубая из возможных топологий TVS. Важным следствием этого является то, что пересечение любого набора топологий TVS на $X$ всегда содержит топологию TVS. Любое векторное пространство (в том числе бесконечномерное), наделенное тривиальной топологией, является компактным (и, следовательно, локально компактным ) полным псевдометризуемым полунормируемым локально выпуклым топологическим векторным пространством. Хаусдорф когда тогда и только тогда, $\dim X=0.$

Тончайшая векторная топология

Существует топология TVS $\tau _{f}$ на $X,$ назвал тончайшая векторная топология на $X,$ это лучше, чем любая другая TVS-топология на $X$ (то есть любая TVS-топология на $X$ обязательно является подмножеством $\tau _{f}$). Любая линейная карта из $\left(X,\tau _{f}\right)$ в другую TVS обязательно непрерывна. Если $X$ имеет несчетный базис Гамеля , тогда $\tau _{f}$ не не выпукло и метризуемо локально .

Декартовы произведения

Декартово произведение семейства топологических векторных пространств, наделенное топологией произведения , является топологическим векторным пространством. Рассмотрим, например, набор $X$ всех функций $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ где $\mathbb {R}$ несет свою обычную евклидову топологию . Этот набор $X$ - это действительное векторное пространство (где сложение и скалярное умножение, как обычно, определяются поточечно), которое можно отождествить (и действительно часто определяют как) с декартовым произведением $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} },,$ который несет в себе топологию натурального продукта . Благодаря такой топологии продукта $X:=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ становится топологическим векторным пространством, топология которого называется топологией поточечной сходимости на $\mathbb {R} .$ Причина такого названия следующая: если $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность (или, в более общем смысле, сеть ) элементов в $X$ и если $f\in X$ затем $f_{n}$ сходится к $f$ в $X$ тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа $x,$ $f_{n}(x)$ сходится к $f(x)$ в $\mathbb {R} .$ Эта ТВС полная , хаусдорфова и локально выпуклая, но не метризуемая и, следовательно, не нормируемая ; действительно, каждая окрестность начала координат в топологии произведения содержит линии (то есть одномерные векторные подпространства, которые являются подмножествами вида $\mathbb {R} f:=\{rf:r\in \mathbb {R} \}$ с $f\neq 0$).

Конечномерные пространства

По теореме Ф. Рисса топологическое векторное пространство Хаусдорфа конечномерно тогда и только тогда, когда оно локально компактно , что происходит тогда и только тогда, когда оно имеет компактную окрестность начала координат.

Позволять $\mathbb {K}$ обозначать $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ и наделить $\mathbb {K}$ со своей обычной хаусдорфовой нормированной евклидовой топологией . Позволять $X$ быть векторным пространством над $\mathbb {K}$ конечного размера $n:=\dim X$ и так что $X$ векторное пространство изоморфно $\mathbb {K} ^{n}$ (явно это означает, что существует линейный изоморфизм между векторными пространствами $X$ и $\mathbb {K} ^{n}$). Это конечномерное векторное пространство $X$ всегда имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа , что делает его TVS-изоморфным $\mathbb {K} ^{n},$ где $\mathbb {K} ^{n}$ наделен обычной евклидовой топологией (которая совпадает с топологией произведения ). Эта векторная топология Хаусдорфа также является (уникальной) лучшей векторной топологией на $X.$ $X$ имеет уникальную векторную топологию тогда и только тогда, когда $\dim X=0.$ Если $\dim X\neq 0$ тогда хотя $X$ не имеет уникальной векторной топологии, он имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа .

• Если $\dim X=0$ затем $X=\{0\}$ имеет ровно одну векторную топологию: тривиальную топологию , которая в этом случае (и только в этом случае) является хаусдорфовой. Тривиальная топология векторного пространства является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда векторное пространство имеет размерность $0.$
• Если $\dim X=1$ затем $X$ имеет две векторные топологии: обычную евклидову топологию и (нехаусдорфову) тривиальную топологию.
  • Поскольку поле $\mathbb {K}$ сам по себе является $1$-мерное топологическое векторное пространство над $\mathbb {K}$ и поскольку она играет важную роль в определении топологических векторных пространств, эта дихотомия играет важную роль в определении поглощающего множества и имеет последствия, которые отражаются на протяжении всего функционального анализа .

Схема доказательства

Доказательство этой дихотомии (т.е. того, что векторная топология либо тривиальна, либо изоморфна $\mathbb {K}$) является простым, поэтому дается только схема с важными наблюдениями. По-прежнему, $\mathbb {K}$ Предполагается, что они имеют (нормированную) евклидову топологию. Позволять $B_{r}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}$ для всех $r>0.$ Позволять $X$ быть $1$-мерное векторное пространство над $\mathbb {K} .$ Если $S\subseteq X$ и $B\subseteq \mathbb {K}$ это шар с центром в $0$ затем $B\cdot S=X$ в любое время $S$ содержит «неограниченную последовательность», под которой подразумевается последовательность вида $\left(a_{i}x\right)_{i=1}^{\infty }$ где $0\neq x\in X$ и $\left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathbb {K}$ неограничен в нормированном пространстве $\mathbb {K}$ (в обычном понимании). Любая векторная топология на $X$ будет трансляционно-инвариантным и инвариантным относительно ненулевого скалярного умножения, и для каждого $0\neq x\in X,$ карта $M_{x}:\mathbb {K} \to X$ данный $M_{x}(a):=ax$ является непрерывной линейной биекцией. Потому что $X=\mathbb {K} x$ для любого такого $x,$ каждое подмножество $X$ можно записать как $Fx=M_{x}(F)$ для некоторого уникального подмножества $F\subseteq \mathbb {K} .$ И если эта векторная топология на $X$ есть район $W$ происхождения, который не равен всем $X,$ тогда непрерывность скалярного умножения $\mathbb {K} \times X\to X$ в начале координат гарантирует существование открытого шара $B_{r}\subseteq \mathbb {K}$ сосредоточено в $0$ и открытый район $S$ происхождения в $X$ такой, что $B_{r}\cdot S\subseteq W\neq X,$ что подразумевает, что $S$ не . содержит никакой «неограниченной последовательности» Это означает, что для каждого $0\neq x\in X,$ существует некоторое положительное целое число $n$ такой, что $S\subseteq B_{n}x.$ Из этого можно сделать вывод, что если $X$ не несет тривиальной топологии, и если $0\neq x\in X,$ тогда для любого шара $B\subseteq \mathbb {K}$ центр на 0 дюймов $\mathbb {K} ,$ $M_{x}(B)=Bx$ содержит открытую окрестность начала координат в $X,$ что затем доказывает, что $M_{x}$ является линейным гомеоморфизмом . КЭД $\blacksquare$

• Если $\dim X=n\geq 2$ затем $X$ имеет бесконечно много различных векторных топологий:
  • Некоторые из этих топологий теперь описаны: Каждый линейный функционал $f$ на $X,$ которое является векторным пространством, изоморфным $\mathbb {K} ^{n},$ вызывает полунорму $|f|:X\to \mathbb {R}$ определяется $|f|(x)=|f(x)|$ где $\ker f=\ker |f|.$ Каждая полунорма индуцирует ( псевдометризуемую локально выпуклую ) векторную топологию на $X$ а полунормы с разными ядрами порождают различные топологии, так что, в частности, полунормы на $X$ которые индуцированы линейными функционалами с различными ядрами, будут индуцировать различные векторные топологии на $X.$
  • Однако, несмотря на то, что векторных топологий на $X$ когда $\dim X\geq 2,$ существуют с точностью до TVS-изоморфизма только $1+\dim X$ векторные топологии на $X.$ Например, если $n:=\dim X=2$ то векторные топологии на $X$ состоят из тривиальной топологии, евклидовой топологии Хаусдорфа, а затем из бесконечного числа оставшихся нетривиальных неевклидовых векторных топологий на $X$ все TVS-изоморфны друг другу.

Невекторные топологии

Дискретная и коконечная топологии

Если $X$ является нетривиальным векторным пространством (т. е. ненулевой размерности), то дискретная топология на $X$ (которая всегда метризуема ) не является топологией TVS, потому что, несмотря на то, что сложение и отрицание делаются непрерывными (что превращает ее в топологическую группу при сложении), она не может сделать скалярное умножение непрерывным. Кофинитная топология на $X$ (где подмножество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение конечно) также не является топологией TVS на $X.$

Линейные карты

Линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами, непрерывный в одной точке, непрерывен во всей области. Более того, линейный оператор $f$ является непрерывным, если $f(X)$ ограничено (как определено ниже) для некоторой окрестности $X$ происхождения.

Гиперплоскость в топологическом векторном пространстве $X$ либо плотный, либо замкнутый. Линейный функционал $f$ в топологическом векторном пространстве $X$ имеет либо плотное, либо закрытое ядро. Более того, $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда ядро ​​замкнуто его .

Типы

В зависимости от приложения на топологическую структуру пространства обычно накладываются дополнительные ограничения. Фактически, несколько основных результатов функционального анализа в целом не справедливы для топологических векторных пространств: теорема о замкнутом графике , теорема об открытом отображении и тот факт, что двойственное пространство разделяет точки в пространстве.

Ниже приведены некоторые распространенные топологические векторные пространства, примерно в порядке возрастания «красивости».

• F-пространства — это полные топологические векторные пространства с трансляционно-инвариантной метрикой. К ним относятся $L^{p}$ места для всех $p>0.$
• Локально выпуклые топологические векторные пространства : здесь каждая точка имеет локальную базу, состоящую из выпуклых множеств . С помощью метода, известного как функционалы Минковского, можно показать, что пространство локально выпукло тогда и только тогда, когда его топология может быть определена семейством полунорм. Локальная выпуклость является минимальным требованием для «геометрических» аргументов, таких как теорема Хана – Банаха . $L^{p}$ пространства локально выпуклы (фактически банаховы пространства) для всех $p\geq 1,$ но не для $0<p<1.$
• Бочковые пространства : локально выпуклые пространства, в которых справедлива теорема Банаха – Штейнхауза .
• Борнологическое пространство : локально выпуклое пространство, в котором непрерывные линейные операторы любого локально выпуклого пространства являются в точности ограниченными линейными операторами .
• Стереотипное пространство : локально выпуклое пространство, удовлетворяющее варианту условия рефлексивности , где двойственное пространство наделено топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах .
• Пространство Монтеля : бочкообразное пространство, в котором каждое замкнутое и ограниченное множество компактно .
• Пространства Фреше : это полные локально выпуклые пространства, топология которых происходит из трансляционно-инвариантной метрики или, что то же самое: из счетного семейства полунорм. В этот класс попадает много интересных пространств функций. $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ является пространством Фреше относительно полунорм ${\textstyle \|f\|_{k,\ell }=\sup _{x\in [-k,k]}|f^{(\ell )}(x)|.}$ Локально выпуклое F-пространство является пространством Фреше.
• LF-пространства являются пределами пространств Фреше . Пространства ILH являются обратными пределами гильбертовых пространств.
• Ядерные пространства : это локально выпуклые пространства, обладающие тем свойством, что каждое ограниченное отображение ядерного пространства в произвольное банахово пространство является ядерным оператором .
• Нормированные пространства и полунормированные пространства : локально выпуклые пространства, топология которых может быть описана одной нормой или полунормой . В нормированных пространствах линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
• Банаховы пространства : Полные нормированные векторные пространства . Большая часть функционального анализа сформулирована для банаховых пространств. Этот класс включает в себя $L^{p}$ пространства с $1\leq p\leq \infty ,$ пространство $BV$ функций ограниченной вариации и некоторых пространств мер.
• Рефлексивные банаховы пространства : банаховы пространства, естественно изоморфные своему двойному дуалу (см. ниже), что гарантирует возможность проведения некоторых геометрических рассуждений. Важный пример, который не является рефлексивным: $L^{1}$, двойником которого является $L^{\infty }$ но строго содержится в двойственном $L^{\infty }.$
• Гильбертовы пространства : у них есть внутренний продукт ; даже несмотря на то, что эти пространства могут быть бесконечномерными, в них можно проводить большинство геометрических рассуждений, знакомых по конечным измерениям. К ним относятся $L^{2}$ пространства, $L^{2}$ Sobolev spaces $W^{2,k},$ и пространства Харди .
• Евклидовы пространства : $\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {C} ^{n}$ с топологией, индуцированной стандартным скалярным произведением. Как указывалось в предыдущем разделе, для заданного конечного $n,$ есть только один $n$-мерное топологическое векторное пространство с точностью до изоморфизма. Отсюда следует, что любое конечномерное подпространство ТВС замкнуто. Характеризация конечномерности состоит в том, что хаусдорфова ТВС локально компактна тогда и только тогда, когда она конечномерна (следовательно, изоморфна некоторому евклидову пространству).

Двойное пространство

Основные статьи: Алгебраическое двойственное пространство , Непрерывное двойственное пространство и Сильное двойственное пространство.

Каждое топологическое векторное пространство имеет непрерывное двойственное пространство — множество $X'$ всех непрерывных линейных функционалов, т. е. непрерывных линейных отображений пространства в основное поле $\mathbb {K} .$ Топологию дуала можно определить как самую грубую топологию, такую, что при дуальном спаривании каждая точка оценивается. $X'\to \mathbb {K}$ является непрерывным. Это превращает двойственное пространство в локально выпуклое топологическое векторное пространство. Эта топология называется топологией слабого* . Возможно, это не единственная естественная топология дуального пространства; например, в двойственном нормированном пространстве определена естественная норма. Однако он очень важен в приложениях из-за своих свойств компактности (см. теорему Банаха–Алаоглу ). Внимание: всякий раз, когда $X$ — ненормируемое локально выпуклое пространство, то отображение спаривания $X'\times X\to \mathbb {K}$ никогда не является непрерывным, независимо от того, какую топологию векторного пространства вы выберете. $X'.$ Топологическое векторное пространство имеет нетривиальное непрерывное двойственное пространство тогда и только тогда, когда оно имеет собственную выпуклую окрестность начала координат.

Характеристики

Смотрите также: Локально выпуклое топологическое векторное пространство § Свойства

Для любого $S\subseteq X$ ТВС $X,$ выпуклая ( соответственно сбалансированная , дисковая выпуклая, закрытая сбалансированная, закрытая дисковая ) оболочка , закрыто - $S$ представляет собой наименьшее подмножество $X$ который обладает этим свойством и содержит $S.$ Замыкание (соответственно внутренняя, выпуклая , сбалансированная, дисковая) множества $S$ иногда обозначается $\operatorname {cl} _{X}S$ (соответственно, $\operatorname {Int} _{X}S,$ $\operatorname {co} S,$ $\operatorname {bal} S,$ $\operatorname {cobal} S$).

Выпуклая оболочка $\operatorname {co} S$ из подмножества $S$ равно множеству всех выпуклых комбинаций элементов в $S,$ которые являются конечными линейными комбинациями вида $t_{1}s_{1}+\cdots +t_{n}s_{n}$ где $n\geq 1$ является целым числом, $s_{1},\ldots ,s_{n}\in S$ и $t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0,1]$ сумма до $1.$ Пересечение любого семейства выпуклых множеств является выпуклым, а выпуклая оболочка подмножества равна пересечению всех выпуклых множеств, которые его содержат.

Соседства и открытые наборы

Свойства окрестностей и открытых множеств

Каждый телевизор подключен и локально подключен и любое связное открытое подмножество TVS связно по дуге . Если $S\subseteq X$ и $U$ является открытым подмножеством $X$ затем $S+U$ представляет собой открытый набор в $X$ и если $S\subseteq X$ имеет непустую внутреннюю часть, тогда $S-S$ является окрестностью начала координат.

Открытые выпуклые подмножества TVS $X$ (не обязательно Хаусдорфовых или локально выпуклых) — это именно те, которые имеют вид $$z+\{x\in X:p(x)<1\}~=~\{x\in X:p(x-z)<1\}$$ для некоторых $z\in X$ и некоторый положительный непрерывный сублинейный функционал $p$ на $X.$

Если $K$ представляет собой поглощающий диск в ТВС $X$ и если $p:=p_{K}$ – Минковского функционал $K$ затем $$\operatorname {Int} _{X}K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)<1\}~\subseteq ~K~\subseteq ~\{x\in X:p(x)\leq 1\}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}K$$ и, что немаловажно, не предполагалось, что $K$ не имело никаких топологических свойств, ни того, что $p$ было непрерывным (что происходит тогда и только тогда, когда $K$ является окрестностью начала координат).

Позволять $\tau$ и $\nu$ быть двумя векторными топологиями на $X.$ Затем $\tau \subseteq \nu$ тогда и только тогда, когда всякий раз, когда сеть $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ в $X$ сходится $0$ в $(X,\nu )$ затем $x_{\bullet }\to 0$ в $(X,\tau ).$

Позволять ${\mathcal {N}}$ быть базисом окрестности происхождения в $X,$ позволять $S\subseteq X,$ и пусть $x\in X.$ Затем $x\in \operatorname {cl} _{X}S$ тогда и только тогда, когда существует сеть $s_{\bullet }=\left(s_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}$ в $S$ (индексируется ${\mathcal {N}}$) такой, что $s_{\bullet }\to x$ в $X.$ Это показывает, в частности, что часто бывает достаточно рассматривать сети, индексированные по базису окрестности начала координат, а не сети на произвольных направленных множествах.

Если $X$ есть ТВС, принадлежащий самой себе второй категории (т. е. нетощее пространство ), то любое замкнутое выпуклое поглощающее подмножество $X$ является окрестностью начала координат. Это уже не гарантируется, если множество не выпукло (противопример существует даже в $X=\mathbb {R} ^{2}$) или если $X$ само по себе не относится ко второй категории.

Интерьер

Если $R,S\subseteq X$ и $S$ имеет непустую внутреннюю часть, тогда $$\operatorname {Int} _{X}S~=~\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}S\right)$$и $$\operatorname {Int} _{X}(R)+\operatorname {Int} _{X}(S)~\subseteq ~R+\operatorname {Int} _{X}S\subseteq \operatorname {Int} _{X}(R+S).$$

Топологическая внутренность диска . не пуста тогда и только тогда, когда эта внутренность содержит начало координат В более общем смысле, если $S$ представляет собой сбалансированный набор с непустым интерьером $\operatorname {Int} _{X}S\neq \varnothing$ в ТВС $X$ затем $\{0\}\cup \operatorname {Int} _{X}S$ обязательно будет сбалансированным; следовательно, $\operatorname {Int} _{X}S$ будет сбалансированным тогда и только тогда, когда оно содержит начало координат. Для этого (т. $0\in \operatorname {Int} _{X}S$), правда, этого достаточно для $S$ быть еще и выпуклым (помимо уравновешенности и непустой внутренней части); Заключение $0\in \operatorname {Int} _{X}S$ может быть ложным, если $S$ не является также выпуклым; например, в $X:=\mathbb {R} ^{2},$ интерьер закрытого и сбалансированного набора $S:=\{(x,y):xy\geq 0\}$ является $\{(x,y):xy>0\}.$

Если $C$ является выпуклым и $0<t\leq 1,$ затем $t\operatorname {Int} C+(1-t)\operatorname {cl} C~\subseteq ~\operatorname {Int} C.$ В явном виде это означает, что если $C$ является выпуклым подмножеством TVS $X$ (не обязательно Хаусдорф или локально выпуклый), $y\in \operatorname {int} _{X}C,$ и $x\in \operatorname {cl} _{X}C$ затем сегмент открытой линии, соединяющийся $x$ и $y$ принадлежит внутренней части $C;$ то есть, $\{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq \operatorname {int} _{X}C.$

Если $N\subseteq X$ – это любая сбалансированная окрестность начала координат в $X$ затем ${\textstyle \operatorname {Int} _{X}N\subseteq B_{1}N=\bigcup _{0<|a|<1}aN\subseteq N}$ где $B_{1}$ это набор всех скаляров $a$ такой, что $|a|<1.$

Если $x$ принадлежит внутренности выпуклого множества $S\subseteq X$ и $y\in \operatorname {cl} _{X}S,$ затем полуоткрытый отрезок $$[x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\leq 1\}\subseteq \operatorname {Int} _{X}{\text{ if }}x\neq y$$ и $$[x,x)=\varnothing {\text{ if }}x=y.$$ Если $N$ является сбалансированным соседством $0$ в $X$ и $B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\},$ затем, рассматривая пересечения вида $N\cap \mathbb {R} x$ (которые являются выпуклыми симметричными окрестностями $0$ в настоящем ТВС $\mathbb {R} x$) отсюда следует, что: $\operatorname {Int} N=[0,1)\operatorname {Int} N=(-1,1)N=B_{1}N,$ и более того, если $x\in \operatorname {Int} N{\text{ and }}r:=\sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}$ затем $r>1{\text{ and }}[0,r)x\subseteq \operatorname {Int} N,$ и если $r\neq \infty$ затем $rx\in \operatorname {cl} N\setminus \operatorname {Int} N.$

Нехаусдорфовые пространства и замыкание начала координат.

Топологическое векторное пространство $X$ является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда $\{0\}$ является закрытым подмножеством $X,$ или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $\{0\}=\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$ Потому что $\{0\}$ является векторным подпространством $X,$ то же самое относится и к его закрытию $\operatorname {cl} _{X}\{0\},$ что называется закрытием начала координат в $X.$ Это векторное пространство удовлетворяет $$\operatorname {cl} _{X}\{0\}=\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}(0)}N$$ так что, в частности, каждая окрестность начала координат в $X$ содержит векторное пространство $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ как подмножество. Топология подпространства на $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ всегда является тривиальной топологией , из чего, в частности, следует, что топологическое векторное пространство $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ компактное пространство (даже если его размерность отлична от нуля или даже бесконечна) и, следовательно, также ограниченное подмножество $X.$ Фактически векторное подпространство ТВС ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится в замыкании $\{0\}.$ Каждое подмножество $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ также несет тривиальную топологию и поэтому само является компактным и, следовательно, полным подпространством (доказательство см. в сноске). В частности, если $X$ не является Хаусдорфом, то существуют подмножества, которые одновременно компактны и полны , но не замкнуты в $X$; например, это будет верно для любого непустого собственного подмножества $\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$

Если $S\subseteq X$ компактен, то $\operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ и этот набор компактен. Таким образом, замыкание компактного подмножества ТВС компактно (иными словами, все компакты относительно компактны ), что не гарантируется для произвольных нехаусдорфовых топологических пространств .

Для каждого подмножества $S\subseteq X,$ $$S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$$ и, следовательно, если $S\subseteq X$ открыт или закрыт в $X$ затем $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}=S$ (так что эти произвольные открытые или закрытые подмножества $S$ можно описать как «трубку», вертикальная сторона которой представляет собой векторное пространство. $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$). Для любого подмножества $S\subseteq X$ этого ТВС $X,$ следующие эквивалентны:

• $S$ ограничен полностью .
• $S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ полностью ограничен.
• $\operatorname {cl} _{X}S$ полностью ограничен.
• Изображение, если $S$ под каноническим фактор-отображением $X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})$ полностью ограничен.

Если $M$ является векторным подпространством TVS $X$ затем $X/M$ является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда $M$ закрыт в $X.$ Более того, фактор-отображение $q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ всегда является замкнутым отображением на (необходимо) Хаусдорфовую TVS.

Каждое векторное подпространство $X$ это алгебраическое дополнение $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ (то есть векторное подпространство $H$ это удовлетворяет $\{0\}=H\cap \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ и $X=H+\operatorname {cl} _{X}\{0\}$) является топологическим дополнением $\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$ Следовательно, если $H$ является алгебраическим дополнением $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ в $X$ затем карта сложения $H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}\to X,$ определяется $(h,n)\mapsto h+n$ является TVS-изоморфизмом, где $H$ обязательно является Хаусдорфом и $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ имеет недискретную топологию . Более того, если $C$ хаусдорфовым пополнением является $H$ затем $C\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}$ является завершением $X\cong H\times \operatorname {cl} _{X}\{0\}.$

Закрытые и компактные наборы

Компактные и вполне ограниченные множества.

Подмножество ТВС компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено . Таким образом, в полном топологическом векторном пространстве замкнутое и вполне ограниченное подмножество компактно. Подмножество $S$ ТВС $X$ тогда вполне ограничен и только тогда, когда $\operatorname {cl} _{X}S$ полностью ограничен, тогда и только тогда, когда его образ при каноническом факторотображении $$X\to X/\operatorname {cl} _{X}(\{0\})$$ полностью ограничен.

Всякое относительно компактное множество вполне ограничено. и замыкание вполне ограниченного множества вполне ограничено. Образ вполне ограниченного множества при равномерно непрерывном отображении (например, непрерывном линейном отображении) вполне ограничен. Если $S$ это подмножество TVS $X$ такая, что каждая последовательность в $S$ имеет точку кластера в $S$ затем $S$ полностью ограничен.

Если $K$ является компактным подмножеством TVS $X$ и $U$ является открытым подмножеством $X$ содержащий $K,$ тогда существует окрестность $N$ из 0 такой, что $K+N\subseteq U.$

Закрытие и закрытый набор

Тем же свойством обладает замыкание любого выпуклого (соответственно любого сбалансированного, любого поглощающего) подмножества любой ТВС. В частности, замыканием любого выпуклого, сбалансированного и поглощающего подмножества является бочка .

Замыкание векторного подпространства ТВС является векторным подпространством. Каждое конечномерное векторное подпространство хаусдорфовой ТВС замкнуто. Сумма замкнутого векторного подпространства и конечномерного векторного подпространства замкнута. Если $M$ является векторным подпространством $X$ и $N$ является замкнутой окрестностью начала координат в $X$ такой, что $U\cap N$ закрыт в $X$ затем $M$ закрыт в $X.$ Сумма компакта и замкнутого множества замкнута. Однако сумма двух закрытых подмножеств может оказаться не замкнутой. (см. эту сноску для примеров).

Если $S\subseteq X$ и $a$ тогда это скаляр $$a\operatorname {cl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}(aS),$$ где если $X$ это Хаусдорф, $a\neq 0,{\text{ or }}S=\varnothing$ тогда имеет место равенство: $\operatorname {cl} _{X}(aS)=a\operatorname {cl} _{X}S.$ В частности, каждое ненулевое скалярное кратное замкнутого множества замкнуто. Если $S\subseteq X$ и если $A$ представляет собой набор скаляров, таких что ни $\operatorname {cl} S{\text{ nor }}\operatorname {cl} A$ содержать ноль, тогда $\left(\operatorname {cl} A\right)\left(\operatorname {cl} _{X}S\right)=\operatorname {cl} _{X}(AS).$

Если $S\subseteq X{\text{ and }}S+S\subseteq 2\operatorname {cl} _{X}S$ затем $\operatorname {cl} _{X}S$ является выпуклым.

Если $R,S\subseteq X$ затем $$\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}(R+S)~{\text{ and }}~\operatorname {cl} _{X}\left[\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S)\right]~=~\operatorname {cl} _{X}(R+S)$$ и, следовательно, если $R+S$ закрыто, значит, так и есть $\operatorname {cl} _{X}(R)+\operatorname {cl} _{X}(S).$

Если $X$ это настоящий ТВС и $S\subseteq X,$ затем $$\bigcap _{r>1}rS\subseteq \operatorname {cl} _{X}S$$ где левая часть не зависит от топологии на $X;$ более того, если $S$ является выпуклой окрестностью начала координат, то имеет место равенство.

Для любого подмножества $S\subseteq X,$ $$\operatorname {cl} _{X}S~=~\bigcap _{N\in {\mathcal {N}}}(S+N)$$ где ${\mathcal {N}}$ — любой базис окрестности в начале координат для $X.$ Однако, $$\operatorname {cl} _{X}U~\supseteq ~\bigcap \{U:S\subseteq U,U{\text{ is open in }}X\}$$ и вполне возможно, что это сдерживание будет правильным (например, если $X=\mathbb {R}$ и $S$ – рациональные числа). Отсюда следует, что $\operatorname {cl} _{X}U\subseteq U+U$ для каждого района $U$ происхождения в $X.$

Закрытые корпуса

В локально-выпуклом пространстве ограничены выпуклые оболочки ограниченных множеств. Это не относится к ТВС в целом.

• Замкнутая выпуклая оболочка множества равна замыканию выпуклой оболочки этого множества; то есть равный $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).$
• Закрытая сбалансированная оболочка множества равна замыканию сбалансированной оболочки этого множества; то есть равный $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {bal} S).$
• Закрытая дисковая оболочка набора равна замыканию дисковой оболочки этого набора; то есть равный $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {cobal} S).$

Если $R,S\subseteq X$ и замкнутая выпуклая оболочка одного из множеств $S$ или $R$ тогда компактен $$\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R+S))~=~\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)+\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S).$$ Если $R,S\subseteq X$ каждый из них имеет замкнутую выпуклую компактную оболочку (т. е. $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)$ и $\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)$ компактны), то $$\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} (R\cup S))~=~\operatorname {co} \left[\operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} R)\cup \operatorname {cl} _{X}(\operatorname {co} S)\right].$$

Корпуса и компактность

В общей ТВС замкнутая выпуклая оболочка компакта может не быть компактной. сбалансированная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного ) множества. Тем же свойством обладает Выпуклая оболочка конечного объединения выпуклых компактов снова компактна и выпукла.

Другие объекты недвижимости

Скудный, нигде не густой и Бэр

Диск тогда и только тогда , в TVS не является нигде плотным когда его замыкание является окрестностью начала координат. Закрытое, но не открытое векторное подпространство ТВС нигде не является плотным .

Предполагать $X$ это TVS, который не несет недискретной топологии . Затем $X$ является пространством Бэра тогда и только тогда, когда $X$ не имеет сбалансированного поглощающего нигде плотного подмножества.

ТВС $X$ является пространством Бэра тогда и только тогда, когда $X$ нетощее . , что происходит тогда и только тогда, когда не существует нигде не плотного множества $D$ такой, что ${\textstyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nD.}$ Всякое нескудное локально выпуклое TVS представляет собой бочкообразное пространство .

Важные алгебраические факты и распространенные заблуждения

Если $S\subseteq X$ затем $2S\subseteq S+S$; если $S$ выпукло, то имеет место равенство. В качестве примера, когда равенство не выполняется, пусть $x$ быть ненулевым и установить $S=\{-x,x\};$ $S=\{x,2x\}$ тоже работает.

Подмножество $C$ выпукло тогда и только тогда, когда $(s+t)C=sC+tC$ за все позитивное настоящее $s>0{\text{ and }}t>0,$ или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $tC+(1-t)C\subseteq C$ для всех $0\leq t\leq 1.$

Выпуклая сбалансированная оболочка набора $S\subseteq X$ равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки $S;$ то есть оно равно $\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).$ Но в целом, $$\operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),$$ где включение может быть строгим, поскольку сбалансированная оболочка выпуклого множества не обязательно должна быть выпуклой (контрпримеры существуют даже в $\mathbb {R} ^{2}$).

Если $R,S\subseteq X$ и $a$ тогда это скаляр $$a(R+S)=aR+aS,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (R+S)=\operatorname {co} R+\operatorname {co} S,~{\text{ and }}~\operatorname {co} (aS)=a\operatorname {co} S.$$ Если $R,S\subseteq X$ являются выпуклыми непустыми непересекающимися множествами и $x\not \in R\cup S,$ затем $S\cap \operatorname {co} (R\cup \{x\})=\varnothing$ или $R\cap \operatorname {co} (S\cup \{x\})=\varnothing .$

В любом нетривиальном векторном пространстве $X,$ существуют два непересекающихся непустых выпуклых подмножества, объединение которых есть $X.$

Другие объекты недвижимости

Любая TVS-топология может быть порождена семейством полунорм F - .

Если $P(x)$ — это некоторый унарный предикат (истинное или ложное утверждение, зависящее от $x\in X$) тогда для любого $z\in X,$ $z+\{x\in X:P(x)\}=\{x\in X:P(x-z)\}.$ Так, например, если $P(x)$ обозначает " $\|x\|<1$"тогда для любого $z\in X,$ $z+\{x\in X:\|x\|<1\}=\{x\in X:\|x-z\|<1\}.$ Аналогично, если $s\neq 0$ тогда это скаляр $s\{x\in X:P(x)\}=\left\{x\in X:P\left({\tfrac {1}{s}}x\right)\right\}.$ Элементы $x\in X$ этих наборов должны располагаться в векторном пространстве (т. е. в пределах $X$), а не просто подмножество, иначе эти равенства больше не гарантируются; сходным образом, $z$ должен принадлежать этому векторному пространству (т. е. $z\in X$).

Свойства, сохраняемые операторами множества

• сбалансированная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного , открытого) множества. Тем же свойством обладает
• Тем же свойством обладает сумма (Минковского) двух компактных (соответственно ограниченных, уравновешенных, выпуклых) множеств. Но сумма двух замкнутых множеств не обязательно должна быть замкнутой.
• Выпуклая оболочка сбалансированного (соответственно открытого) множества уравновешена (соответственно открыта). Однако выпуклая оболочка замкнутого множества не обязательно должна быть замкнутой. А выпуклая оболочка ограниченного множества не обязательно должна быть ограниченной.

В следующей таблице цвет каждой ячейки указывает, является ли данное свойство подмножества $X$ (обозначаемое именем столбца, например, «выпуклый») сохраняется под оператором установки (обозначаемым именем строки, например, «замыкание»). Если в каждом TVS свойство сохраняется под указанным оператором множества, то эта ячейка будет окрашена в зеленый цвет; в противном случае он будет окрашен в красный цвет.

Так, например, поскольку объединение двух поглощающих множеств снова является поглощающим, ячейка в строке " $R\cup S$", а столбец "Поглощающие" окрашен в зеленый цвет. Но поскольку произвольное пересечение поглощающих множеств не обязательно должно быть поглощающим, ячейка в строке "Произвольные пересечения (не менее 1 набора)" и столбце "Поглощающие" окрашивается в красный цвет. Если ячейка не окрашен, то эта информация еще не заполнена.

Свойства, сохраняемые операторами множества show

Operation	Property of $R,$ $S,$ and any other subsets of $X$ that is considered
	Absorbing	Balanced	Convex	Symmetric	Convex Balanced	Vector subspace	Open	Neighborhood of 0	Closed	Closed Balanced	Closed Convex	Closed Convex Balanced	Barrel	Closed Vector subspace	Totally bounded	Compact	Compact Convex	Relatively compact	Complete	Sequentially Complete	Banach disk	Bounded	Bornivorous	Infrabornivorous	Nowhere dense (in $X$)	Meager	Separable	Pseudometrizable	Operation
$R\cup S$																													$R\cup S$
$\cup$ of increasing nonempty chain																													$\cup$ of increasing nonempty chain
Arbitrary unions (of at least 1 set)																													Arbitrary unions (of at least 1 set)
$R\cap S$																													$R\cap S$
$\cap$ of decreasing nonempty chain																													$\cap$ of decreasing nonempty chain
Arbitrary intersections (of at least 1 set)																													Arbitrary intersections (of at least 1 set)
$R+S$																													$R+S$
Scalar multiple																													Scalar multiple
Non-0 scalar multiple																													Non-0 scalar multiple
Positive scalar multiple																													Positive scalar multiple
Closure																													Closure
Interior																													Interior
Balanced core																													Balanced core
Balanced hull																													Balanced hull
Convex hull																													Convex hull
Convex balanced hull																													Convex balanced hull
Closed balanced hull																													Closed balanced hull
Closed convex hull																													Closed convex hull
Closed convex balanced hull																													Closed convex balanced hull
Linear span																													Linear span
Pre-image under a continuous linear map																													Pre-image under a continuous linear map
Image under a continuous linear map																													Image under a continuous linear map
Image under a continuous linear surjection																													Image under a continuous linear surjection
Non-empty subset of $R$																													Non-empty subset of $R$
Operation	Absorbing	Balanced	Convex	Symmetric	Convex Balanced	Vector subspace	Open	Neighborhood of 0	Closed	Closed Balanced	Closed Convex	Closed Convex Balanced	Barrel	Closed Vector subspace	Totally bounded	Compact	Compact Convex	Relatively compact	Complete	Sequentially Complete	Banach disk	Bounded	Bornivorous	Infrabornivorous	Nowhere dense (in $X$)	Meager	Separable	Pseudometrizable	Operation

См. также

• Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство.
• Полное поле — алгебраическая структура, полная относительно метрики. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Гильбертово пространство - тип топологического векторного пространства.
• Жидкое векторное пространство - концепция сокращенной математики
• Нормированное пространство — векторное пространство, в котором определяется расстояние. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Локально компактное поле
• Локально компактная группа - топологическая группа, для которой базовая топология является локально компактной и хаусдорфовой, так что можно определить меру Хаара. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Локально компактная квантовая группа – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группам. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Топологическая абелева группа - топологическая группа, группа которой является абелевой. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическое поле — алгебраическая структура со сложением, умножением и делением. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Топологическая группа - Группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
• Топологический модуль
• Топологическое кольцо – кольцо, в котором операции кольца непрерывны. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическая полугруппа - полугруппа с непрерывной работой. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическая векторная решетка

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .

Дальнейшее чтение

• Бирштедт, Клаус-Дитер (1988). «Введение в локально выпуклые индуктивные пределы» . Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek: 35–133 . Проверено 20 сентября 2020 г.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN  978-0-471-60848-6 . OCLC   18412261 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли по математике. Том. 1. Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN  978-0201029857 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основные принципы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90400-9 . OCLC   180577972 .
• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс – Лондон – Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN  0-201-04166-9 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вальдивия, Мануэль (1982). Нахбин, Леопольдо (ред.). Темы в локально выпуклых пространствах . Том. 67. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Elsevier Научный паб компании . ISBN  978-0-08-087178-3 . OCLC   316568534 .
• Фойгт, Юрген (2020). Курс топологических векторных пространств . Компактные учебники по математике. Чам: Биркхойзер Базель . ISBN  978-3-030-32945-7 . OCLC   1145563701 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с топологическими векторными пространствами, на Викискладе?