Коши-непрерывная функция

В математике непрерывная по Коши или регулярная по Коши функция — это особый вид непрерывной функции между метрическими пространствами (или более общими пространствами). Непрерывные по Коши функции обладают тем полезным свойством, что их всегда можно (единственным образом) расширить до пополнения Коши своей области определения.

Определение

Позволять $X$ и $Y$ — метрические пространства , и пусть $f:X\to Y$ быть функцией от $X$ к $Y.$ Затем $f$ является непрерывным по Коши тогда и только тогда, когда для любой последовательности Коши $\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)$ в $X,$ последовательность $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),\ldots \right)$ является последовательностью Коши в $Y.$

Характеристики

Любая равномерно непрерывная функция также непрерывна по Коши. И наоборот, если домен $X$ , вполне ограничена то любая непрерывная по Коши функция равномерно непрерывна. В более общем плане, даже если $X$ не вполне ограничена, функция на $X$ является непрерывным по Коши тогда и только тогда, когда оно равномерно непрерывно на каждом вполне ограниченном подмножестве $X.$

Любая непрерывная по Коши функция непрерывна . И наоборот, если домен $X$ полна , то каждая непрерывная функция непрерывна по Коши. В более общем плане, даже если $X$ не является полным, пока $Y$ полная, то любая непрерывная по Коши функция из $X$ к $Y$ может быть расширена до непрерывной (и, следовательно, непрерывной по Коши) функции, определенной на Коши пополнении $X;$ это расширение обязательно уникально.

Объединив эти факты, если $X$ компактно , то непрерывные отображения, непрерывные по Коши отображения и равномерно непрерывные отображения на $X$ все одинаковы.

Примеры и не примеры

Поскольку реальная линия $\mathbb {R}$ полна, непрерывна функция на $\mathbb {R}$ непрерывны по Коши. В подпространстве $\mathbb {Q}$ Однако с рациональными числами дело обстоит иначе. Например, определите двузначную функцию так, чтобы $f(x)$ является $0$ когда $x^{2}$ меньше, чем $2$ но $1$ когда $x^{2}$ больше, чем $2.$ (Обратите внимание, что $x^{2}$ никогда не равен $2$ для любого рационального числа $x.$) Эта функция непрерывна $\mathbb {Q}$ но не непрерывным по Коши, так как его нельзя непрерывно продолжить на $\mathbb {R} .$ С другой стороны, любая равномерно непрерывная функция на $\mathbb {Q}$ должно быть непрерывным по Коши. Для неоднородного примера на $\mathbb {Q} ,$ позволять $f(x)$ быть $2^{x}$; оно не является равномерно непрерывным (на всех $\mathbb {Q}$), но оно непрерывно по Коши. (Этот пример одинаково хорошо работает на $\mathbb {R} .$)

Последовательность Коши $\left(y_{1},y_{2},\ldots \right)$ в $Y$ можно отождествить с непрерывной по Коши функцией из $\left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}$ к $Y,$ определяется $f\left(1/n\right)=y_{n}.$ Если $Y$ завершено, то это можно расширить до $\left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\};$ $f(x)$ будет пределом последовательности Коши.

Обобщения

Непрерывность Коши имеет смысл в ситуациях более общих, чем метрические пространства, но тогда необходимо перейти от последовательностей к сетям (или, что то же самое, к фильтрам ). Приведенное выше определение применимо, если последовательность Коши $\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)$ заменяется произвольной сетью Коши . Эквивалентно, функция $f$ является непрерывным по Коши тогда и только тогда, когда для любого фильтра Коши ${\mathcal {F}}$ на $X,$ затем $f({\mathcal {F}})$ представляет собой фильтр Коши, основанный на $Y.$ Это определение согласуется с приведенным выше для метрических пространств, но оно также работает для равномерных пространств и, в большинстве случаев, для пространств Коши .

Любой направленный набор $A$ можно превратить в пространство Коши. Тогда, учитывая любое пространство $Y,$ сети Коши в $Y$ индексируется $A$ такие же, как непрерывные по Коши функции из $A$ к $Y.$ Если $Y$ завершено, то расширение функции до $A\cup \{\infty \}$ даст значение предела сети. (Это обобщает приведенный выше пример последовательностей, где 0 следует интерпретировать как ${\frac {1}{\infty }}.$)

См. также

• Пространство Коши - Концепция общей топологии и анализа
• Теорема Гейне – Кантора

Ссылки

• Ева Лоуэн-Колбундерс (1989). Классы функций непрерывных отображений Коши . Деккер, Нью-Йорк.