Критерий нормируемости Колмогорова

В математике это критерий нормируемости Колмогорова теорема , которая обеспечивает необходимое и достаточное условие топологического векторного пространства нормируемости — ; т. е. для существования нормы в пространстве, порождающей данную топологию . Критерий нормируемости можно рассматривать как результат, аналогичный теореме о метризации Нагаты-Смирнова и теореме о метризации Бинга которые дают необходимое и достаточное условие топологического пространства метризуемости , . Результат доказал русский математик Андрей Николаевич Колмогоров в 1934 году.

Формулировка теоремы

Критерий нормируемости Колмогорова . Топологическое векторное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда оно является T ₁ пространством и допускает ограниченную выпуклую окрестность начала координат.

Поскольку трансляция (т. е. сложение векторов) константой сохраняет выпуклость, ограниченность и открытость множеств , слова «начала координат» можно заменить на «какой-то точки» или даже на «каждой точки».

Определения

Возможно, будет полезно сначала вспомнить следующие термины:

• Топологическое векторное пространство (ТВП) — это векторное пространство. $X$ оснащен топологией $\tau$ такие, что операции скалярного умножения и сложения векторов в векторном пространстве являются непрерывными.
• Топологическое векторное пространство $(X,\tau )$ называется нормируемым, если существует норма $\|\cdot \|:X\to \mathbb {R}$ на $X$ такие, что открытые шары нормы $\|\cdot \|$ сгенерировать заданную топологию $\tau .$ (Обратите внимание, что данное нормируемое топологическое векторное пространство может допускать несколько таких норм.)
• Топологическое пространство $X$ называется T1 _точек пространством , если для каждых двух различных $x,y\in X,$ есть открытый район $U_{x}$ из $x$ который не содержит $y.$ В топологическом векторном пространстве это эквивалентно требованию, чтобы для каждого $x\neq 0,$ существует открытая окрестность начала координат, не содержащая $x.$ Обратите внимание, что быть T ₁ слабее, чем быть хаусдорфовым пространством , в котором каждые две различные точки $x,y\in X$ признать открытые районы $U_{x}$ из $x$ и $U_{y}$ из $y$ с $U_{x}\cap U_{y}=\varnothing$; поскольку нормированные и нормируемые пространства всегда хаусдорфовы, «неожиданно» то, что для теоремы требуется только T ₁ .
• Подмножество $A$ векторного пространства $X$ является выпуклым множеством , если для любых двух точек $x,y\in A,$ соединяющий их отрезок целиком лежит внутри $A,$ то есть для всех $0\leq t\leq 1,$ $(1-t)x+ty\in A.$
• Подмножество $A$ топологического векторного пространства $(X,\tau )$ является ограниченным множеством , если для каждой открытой окрестности $U$ начала координат существует скаляр $\lambda$ так что $A\subseteq \lambda U.$ (Можно подумать $U$ как «маленький» и $\lambda$ как «достаточно большой», чтобы его можно было раздуть $U$ покрыть $A.$)

См. также

• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Нормированное векторное пространство - векторное пространство, в котором определено расстояние.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.