Сбалансированный набор

В линейной алгебре и смежных областях математики , сбалансированное множество окружённое множество или диск в векторном пространстве (над полем $\mathbb {K}$ с абсолютного значения функцией $|\cdot |$) представляет собой набор $S$ такой, что $aS\subseteq S$ для всех скаляров $a$ удовлетворяющий $|a|\leq 1.$

Сбалансированный корпус или сбалансированная оболочка набора $S$ — наименьшее сбалансированное множество, содержащее $S.$Сбалансированное ядро ​​набора $S$ является самым большим сбалансированным набором, содержащимся в $S.$

Сбалансированные множества широко распространены в функциональном анализе, поскольку каждая окрестность начала координат в каждом топологическом векторном пространстве (TVS) содержит сбалансированную окрестность начала координат, а каждая выпуклая окрестность начала содержит сбалансированную выпуклую окрестность начала координат (даже если TVS не является локально выпуклая ). Эта окрестность также может быть выбрана в качестве открытого множества или, альтернативно, закрытого множества .

Определение

Позволять $X$ быть векторным пространством над полем $\mathbb {K}$ действительных комплексных или чисел .

Обозначения

Если $S$ это набор, $a$ является скаляром, и $B\subseteq \mathbb {K}$ тогда пусть $aS=\{as:s\in S\}$ и $BS=\{bs:b\in B,s\in S\}$ и для любого $0\leq r\leq \infty ,$ позволять $$B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\qquad {\text{ and }}\qquad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}.$$обозначаем соответственно открытый шар и закрытый шар радиуса $r$ в скалярном поле $\mathbb {K}$ сосредоточено в $0$ где $B_{0}=\varnothing ,B_{\leq 0}=\{0\},$ и $B_{\infty }=B_{\leq \infty }=\mathbb {K} .$ Каждое сбалансированное подмножество поля $\mathbb {K}$ имеет форму $B_{\leq r}$ или $B_{r}$ для некоторых $0\leq r\leq \infty .$

Сбалансированный набор

Подмножество $S$ из $X$ называется сбалансированный комплект или сбалансированный , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Определение : $as\in S$ для всех $s\in S$ и все скаляры $a$ удовлетворяющий $|a|\leq 1.$
2. $aS\subseteq S$ для всех скаляров $a$ удовлетворяющий $|a|\leq 1.$
3. $B_{\leq 1}S\subseteq S$ (где $B_{\leq 1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq 1\}$).
4. $S=B_{\leq 1}S.$
5. Для каждого $s\in S,$ $S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq 1}(S\cap \mathbb {K} s).$
   • $\mathbb {K} s=\operatorname {span} \{s\}$ это $0$ (если $s=0$) или $1$ (если $s\neq 0$) размерное векторное подпространство $X.$
   • Если $R:=S\cap \mathbb {K} s$ тогда приведенное выше равенство становится $R=B_{\leq 1}R,$ что и является предыдущим условием сбалансированности набора. Таким образом, $S$ сбалансирован тогда и только тогда, когда для каждого $s\in S,$ $S\cap \mathbb {K} s$ представляет собой сбалансированное множество (согласно любому из предыдущих определяющих условий).
6. Для каждого одномерного векторного подпространства $Y$ из $\operatorname {span} S,$ $S\cap Y$ является сбалансированным множеством (согласно любому определяющему условию, кроме этого).
7. Для каждого $s\in S,$ существует какой-то $0\leq r\leq \infty$ такой, что $S\cap \mathbb {K} s=B_{r}s$ или $S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq r}s.$
8. $S$ представляет собой сбалансированное подмножество $\operatorname {span} S$ (в соответствии с любым определяющим условием «сбалансированности», кроме этого).
   • Таким образом $S$ представляет собой сбалансированное подмножество $X$ тогда и только тогда, когда оно является сбалансированным подмножеством любого (т. е. некоторого) векторного пространства над полем $\mathbb {K}$ который содержит $S.$ Итак, полагая, что поле $\mathbb {K}$ ясно из контекста, это оправдывает написание " $S$ сбалансирован» без упоминания какого-либо векторного пространства.

Если $S$ является выпуклым множеством , то этот список можно расширить, включив в него:

9. $aS\subseteq S$ для всех скаляров $a$ удовлетворяющий $|a|=1.$

Если $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ то этот список можно расширить, включив в него:

10. $S$ симметричен виду (имеется в $-S=S$) и $[0,1)S\subseteq S.$

Сбалансированный корпус

$$\operatorname {bal} S~=~\bigcup _{|a|\leq 1}aS=B_{\leq 1}S$$

The сбалансированный корпус подмножества $S$ из $X,$ обозначается $\operatorname {bal} S,$ определяется любым из следующих эквивалентных способов:

1. Определение : $\operatorname {bal} S$ является наименьшим (по отношению к $\,\subseteq \,$) сбалансированное подмножество $X$ содержащий $S.$
2. $\operatorname {bal} S$ является пересечением всех сбалансированных множеств, содержащих $S.$
3. $\operatorname {bal} S=\bigcup _{|a|\leq 1}(aS).$
4. $\operatorname {bal} S=B_{\leq 1}S.$

Сбалансированное ядро

$$\operatorname {balcore} S~=~{\begin{cases}\displaystyle \bigcap _{|a|\geq 1}aS&{\text{ if }}0\in S\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in S\\\end{cases}}$$

The сбалансированное ядро ​​подмножества $S$ из $X,$ обозначается $\operatorname {balcore} S,$ определяется любым из следующих эквивалентных способов:

1. Определение : $\operatorname {balcore} S$ является крупнейшим (по отношению к $\,\subseteq \,$) сбалансированное подмножество $S.$
2. $\operatorname {balcore} S$ является объединением всех сбалансированных подмножеств $S.$
3. $\operatorname {balcore} S=\varnothing$ если $0\not \in S$ пока $\operatorname {balcore} S=\bigcap _{|a|\geq 1}(aS)$ если $0\in S.$

Примеры

Пустое множество является сбалансированным множеством. Как и любое векторное подпространство любого (действительного или комплексного) векторного пространства . В частности, $\{0\}$ всегда сбалансированный набор.

Любое непустое множество, не содержащее начала координат, не является сбалансированным, более того, сбалансированное ядро ​​такого множества будет равно пустому множеству.

Нормированные и топологические векторные пространства

Открытые и закрытые шары с центром в начале координат в нормированном векторном пространстве представляют собой сбалансированные множества. Если $p$ является полунормой (или нормой ) в векторном пространстве $X$ тогда для любой константы $c>0,$ набор $\{x\in X:p(x)\leq c\}$ является сбалансированным.

Если $S\subseteq X$ любое подмножество и $B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\}$ затем $B_{1}S$ представляет собой сбалансированный набор. В частности, если $U\subseteq X$ это любая сбалансированная окрестность начала координат в топологическом векторном пространстве. $X$ затем $$\operatorname {Int} _{X}U~\subseteq ~B_{1}U~=~\bigcup _{0<|a|<1}aU~\subseteq ~U.$$

Сбалансированные сеты $\mathbb {R}$ и $\mathbb {C}$

Позволять $\mathbb {K}$ быть полем действительных чисел $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} ,$ позволять $|\cdot |$ обозначают абсолютное значение на $\mathbb {K} ,$ и пусть $X:=\mathbb {K}$ обозначает векторное пространство над $\mathbb {K} .$ Так, например, если $\mathbb {K} :=\mathbb {C}$ это поле комплексных чисел, тогда $X=\mathbb {K} =\mathbb {C}$ является одномерным комплексным векторным пространством, тогда как если $\mathbb {K} :=\mathbb {R}$ затем $X=\mathbb {K} =\mathbb {R}$ представляет собой одномерное действительное векторное пространство.

Сбалансированные подмножества $X=\mathbb {K}$ именно следующие:

1. $\varnothing$
2. $X$
3. $\{0\}$
4. $\{x\in X:|x|<r\}$ для какого-то реального $r>0$
5. $\{x\in X:|x|\leq r\}$ для какого-то реального $r>0.$

Следовательно, и сбалансированное ядро , и сбалансированная оболочка каждого набора скаляров равны одному из перечисленных выше наборов.

Сбалансированные наборы $\mathbb {C}$ само по себе пустое множество, а также открытые и закрытые диски с центром в нуле. Напротив, в двумерном евклидовом пространстве гораздо больше сбалансированных множеств: подойдет любой отрезок, середина которого находится в начале координат. Как результат, $\mathbb {C}$ и $\mathbb {R} ^{2}$ совершенно различны в том, что скалярного умножения касается .

Сбалансированные сеты $\mathbb {R} ^{2}$

Всюду пусть $X=\mathbb {R} ^{2}$ (так $X$ является векторным пространством над $\mathbb {R}$) и пусть $B_{\leq 1}$ представляет собой замкнутый единичный шар в $X$ сосредоточено в начале координат.

Если $x_{0}\in X=\mathbb {R} ^{2}$ не равно нулю, и $L:=\mathbb {R} x_{0},$ тогда набор $R:=B_{\leq 1}\cup L$ является замкнутой, симметричной и сбалансированной окрестностью начала координат в $X.$ В более общем смысле, если $C$ любое подмножество закрытое $X$ такой, что $(0,1)C\subseteq C,$ затем $S:=B_{\leq 1}\cup C\cup (-C)$ является замкнутой, симметричной и сбалансированной окрестностью начала координат в $X.$ Этот пример можно обобщить на $\mathbb {R} ^{n}$ для любого целого числа $n\geq 1.$

Позволять $B\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ быть объединением отрезка между точками $(-1,0)$ и $(1,0)$ и отрезок между $(0,-1)$ и $(0,1).$ Затем $B$ сбалансирован, но не выпукл. И это не $B$ захватывает (несмотря на то, что $\operatorname {span} B=\mathbb {R} ^{2}$ — все векторное пространство).

Для каждого $0\leq t\leq \pi ,$ позволять $r_{t}$ любое положительное действительное число и пусть $B^{t}$ быть (открытым или замкнутым) сегментом линии в $X:=\mathbb {R} ^{2}$ между точками $(\cos t,\sin t)$ и $-(\cos t,\sin t).$ Тогда набор $B=\bigcup _{0\leq t<\pi }r_{t}B^{t}$ представляет собой сбалансированное и поглощающее множество, но оно не обязательно выпуклое.

Сбалансированный корпус закрытого набора не обязательно должен быть закрытым. Возьмем, к примеру, график $xy=1$ в $X=\mathbb {R} ^{2}.$

Следующий пример показывает, что сбалансированная оболочка выпуклого множества может не быть выпуклой (однако выпуклая оболочка сбалансированного множества всегда сбалансирована). Например, пусть выпуклое подмножество будет $S:=[-1,1]\times \{1\},$ представляющий собой горизонтальный замкнутый отрезок, лежащий выше $x-$ось в $X:=\mathbb {R} ^{2}.$ Сбалансированный корпус $\operatorname {bal} S$ представляет собой невыпуклое подмножество, имеющее форму « песочных часов » и равное объединению двух замкнутых и заполненных равнобедренных треугольников. $T_{1}$ и $T_{2},$ где $T_{2}=-T_{1}$ и $T_{1}$ представляет собой заполненный треугольник, вершины которого являются началом координат вместе с конечными точками $S$ (говорят по-другому, $T_{1}$ представляет собой выпуклую оболочку $S\cup \{(0,0)\}$ пока $T_{2}$ представляет собой выпуклую оболочку $(-S)\cup \{(0,0)\}$).

Достаточные условия

Набор $T$ сбалансирован тогда и только тогда, когда он равен своему сбалансированному корпусу $\operatorname {bal} T$ или к его сбалансированному ядру $\operatorname {balcore} T,$ в этом случае все три из этих наборов равны: $T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.$

Декартово произведение семейства сбалансированных множеств сбалансировано в пространстве произведений соответствующих векторных пространств (над тем же полем $\mathbb {K}$).

• сбалансированная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного , ограниченного ) множества. Тем же свойством обладает
• Выпуклая оболочка сбалансированного множества является выпуклой и сбалансированной (т. е. абсолютно выпуклой ). Однако сбалансированная оболочка выпуклого множества может не быть выпуклой (контрпример приведен выше).
• Произвольные объединения сбалансированных множеств сбалансированы, то же самое справедливо и для произвольных пересечений сбалансированных множеств.
• Скалярные кратные и (конечные) суммы Минковского сбалансированных множеств снова сбалансированы.
• Образы и прообразы сбалансированных множеств при линейных отображениях снова сбалансированы. Явно, если $L:X\to Y$ является линейной картой и $B\subseteq X$ и $C\subseteq Y$ являются сбалансированными множествами, то $L(B)$ и $L^{-1}(C)$ представляют собой сбалансированные наборы.

Сбалансированные кварталы

В любом топологическом векторном пространстве замыкание сбалансированного множества сбалансировано. Союз происхождения $\{0\}$ и топологическая внутренность сбалансированного множества сбалансирована. Следовательно, топологическая внутренность сбалансированной окрестности начала координат сбалансирована. Однако, $\left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}:|z|\leq |w|\right\}$ представляет собой сбалансированное подмножество $X=\mathbb {C} ^{2}$ который содержит начало происхождения $(0,0)\in X$ но чья (непустая) топологическая внутренность не содержит начала координат и поэтому не является сбалансированным множеством. Аналогично для вещественных векторных пространств, если $T$ обозначает выпуклую оболочку $(0,0)$ и $(\pm 1,1)$ (закрашенный треугольник , вершинами которого являются эти три точки), то $B:=T\cup (-T)$ ( в форме песочных часов ) представляет собой сбалансированное подмножество $X:=\mathbb {R} ^{2}$ непустая топологическая внутренность которого не содержит начала координат и поэтому не является сбалансированным множеством (и хотя множество $\{(0,0)\}\cup \operatorname {Int} _{X}B$ образованное добавлением начала координат, сбалансировано, оно не является ни открытым множеством, ни окрестностью начала координат).

Каждая окрестность (соответственно выпуклая окрестность) начала координат в топологическом векторном пространстве. $X$ содержит сбалансированную (соответственно выпуклую и сбалансированную) открытую окрестность начала координат. Фактически, следующая конструкция дает такие сбалансированные множества. Данный $W\subseteq X,$ симметричный набор $\bigcap _{|u|=1}uW\subseteq W$ будет выпуклым (соответственно замкнутым, уравновешенным, ограниченным , окрестностью начала координат, поглощающим подмножеством $X$) всякий раз, когда это верно для $W.$ Это будет сбалансированный набор, если $W$ представляет собой звезду, имеющую форму в начале координат, что верно, например, когда $W$ выпукло и содержит $0.$ В частности, если $W$ является выпуклой окрестностью начала координат, тогда $\bigcap _{|u|=1}uW$ будет сбалансированной выпуклой окрестностью начала координат, и поэтому его топологическая внутренность будет сбалансированной выпуклой открытой окрестностью начала координат.

Доказательство

Позволять $0\in W\subseteq X$ и определить $A=\bigcap _{|u|=1}uW$ (где $u$ обозначает элементы поля $\mathbb {K}$ скаляров). принимая $u:=1$ показывает, что $A\subseteq W.$ Если $W$ выпукло, то и так $A$ (поскольку пересечение выпуклых множеств является выпуклым) и, следовательно, таковым является $A$интерьер. Если $|s|=1$ затем $$sA=\bigcap _{|u|=1}suW\subseteq \bigcap _{|u|=1}uW=A$$ и таким образом $sA=A.$ Если $W$ имеет звездообразную форму в начале координат тогда так каждый $uW$ (для $|u|=1$), из чего следует, что для любого $0\leq r\leq 1,$$$rA=\bigcap _{|u|=1}ruW\subseteq \bigcap _{|u|=1}uW=A$$ тем самым доказывая, что $A$ является сбалансированным. Если $W$ выпукло и содержит начало координат, тогда оно имеет звездообразную форму в начале координат и поэтому $A$ будет сбалансированным.

Теперь предположим $W$ является окрестностью начала координат в $X.$ Поскольку скалярное умножение $M:\mathbb {K} \times X\to X$ (определено $M(a,x)=ax$) непрерывен в начале координат $(0,0)\in \mathbb {K} \times X$ и $M(0,0)=0\in W,$ существует некое базовое открытое соседство $B_{r}\times V$ (где $r>0$ и $B_{r}:=\{c\in \mathbb {K} :|c|<r\}$) происхождения в топологии продукта на $\mathbb {K} \times X$ такой, что $M\left(B_{r}\times V\right)\subseteq W;$ набор $M\left(B_{r}\times V\right)=B_{r}V$ сбалансирован и открыт, поскольку его можно записать как $$B_{r}V=\bigcup _{|a|<r}aV=\bigcup _{0<|a|<r}aV\qquad {\text{ (since }}0\cdot V=\{0\}\subseteq aV{\text{ )}}$$ где $aV$ является открытой окрестностью начала координат всякий раз, когда $a\neq 0.$ Окончательно, $$A=\bigcap _{|u|=1}uW\supseteq \bigcap _{|u|=1}uB_{r}V=\bigcap _{|u|=1}B_{r}V=B_{r}V$$ показывает, что $A$ также является окрестностью начала координат. Если $A$ сбалансирован тогда, потому что его внутренняя часть $\operatorname {Int} _{X}A$ содержит происхождение, $\operatorname {Int} _{X}A$ также будет сбалансированным. Если $W$ тогда выпукло $A$ выпукло и сбалансировано, и, следовательно, то же самое верно и для $\operatorname {Int} _{X}A.$$\blacksquare$

Предположим, что $W$ является выпуклым и поглощающим подмножеством $X.$ Затем $D:=\bigcap _{|u|=1}uW$ будет выпуклым сбалансированным поглощающим подмножеством $X,$ что гарантирует, что функционал Минковского $p_{D}:X\to \mathbb {R}$ из $D$ будет полунормой ​ $X,$ тем самым делая $\left(X,p_{D}\right)$ в полунормированное пространство , несущее свою каноническую псевдометризуемую топологию. Набор скалярных кратных $rD$ как $r$ колеблется в пределах $\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ (или над любым другим набором ненулевых скаляров, имеющих $0$ как предельная точка) образует базис окрестности поглощающих дисков в начале координат этой локально выпуклой топологии. Если $X$ является топологическим векторным пространством , и если это выпуклое поглощающее подмножество $W$ также является ограниченным подмножеством $X,$ то то же самое будет и с поглощающим диском $D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;$ если вдобавок $D$ не содержит нетривиального векторного подпространства, то $p_{D}$ будет нормой и $\left(X,p_{D}\right)$ образует так называемое вспомогательное нормированное пространство . Если это нормированное пространство является банаховым, то $D$ называется банаховым диском .

Характеристики

См. Также: Топологическое векторное пространство § Свойства.

Свойства сбалансированных множеств

Сбалансированное множество не пусто тогда и только тогда, когда оно содержит начало координат. По определению множество абсолютно выпукло тогда и только тогда, когда оно выпукло и сбалансировано. Каждый сбалансированный набор имеет форму звезды (в 0) и является симметричным набором .Если $B$ представляет собой сбалансированное подмножество $X$ затем:

• для любых скаляров $c$ и $d,$ если $|c|\leq |d|$ затем $cB\subseteq dB$ и $cB=|c|B.$ Таким образом, если $c$ и $d$ есть ли скаляры тогда $(cB)\cap (dB)=\min _{}\{|c|,|d|\}B.$
• $B$ поглощает ​ ​ $X$ тогда и только тогда, когда для всех $x\in X,$ существует $r>0$ такой, что $x\in rB.$
• для любого одномерного векторного подпространства $Y$ из $X,$ набор $B\cap Y$ выпуклая и сбалансированная. Если $B$ не пусто, и если $Y$ представляет собой одномерное векторное подпространство $\operatorname {span} B$ затем $B\cap Y$ либо $\{0\}$ или же поглощает оно $Y.$
• для любого $x\in X,$ если $B\cap \operatorname {span} x$ содержит более одной точки, то это выпуклая и сбалансированная окрестность $0$ в одномерном векторном пространстве $\operatorname {span} x$ когда это пространство наделено Хаусдорфа евклидовой топологией ; и набор $B\cap \mathbb {R} x$ является выпуклым сбалансированным подмножеством реального векторного пространства. $\mathbb {R} x$ который содержит начало.

Свойства сбалансированных корпусов и сбалансированных ядер

Для любой коллекции ${\mathcal {S}}$ подмножеств $X,$$$\operatorname {bal} \left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {bal} S\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {balcore} \left(\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {balcore} S.$$

В любом топологическом векторном пространстве сбалансированная оболочка любой открытой окрестности начала координат снова открыта. Если $X$ является Хаусдорфа топологическим векторным пространством , и если $K$ представляет собой компактное подмножество $X$ тогда сбалансированный корпус $K$ компактен.

Если множество замкнуто (соответственно выпуклая, поглощающая , окрестность начала координат), то то же самое справедливо и для его сбалансированного ядра.

Для любого подмножества $S\subseteq X$ и любой скаляр $c,$ $\operatorname {bal} (c\,S)=c\operatorname {bal} S=|c|\operatorname {bal} S.$

Для любого скаляра $c\neq 0,$ $\operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S.$ Это равенство справедливо для $c=0$ тогда и только тогда, когда $S\subseteq \{0\}.$ Таким образом, если $0\in S$ или $S=\varnothing$ затем $$\operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S$$ для каждого скаляра $c.$

Связанные понятия

Функция $p:X\to [0,\infty )$ в реальном или комплексном векторном пространстве называется сбалансированная функция , если она удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. $p(ax)\leq p(x)$ в любое время $a$ является скаляром, удовлетворяющим $|a|\leq 1$ и $x\in X.$
2. $p(ax)\leq p(bx)$ в любое время $a$ и $b$ удовлетворяют ли скаляры $|a|\leq |b|$ и $x\in X.$
3. $\{x\in X:p(x)\leq t\}$ представляет собой сбалансированный набор для каждого неотрицательного действительного числа $t\geq 0.$

Если $p$ является сбалансированной функцией, тогда $p(ax)=p(|a|x)$ для каждого скаляра $a$ и вектор $x\in X;$ так, в частности, $p(ux)=p(x)$ для каждой длины единицы скаляра $u$ (удовлетворительный $|u|=1$) и каждый $x\in X.$С использованием $u:=-1$ показывает, что каждая сбалансированная функция является симметричной функцией .

Действительнозначная функция $p:X\to \mathbb {R}$ является полунормой тогда и только тогда, когда она является сбалансированной сублинейной функцией .

См. также

• Абсолютно выпуклый набор – выпуклый и сбалансированный набор. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Поглощающий набор - набор, который можно «надуть», чтобы достичь любой точки.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) - Обобщение ограниченности
• Выпуклое множество - в геометрии множество, пересечение которого с каждой линией представляет собой один отрезок линии.
• Звездная область - свойство множеств точек в евклидовых пространствах.
• Симметричное множество - Свойство групповых подмножеств (математика)
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Ссылки

Доказательства

Источники

• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика. Том. 1. Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN  978-0-471-60848-6 . OCLC   18412261 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . ОСЛК   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основные принципы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90400-9 . OCLC   180577972 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шехтер, Эрик (24 октября 1996 г.). Справочник по анализу и его основам . Академическая пресса. ISBN  978-0-08-053299-8 .
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN  978-0-8247-8643-4 . ОСЛК   24909067 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .