Вспомогательное нормированное помещение

В функциональном анализе , разделе математики, два метода построения нормированных пространств из дисков систематически использовались Александром Гротендиком для определения ядерных операторов и ядерных пространств . Один метод используется, если диск $D$ ограничено: в этом случае вспомогательное нормированное пространство есть $\operatorname {span} D$ с нормой $$p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r.$$ Другой метод используется, если диск $D$ является поглощающим : в этом случае вспомогательным нормированным пространством является фактор-пространство $X/p_{D}^{-1}(0).$ Если диск одновременно ограничен и поглощающий, то два вспомогательных нормированных пространства канонически изоморфны (как топологические векторные пространства и как нормированные пространства ).

Индуцировано ограниченным диском – банаховы диски.

На протяжении всей этой статьи $X$ будет реальным или комплексным векторным пространством (пока не обязательно TVS) и $D$ будет диск в $X.$

Полунормированное пространство, индуцированное диском

Позволять $X$ будет вещественным или комплексным векторным пространством. Для любого подмножества $D$ из $X,$ функционал Минковского ​ $D$ определяется:

• Если $D=\varnothing$ затем определите $p_{\varnothing }(x):\{0\}\to [0,\infty )$ быть тривиальной картой $p_{\varnothing }=0$ и будет считаться, что $\operatorname {span} \varnothing =\{0\}.$
• Если $D\neq \varnothing$ и если $D$ поглощает ​ ​ $\operatorname {span} D$ затем обозначим функционал Минковского от $D$ в $\operatorname {span} D$ к $$p_{D}:\operatorname {span} D\to [0,\infty )$$ где для всех $x\in \operatorname {span} D,$ это определяется $$p_{D}(x):=\inf _{}\{r:x\in rD,r>0\}.$$

Позволять $X$ будет вещественным или комплексным векторным пространством. Для любого подмножества $D$ из $X$ такой, что функционал Минковского $p_{D}$является полунормой по $\operatorname {span} D,$ позволять $X_{D}$ обозначать $$X_{D}:=\left(\operatorname {span} D,p_{D}\right)$$которое называется полунормированным пространством, индуцированным $D,$ где если $p_{D}$ является нормой , то оно называется нормированным пространством, индуцированным $D.$

Предположение ( Топология ): $X_{D}=\operatorname {span} D$ наделен полунормальной топологией, индуцированной $p_{D},$ который будет обозначаться $\tau _{D}$ или $\tau _{p_{D}}$

Важно отметить, что эта топология полностью вытекает из множества $D,$ алгебраическая структура $X,$ и обычная топология на $\mathbb {R}$ (с $p_{D}$определяется с использованием только набора $D$ и скалярное умножение). Это оправдывает изучение банаховых дисков и является одной из причин, почему они играют важную роль в теории ядерных операторов и ядерных пространств .

Карта включения $\operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X$ называется каноническим отображением .

Предположим, что $D$ это диск. Затем ${\textstyle \operatorname {span} D=\bigcup _{n=1}^{\infty }nD}$ так что $D$ поглощает ​ ​ $\operatorname {span} D,$ линейный диапазон ​ $D.$ Набор $\{rD:r>0\}$ всех положительных скалярных кратных $D$ образует базис окрестностей в начале локально выпуклого топологического векторного пространства. координат $\tau _{D}$ на $\operatorname {span} D.$ диска Функционал Минковского . $D$ в $\operatorname {span} D$ гарантирует, что $p_{D}$корректно определен и образует полунорму на $\operatorname {span} D.$ Локально-выпуклая топология, индуцированная этой полунормой, — это топология $\tau _{D}$ это было определено ранее.

Определение банахового диска

Ограниченный ​ диск $D$ в топологическом векторном пространстве $X$ такой, что $\left(X_{D},p_{D}\right)$ является банаховым пространством , называется банаховым диском , инфраполным или ограниченным комплетантом в $X.$

Если показано, что $\left(\operatorname {span} D,p_{D}\right)$ является банаховым пространством, тогда $D$ будет банаховым диском в любом TVS, содержащем $D$ как ограниченное подмножество.

Это связано с тем, что функционал Минковского $p_{D}$определяется чисто алгебраическими терминами. Следовательно, вопрос о том, является ли $\left(X_{D},p_{D}\right)$ образует банахово пространство, зависит только от диска $D$ и функционал Минковского $p_{D},$ а не в какой-либо конкретной топологии TVS, которая $X$ может нести. Таким образом, требование, чтобы банахов диск в ТВС $X$ быть ограниченным подмножеством $X$ - единственное свойство, которое связывает топологию банахового диска с топологией содержащего его TVS. $X.$

Свойства полунормированных пространств, индуцированных диском

Ограниченные диски

Следующий результат объясняет, почему банаховы диски должны быть ограничены.

Теорема - Если $D$ представляет собой диск в топологическом векторном пространстве (ТВП). $X,$ затем $D$ ограничен ​ ​ $X$ тогда и только тогда, когда отображение включения $\operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X$ является непрерывным.

Доказательство

Если диск $D$ ограничен в TVS $X$ затем для всех окрестностей $U$ происхождения в $X,$ существует какой-то $r>0$ такой, что $rD\subseteq U\cap X_{D}.$ Отсюда следует, что в этом случае топология $\left(X_{D},p_{D}\right)$ тоньше, чем топология подпространства, которая $X_{D}$ наследует от $X,$ откуда следует, что отображение включения $\operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X$ является непрерывным. И наоборот, если $X$ имеет топологию TVS такую, что $\operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X$ непрерывен, то для каждой окрестности $U$ происхождения в $X$ существует какой-то $r>0$ такой, что $rD\subseteq U\cap X_{D},$ что показывает, что $D$ ограничен $X.$

Хаусдорфность

Пространство $\left(X_{D},p_{D}\right)$ является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда $p_{D}$является нормой, которая имеет место тогда и только тогда, когда $D$ не содержит никакого нетривиального векторного подпространства. В частности, если существует хаусдорфова ТВС-топология на $X$ такой, что $D$ ограничен $X$ затем $p_{D}$это норма. Пример, где $X_{D}$ не является Хаусдорфом, получается, если $X=\mathbb {R} ^{2}$ и позволяя $D$ быть $x$-ось.

Сходимость сетей

Предположим, что $D$ это диск в $X$ такой, что $X_{D}$ является Хаусдорфом и пусть $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ быть сетью в $X_{D}.$ Затем $x_{\bullet }\to 0$ в $X_{D}$ тогда и только тогда, когда существует сеть $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i\in I}$ действительных чисел таких, что $r_{\bullet }\to 0$ и $x_{i}\in r_{i}D$ для всех $i$; при этом в этом случае без ограничения общности будем считать, что $r_{i}\geq 0$ для всех $i.$

Связь между дисковыми пространствами

Если $C\subseteq D\subseteq X$затем $\operatorname {span} C\subseteq \operatorname {span} D$ и $p_{D}\leq p_{C}$ на $\operatorname {span} C,$ поэтому определите следующие непрерывные линейная карта:

Если $C$ и $D$ есть ли диски в $X$ с $C\subseteq D$ затем вызовите карту включения $\operatorname {In} _{C}^{D}:X_{C}\to X_{D}$ каноническое включение ​ $X_{C}$ в $X_{D}.$

В частности, топология подпространства, которая $\operatorname {span} C$ наследует от $\left(X_{D},p_{D}\right)$ слабее, чем $\left(X_{C},p_{C}\right)$Полунормальная топология.

Диск как замкнутый единичный шар

Диск $D$ является закрытым подмножеством $\left(X_{D},p_{D}\right)$ тогда и только тогда, когда $D$ - замкнутый единичный шар полунормы $p_{D}$; то есть, $D=\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}.$

Если $D$ это диск в векторном пространстве $X$ и если существует топология TVS $\tau$ на $\operatorname {span} D$ такой, что $D$ является замкнутым и ограниченным подмножеством $\left(\operatorname {span} D,\tau \right),$ затем $D$ представляет собой замкнутый единичный шар $\left(X_{D},p_{D}\right)$ (то есть, $D=\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}$ ) (доказательство см. в сноске).

Достаточные условия банахова диска.

Следующая теорема может быть использована для установления того, что $\left(X_{D},p_{D}\right)$ является банаховым пространством. Как только это будет установлено, $D$ будет банаховым диском в любом ТВС, в котором $D$ ограничен.

Теорема - Позволять $D$ быть диском в векторном пространстве $X.$ Если существует ТВС-топология Хаусдорфа $\tau$ на $\operatorname {span} D$ такой, что $D$ является ограниченным секвенциально полным подмножеством $(\operatorname {span} D,\tau ),$ затем $\left(X_{D},p_{D}\right)$ является банаховым пространством.

Доказательство

Предположим без ограничения общности, что $X=\operatorname {span} D$ и пусть $p:=p_{D}$ быть Минковского функционалом $D.$ С $D$ является ограниченным подмножеством хаусдорфовой TVS, $D$ не содержат какого-либо нетривиального векторного подпространства, из чего следует, что $p$ это норма. Позволять $\tau _{D}$ обозначим нормальную топологию на $X$ вызванный $p$ откуда с тех пор $D$ является ограниченным подмножеством $(X,\tau ),$ $\tau _{D}$ тоньше, чем $\tau .$

Потому что $D$ выпукло и сбалансировано для любого $0<m<n$

$$2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D=2^{-(m+1)}\left(1-2^{m-n}\right)D\subseteq 2^{-(m+2)}D.$$

Позволять $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ быть последовательностью Коши в $\left(X_{D},p\right).$ Заменив $x_{\bullet }$ с подпоследовательностью, без ограничения общности можно считать ^† это для всех $i,$$$x_{i+1}-x_{i}\in {\frac {1}{2^{i+2}}}D.$$

Это означает, что для любого $0<m<n,$$$x_{n}-x_{m}=\left(x_{n}-x_{n-1}\right)+\left(x_{m+1}-x_{m}\right)\in 2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D\subseteq 2^{-(m+2)}D$$так что, в частности, взяв $m=1$ отсюда следует, что $x_{\bullet }$ содержится в $x_{1}+2^{-3}D.$ С $\tau _{D}$ тоньше, чем $\tau ,$ $x_{\bullet }$ является последовательностью Коши в $(X,\tau ).$ Для всех $m>0,$ $2^{-(m+2)}D$ является хаусдорфовым секвенциально полным подмножеством $(X,\tau ).$ В частности, это справедливо для $x_{1}+2^{-3}D$ так что существует некоторый $x\in x_{1}+2^{-3}D$ такой, что $x_{\bullet }\to x$ в $(X,\tau ).$

С $x_{n}-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D$ для всех $0<m<n,$ исправив $m$ и взяв предел (в $(X,\tau )$) как $n\to \infty ,$ отсюда следует, что $x-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D$ для каждого $m>0.$ Это означает, что $p\left(x-x_{m}\right)\to 0$ как $m\to \infty ,$ где сказано именно это $x_{\bullet }\to x$ в $\left(X_{D},p\right).$ Это показывает, что $\left(X_{D},p\right)$ завершен.

^† Такое предположение допустимо, поскольку $x_{\bullet }$ является последовательностью Коши в метрическом пространстве (поэтому пределы всех подпоследовательностей равны), а последовательность в метрическом пространстве сходится тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.

Обратите внимание, что даже если $D$ не является ограниченным и секвенциально полным подмножеством любой хаусдорфовой TVS, все равно можно заключить, что $\left(X_{D},p_{D}\right)$ является банаховым пространством, если применить эту теорему к некоторому кругу $K$ удовлетворяющий $$\left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)<1\right\}\subseteq K\subseteq \left\{x\in \operatorname {span} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}$$потому что $p_{D}=p_{K}.$

Следствием приведенной выше теоремы являются следующие:

• Секвенциально полный ограниченный диск в хаусдорфовой TVS является банаховым диском.
• Любой полный и ограниченный (например, компактный) диск в хаусдорфовой TVS является банаховым диском.
• Замкнутый единичный шар в пространстве Фреше является секвенциально полным и, следовательно, является банаховым диском.

Предположим, что $D$ является ограниченным диском в TVS $X.$

• Если $L:X\to Y$ является непрерывным линейным отображением и $B\subseteq X$ является банаховым диском, то $L(B)$ является банаховым диском и $L{\big \vert }_{X_{B}}:X_{B}\to L\left(X_{B}\right)$ индуцирует изометрический TVS-изоморфизм $Y_{L(B)}\cong X_{B}/\left(X_{B}\cap \operatorname {ker} L\right).$

Свойства банаховых дисков.

Позволять $X$ будь ТВС и пусть $D$ быть ограниченным диском в $X.$

Если $D$ — ограниченный банахов диск в хаусдорфовом локально выпуклом пространстве. $X$ и если $T$ это бочка в $X$ затем $T$ поглощает $D$ (то есть есть число $r>0$ такой, что $D\subseteq rT.$

Если $U$ является выпуклой сбалансированной замкнутой окрестностью начала координат в $X$ затем сбор всех окрестностей $rU,$ где $r>0$ распространяется на положительные действительные числа, индуцирует топологию топологического векторного пространства на $X.$ Когда $X$ имеет такую ​​топологию, она обозначается $X_{U}.$ Поскольку эта топология не обязательно является хаусдорфовой и полной, пополнение хаусдорфова пространства $X/p_{U}^{-1}(0)$ обозначается ${\overline {X_{U}}}$ так что ${\overline {X_{U}}}$ является полным Хаусдорфовым пространством и $p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r$ это норма в этом пространстве ${\overline {X_{U}}}$ в банахово пространство. Полярный $U,$ $U^{\circ },$ является слабо компактным ограниченным равностепенно непрерывным диском в $X^{\prime }$ и поэтому является инфраполным.

Если $X$ является метризуемым локально выпуклым TVS, то для любого ограниченного подмножества $B$ из $X,$ существует ограниченный диск $D$ в $X$ такой, что $B\subseteq X_{D},$ и оба $X$ и $X_{D}$ индуцировать ту же топологию подпространства на $B.$

Индуцировано радиальным диском – частное

Предположим, что $X$ является топологическим векторным пространством и $V$ представляет собой выпуклое сбалансированное и радиальное множество. Затем $\left\{{\tfrac {1}{n}}V:n=1,2,\ldots \right\}$ является базисом окрестности в начале координат некоторой локально выпуклой топологии. $\tau _{V}$ на $X.$ Эта топология TVS $\tau _{V}$ задается функционалом Минковского, образованным формулой $V,$ $p_{V}:X\to \mathbb {R} ,$ что является полунормой $X$ определяется $p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r.$ Топология $\tau _{V}$ является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда $p_{V}$ является нормой или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $X/p_{V}^{-1}(0)=\{0\}$ или эквивалентно, для чего достаточно, чтобы $V$ быть ограниченным ​ $X.$ Топология $\tau _{V}$ не обязательно Хаусдорф, но $X/p_{V}^{-1}(0)$ является Хаусдорф. Норма на $X/p_{V}^{-1}(0)$ дается $\left\|x+X/p_{V}^{-1}(0)\right\|:=p_{V}(x),$ где это значение фактически не зависит от представителя класса эквивалентности $x+X/p_{V}^{-1}(0)$ выбран. Нормированное пространство $\left(X/p_{V}^{-1}(0),\|\cdot \|\right)$ обозначается $X_{V}$ и его завершение обозначается ${\overline {X_{V}}}.$

Если вдобавок $V$ ограничен $X$ тогда полунорма $p_{V}:X\to \mathbb {R}$ это норма, поэтому, в частности, $p_{V}^{-1}(0)=\{0\}.$ В этом случае мы берем $X_{V}$ быть векторным пространством $X$ вместо $X/\{0\}$ так что обозначение $X_{V}$ является однозначным (будь то $X_{V}$ обозначает пространство, индуцированное радиальным диском, или пространство, индуцированное ограниченным диском).

Фактортопология ​ $\tau _{Q}$ на $X/p_{V}^{-1}(0)$ (унаследовано от $X$исходная топология) тоньше (вообще говоря, строго тоньше), чем нормальная топология.

Канонические карты

Каноническое отображение - это фактор-отображение $q_{V}:X\to X_{V}=X/p_{V}^{-1}(0),$ который является непрерывным, когда $X_{V}$ имеет либо нормальную топологию, либо фактортопологию.

Если $U$ и $V$ являются радиальными дисками такими, что $U\subseteq V$затем $p_{U}^{-1}(0)\subseteq p_{V}^{-1}(0)$ поэтому существует непрерывное линейное сюръективное каноническое отображение $q_{V,U}:X/p_{U}^{-1}(0)\to X/p_{V}^{-1}(0)=X_{V}$ определяется отправкой $x+p_{U}^{-1}(0)\in X_{U}=X/p_{U}^{-1}(0)$ к классу эквивалентности $x+p_{V}^{-1}(0),$ где можно проверить, что определение не зависит от представителя класса эквивалентности $x+p_{U}^{-1}(0)$ то, что выбрано. Это каноническое отображение имеет норму $\,\leq 1$ и он имеет уникальное непрерывное линейное каноническое расширение на ${\overline {X_{U}}}$ что обозначается ${\overline {g_{V,U}}}:{\overline {X_{U}}}\to {\overline {X_{V}}}.$

Предположим, что кроме того $B\neq \varnothing$ и $C$ являются ограниченными дисками в $X$ с $B\subseteq C$ так что $X_{B}\subseteq X_{C}$ и включение $\operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}$ является непрерывным линейным отображением. Позволять $\operatorname {In} _{B}:X_{B}\to X,$ $\operatorname {In} _{C}:X_{C}\to X,$ и $\operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}$ быть каноническими картами. Затем $\operatorname {In} _{C}=\operatorname {In} _{B}^{C}\circ \operatorname {In} _{C}:X_{B}\to X_{C}$ и $q_{V}=q_{V,U}\circ q_{U}.$

Индуцированный ограниченным радиальным диском

Предположим, что $S$ представляет собой ограниченный радиальный диск. С $S$ является ограниченным диском, если $D:=S$ тогда мы можем создать вспомогательное нормированное пространство $X_{D}=\operatorname {span} D$ с нормой $p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r$; с $S$ является радиальным, $X_{S}=X.$ С $S$ является радиальным диском, если $V:=S$ тогда мы можем создать вспомогательное полунормированное пространство $X/p_{V}^{-1}(0)$ с полунормой $p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r$; потому что $S$ ограничена, эта полунорма является нормой и $p_{V}^{-1}(0)=\{0\}$ так $X/p_{V}^{-1}(0)=X/\{0\}=X.$ Таким образом, в этом случае два вспомогательных нормированных пространства, созданных этими двумя разными методами, дают одно и то же нормированное пространство.

Двойственность

Предположим, что $H$ представляет собой слабозамкнутый равностепенно непрерывный диск в $X^{\prime }$ (это означает, что $H$ слабо компактна) и пусть $$U:=H^{\circ }=\{x\in X:|h(x)|\leq 1{\text{ for all }}h\in H\}$$быть полярником ​ $H.$ Потому что $U^{\circ }=H^{\circ \circ }=H$ по биполярной теореме следует, что непрерывный линейный функционал $f$ принадлежит $X_{H}^{\prime }=\operatorname {span} H$ тогда и только тогда, когда $f$ принадлежит непрерывному двойственному пространству $\left(X,p_{U}\right),$ где $p_{U}$ – Минковского функционал $U$ определяется $p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r.$

Связанные понятия

Диск в ТВС называется инфраборноядным. если он поглотит все банаховы диски.

Линейное отображение между двумя TVS называется инфраограниченным. если он отображает банаховы диски в ограниченные диски.

Быстрая сходимость

Последовательность $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в ТВС $X$ говорят, что он быстро сходящийся в точку $x\in X$ если существует банахов диск $D$ такой, что оба $x$ и последовательность (в конечном итоге) содержится в $\operatorname {span} D$ и $x_{\bullet }\to x$ в $\left(X_{D},p_{D}\right).$

Любая быстро сходящаяся последовательность сходится по Макки .

См. также

• Борнологическое пространство - Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Инъективное тензорное произведение
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Ядерный оператор - линейный оператор, связанный с топологическими векторными пространствами.
• Ядерное пространство - обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.
• Начальная топология - самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными.
• Проективное тензорное произведение – тензорное произведение, определенное в двух топологических векторных пространствах. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическое векторное пространство Шварца - топологическое векторное пространство, окрестности начала координат которого обладают свойством, аналогичным определению полностью ограниченных подмножеств. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Тензорное произведение гильбертовых пространств - тензорное произведение, наделенное особым внутренним произведением.
• Топологическое тензорное произведение - конструкции тензорного произведения для топологических векторных пространств.
• Ультраборнологическое пространство

Библиография

• Бурзик, Юзеф; Гилсдорф, Томас Э. (1995). «Некоторые замечания о конвергенции Макки» (PDF) . Международный журнал математики и математических наук . 18 (4). Хиндави Лимитед: 659–664. дои : 10.1155/s0161171295000846 . ISSN   0161-1712 .
• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: новый взгляд на резюме Гротендика . Том. 16. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  9781470424831 . OCLC   185095773 .
• Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Конспект лекций по математике . Том. 720. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09504-0 . OCLC   5126156 .
• Гротендик, Александр (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском языке). 16 . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1216-7 . МР   0075539 . OCLC   1315788 .
• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс теории двойственности. Топология-борнология и ее использование в функциональном анализе . Математические исследования Северной Голландии. Том. 26. Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087137-0 . МР   0500064 . OCLC   316549583 .
• Хогбе-Нленд, Анри ; Москателли, В.Б. (1981). Ядерные и ядерные пространства: Вводный курс по ядерным и ядерным пространствам в свете двойственности «топология-борнология» . Математические исследования Северной Голландии. Том. 52. Амстердам, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  978-0-08-087163-9 . OCLC   316564345 .
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Питч, Альбрехт (1979). Ядерные локально выпуклые пространства . Результаты математики и ее пограничные области. Том 66 (Второе изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-0-387-05644-9 . OCLC   539541 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Райан, Раймонд А. (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Монографии Спрингера по математике . Лондон Нью-Йорк: Спрингер . ISBN  978-1-85233-437-6 . ОСЛК   48092184 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вонг, Яу-Чуэн (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Конспект лекций по математике . Том. 726. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09513-2 . OCLC   5126158 .

Внешние ссылки

• Ядерный космос в ncatlab