Топологическое векторное пространство Шварца

В функциональном анализе и смежных областях пространства математики Шварца представляют собой топологические векторные пространства (TVS), окрестности начала координат которых обладают свойством, аналогичным определению полностью ограниченных подмножеств. Эти пространства были введены Александром Гротендиком .

Определение

Хаусдорфово с локально выпуклое пространство X непрерывным двойственным $X^{\prime }$, X называется пространством Шварца , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Для каждой замкнутой выпуклой сбалансированной окрестности U начала координат в X существует окрестность V точки 0 в X такая, что для всех действительных r > 0 V может быть покрыта конечным числом сдвигов rU .
2. Каждое ограниченное подмножество X , полностью ограничено и для каждой замкнутой выпуклой сбалансированной окрестности U начала координат в X существует окрестность V точки 0 в X такая, что для всех действительных r > 0 существует ограниченное подмножество B из X такое, что В ⊆ Б + гU .

Характеристики

Всякое квазиполное пространство Шварца является полумонтелевским пространством . Каждое Фреше- пространство Шварца является пространством Монтеля .

Сильное дуальное пространство полного пространства Шварца является ультраборнологическим пространством .

Примеры и достаточные условия

• Векторное подпространство пространств Шварца является пространством Шварца.
• Факторпространство Шварца по замкнутому векторному подпространству снова является пространством Шварца.
• Декартово произведение любого семейства пространств Шварца снова является пространством Шварца.
• Слабая топология, индуцированная в векторном пространстве семейством линейных отображений со значениями в пространствах Шварца, является пространством Шварца, если слабая топология хаусдорфова.
• Локально выпуклый строгий индуктивный предел любой счетной последовательности пространств Шварца (каждое пространство TVS-вложено в следующее пространство) снова является пространством Шварца.

Контрпримеры

Всякое бесконечномерное нормированное пространство является не пространством Шварца.

Существуют пространства Фреше , не являющиеся пространствами Шварца, и существуют пространства Шварца, не являющиеся пространствами Монтеля .

См. также

• Вспомогательное нормированное помещение
• Пространство Монтеля - бочкообразное пространство, в котором замкнутые и ограниченные подмножества компактны.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1950). «О некоторых топологических векторных пространствах» . Анналы Института Фурье (на французском языке). 2 :5–16 (1951). дои : 10.5802/aif.16 . МР   0042609 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Баррельность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 692. Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-09096-0 . OCLC   4493665 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .