Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)

Об ограниченных множествах вообще см. ограниченное множество .

В функциональном анализе и смежных областях математики множество топологическом в векторном пространстве называется ограниченным или ограниченным по фон Нейману , если каждую окрестность нулевого вектора можно расширить , включив в него это множество. Множество, которое не ограничено, называется неограниченным .

Ограниченные множества являются естественным способом определения локально выпуклых полярных топологий на векторных пространствах в дуальной паре , поскольку полярное множество ограниченного множества является абсолютно выпуклым и поглощающим множеством . Понятие было впервые предложено Джоном фон Нейманом и Андреем Колмогоровым в 1935 году .

Определение

Предполагать $X$ представляет собой топологическое векторное пространство (ТВП) над полем $\mathbb {K} .$

Подмножество $B$ из $X$ называется по фон Нейману ограниченным или просто ограниченным по $X$ если выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

1. Определение : Для каждого района $V$ происхождения существует реальный $r>0$ такой, что $B\subseteq sV$ для всех скаляров $s$ удовлетворяющий $|s|\geq r.$
   • Это определение было введено Джоном фон Нейманом в 1935 году.
2. $B$ поглощается . каждой окрестностью начала координат
3. Для каждого района $V$ начала координат существует скаляр $s$ такой, что $B\subseteq sV.$
4. Для каждого района $V$ происхождения существует реальный $r>0$ такой, что $sB\subseteq V$ для всех скаляров $s$ удовлетворяющий $|s|\leq r.$
5. Для каждого района $V$ происхождения существует реальный $r>0$ такой, что $tB\subseteq V$ для всех реально $0<t\leq r.$
6. Любое из утверждений (1)–(5) выше, но с заменой слова «соседство» любым из следующих слов: « сбалансированное соседство», «открытое сбалансированное соседство», «закрытое сбалансированное соседство», «открытое соседство», «закрытое соседство». район".
   • например, утверждение (2) может стать: $B$ ограничен тогда и только тогда, когда $B$ поглощается каждой сбалансированной окрестностью начала координат.
   • Если $X$ , локально выпукло то к любой из этих 5 замен можно добавить прилагательное «выпуклый».
7. Для каждой последовательности скаляров $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ который сходится к $0$ и каждая последовательность $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots$ в $B,$ последовательность $s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots$ сходится к $0$ в $X.$
   • Это определение «ограниченного», которое Андрей Колмогоров использовал в 1934 году, оно совпадает с определением, введенным Станиславом Мазуром и Владиславом Орличем в 1933 году для метризуемого TVS. Колмогоров использовал это определение, чтобы доказать, что ТВС полунормируема тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную выпуклую окрестность начала координат.
8. Для каждой последовательности $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots$ в $B,$ последовательность ${\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ сходится к $0$ в $X.$
9. Каждое счетное подмножество $B$ ограничено (согласно любому определяющему условию, кроме этого).

Если ${\mathcal {B}}$ является основой соседства для $X$ в источнике, то этот список может быть расширен, включив в него:

10. Любое из утверждений (1)–(5) выше, но с окрестностями, ограниченными теми, которые принадлежат ${\mathcal {B}}.$
    • например, утверждение (3) может выглядеть так: Для каждого $V\in {\mathcal {B}}$ существует скаляр $s$ такой, что $B\subseteq sV.$

Если $X$ — локально выпуклое пространство, топология которого определяется семейством ${\mathcal {P}}$ непрерывных полунорм , то этот список можно расширить, включив в него:

11. $p(B)$ ограничен для всех $p\in {\mathcal {P}}.$
12. Существует последовательность ненулевых скаляров $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ такая, что для каждой последовательности $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots$ в $B,$ последовательность $b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots$ ограничен $X$ (согласно любому определяющему условию, кроме этого).
13. Для всех $p\in {\mathcal {P}},$ $B$ ограничено (согласно любому определяющему условию, кроме этого) в полунормированном пространстве $(X,p).$
14. B слабо ограничен, т. е. каждый непрерывный линейный функционал ограничен на B

Если $X$ это нормированное пространство с нормой $\|\cdot \|$ (или, в более общем смысле, если это полунормированное пространство и $\|\cdot \|$ это всего лишь полунорма ), то этот список можно расширить, включив в него:

14. $B$ является ограниченным по норме подмножеством $(X,\|\cdot \|).$ По определению это означает, что существует действительное число $r>0$ такой, что $\|b\|\leq r$ для всех $b\in B.$
15. $\sup _{b\in B}\|b\|<\infty .$
    • Таким образом, если $L:(X,\|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)$ является линейным отображением между двумя нормированными (или полунормированными) пространствами, и если $B$ — закрытый (или открытый) единичный шар в $(X,\|\cdot \|)$ с центром в начале координат, тогда $L$ — ограниченный линейный оператор (что, напомним, означает, что его операторная норма $\|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty$ конечно) тогда и только тогда, когда образ $L(B)$ этого мяча под $L$ является ограниченным по норме подмножеством $(Y,\|\cdot \|).$
16. $B$ является подмножеством некоторого (открытого или закрытого) шара.
    • Этот шар не обязательно должен быть центрирован в начале координат, но его радиус должен (как обычно) быть положительным и конечным.

Если $B$ является векторным подпространством TVS $X$ то этот список можно расширить, включив в него:

17. $B$ содержится в закрытии $\{0\}.$
    • Другими словами, векторное подпространство $X$ ограничено тогда и только тогда, когда оно является подмножеством (векторного пространства) $\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$
    • Напомним, что $X$ является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда $\{0\}$ закрыт в $X.$ Таким образом, единственным ограниченным векторным подпространством хаусдорфовой TVS является $\{0\}.$

Подмножество, которое не ограничено, называется неограниченным .

Борнология и фундаментальные системы ограниченных множеств

Коллекция всех ограниченных множеств в топологическом векторном пространстве. $X$ называется борнологией фон Неймана или канонической ) борнологией ( $X.$

Базовая фундаментальная или система ограниченных множеств $X$ это набор ${\mathcal {B}}$ ограниченных подмножеств $X$ такая, что каждое ограниченное подмножество $X$ является подмножеством некоторого $B\in {\mathcal {B}}.$ Множество всех ограниченных подмножеств $X$ тривиально образует фундаментальную систему ограниченных множеств $X.$

Примеры

В любой локально выпуклой ТВС множество замкнутых и ограниченных дисков является базой ограниченного множества.

Примеры и достаточные условия

Если не указано иное, топологическое векторное пространство (TVS) не обязательно должно быть хаусдорфовым или локально выпуклым .

• Конечные множества ограничены.
• Любое вполне ограниченное подмножество TVS ограничено.
• Каждое относительно компактное множество в топологическом векторном пространстве ограничено. Если пространство оснащено слабой топологией, верно и обратное.
• Множество точек последовательности Коши ограничено, множество точек Коши сети не обязательно должно быть ограниченным.
• Замыкание начала координат (имеется в виду замыкание множества $\{0\}$) всегда является ограниченным замкнутым векторным подпространством. Этот набор $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ является уникальным по величине (относительно включения множества $\,\subseteq \,$) ограниченное векторное подпространство $X.$ В частности, если $B\subseteq X$ является ограниченным подмножеством $X$ тогда так и есть $B+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.$

Неограниченные множества

Множество, которое не ограничено, называется неограниченным .

Любое векторное подпространство ТВС, не входящее в замыкание $\{0\}$ неограничен

Существует пространство Фреше $X$ имеющее ограниченное подмножество $B$ а также плотное векторное подпространство $M$ такой, что $B$ содержится не в замыкании (в $X$) любого ограниченного подмножества $M.$

Свойства стабильности

• В любом TVS конечные объединения , конечные суммы Минковского , скалярные кратные, сдвиги, подмножества, замыкания , внутренности и сбалансированные оболочки ограниченных множеств снова ограничены.
• В любом локально выпуклом TVS ( выпуклая оболочка также называемая выпуклой оболочкой ) ограниченного множества снова ограничена. Однако это может быть неверно, если пространство не является локально выпуклым, поскольку (нелокально выпуклое) пространство Lp $L^{p}$ места для $0<p<1$ не имеют нетривиальных открытых выпуклых подмножеств.
• Образ ограниченного множества при непрерывном линейном отображении является ограниченным подмножеством кодобласти.
• Подмножество произвольного (декартова) произведения ТВС ограничено тогда и только тогда, когда ограничен его образ при каждой координатной проекции.
• Если $S\subseteq X\subseteq Y$ и $X$ является топологическим векторным подпространством $Y,$ затем $S$ ограничен $X$ тогда и только тогда, когда $S$ ограничен $Y.$
  • Другими словами, подмножество $S\subseteq X$ ограничен $X$ тогда и только тогда, когда оно ограничено в каждом (или, что то же самое, в некотором) топологическом векторном суперпространстве $X.$

Характеристики

См. Также: Топологическое векторное пространство § Свойства.

Локально выпуклое топологическое векторное пространство имеет ограниченную окрестность нуля тогда и только тогда, когда его топология может быть определена одной полунормой .

Поляр множество ограниченного множества — абсолютно выпуклое и поглощающее .

Условие счетности Макки - Если $B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ — счетная последовательность ограниченных подмножеств метризуемого локально выпуклого топологического векторного пространства. $X,$ тогда существует ограниченное подмножество $B$ из $X$ и последовательность $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots$ положительных действительных чисел таких, что $B_{i}\subseteq r_{i}B$ для всех $i\in \mathbb {N}$ (или, что то же самое, такое, что ${\tfrac {1}{r_{1}}}B_{1}\cup {\tfrac {1}{r_{2}}}B_{2}\cup {\tfrac {1}{r_{3}}}B_{3}\cup \cdots \subseteq B$).

Используя определение равномерно ограниченных множеств , данное ниже, условие счетности Макки можно переформулировать как: Если $B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ являются ограниченными подмножествами метризуемого локально выпуклого пространства , то существует последовательность $t_{1},t_{2},t_{3},\ldots$ положительных действительных чисел таких, что $t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3},\ldots$ ограничены равномерно . Другими словами, для любого счетного семейства ограниченных множеств в метризуемом локально выпуклом пространстве можно масштабировать каждое множество по его собственному положительному вещественному числу так, чтобы оно стало равномерно ограниченным.

Обобщения

Равномерно ограниченные множества

См. Также: Принцип равномерной ограниченности.

Семейство наборов ${\mathcal {B}}$ подмножеств топологического векторного пространства $Y$ Говорят, что это равномерно ограничен в $Y,$ если существует некоторое ограниченное подмножество $D$ из $Y$ такой, что $$B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},$$что происходит тогда и только тогда, когда его объединение $$\cup {\mathcal {B}}~:=~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B$$ является ограниченным подмножеством $Y.$ В случае нормированного (или полунормированного ) пространства семейство ${\mathcal {B}}$ равномерно ограничено тогда и только тогда, когда его объединение $\cup {\mathcal {B}}$ ограничено по норме , что означает, что существует некоторая реальная $M\geq 0$ такой, что ${\textstyle \|b\|\leq M}$ для каждого $b\in \cup {\mathcal {B}},$ или, что то же самое, тогда и только тогда, когда ${\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|<\infty .}$

Набор $H$ карт из $X$ к $Y$ Говорят, что это равномерно ограничен на заданном множестве $C\subseteq X$ если семья $H(C):=\{h(C):h\in H\}$ равномерно ограничен в $Y,$ что по определению означает, что существует некоторое ограниченное подмножество $D$ из $Y$ такой, что $h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,$ или, что то же самое, тогда и только тогда, когда ${\textstyle \cup H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}$ является ограниченным подмножеством $Y.$ Набор $H$ линейных отображений между двумя нормированными (или полунормированными) пространствами $X$ и $Y$ равномерно ограничен на некотором (или, что то же самое, каждом) открытом шаре (и/или невырожденном замкнутом шаре) в $X$ тогда и только тогда, когда их операторные нормы равномерно ограничены; то есть тогда и только тогда, когда ${\textstyle \sup _{h\in H}\|h\|<\infty .}$

Предложение - Позволять $H\subseteq L(X,Y)$ быть набором непрерывных линейных операторов между двумя топологическими векторными пространствами $X$ и $Y$ и пусть $C\subseteq X$ быть любым ограниченным подмножеством $X.$ Затем $H$ равномерно ограничен $C$ (то есть семья $\{h(C):h\in H\}$ равномерно ограничен в $Y$), если выполняется любое из следующих условий:

1. $H$ является равнонепрерывным .
2. $C$ является выпуклым компактным хаусдорфовым подпространством ​ $X$ и для каждого $c\in C,$ орбита ​ $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ является ограниченным подмножеством $Y.$

скрывать Доказательство части (1)

Предполагать $H$ равнонепрерывно и пусть $W$ быть окрестностью начала координат в $Y.$ С $H$ равнонепрерывна, существует окрестность $U$ происхождения в $X$ такой, что $h(U)\subseteq W$ для каждого $h\in H.$ Потому что $C$ ограничен $X,$ существует какой-то реальный $r>0$ такое, что если $t\geq r$ затем $C\subseteq tU.$ Итак, для каждого $h\in H$ и каждый $t\geq r,$ $h(C)\subseteq h(tU)=th(U)\subseteq tW,$ что подразумевает, что ${\textstyle \bigcup _{h\in H}h(C)\subseteq tW.}$ Таким образом ${\textstyle \bigcup _{h\in H}h(C)}$ ограничен $Y.$ КЭД

показывать Доказательство части (2)

Let $W$ be a balanced neighborhood of the origin in $Y$ and let $V$ be a closed balanced neighborhood of the origin in $Y$ such that $V+V\subseteq W.$ Define $$E~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V),$$ which is a closed subset of $X$ (since $V$ is closed while every $h:X\to Y$ is continuous) that satisfies $h(E)\subseteq V$ for every $h\in H.$ Note that for every non-zero scalar $n\neq 0,$ the set $nE$ is closed in $X$ (since scalar multiplication by $n\neq 0$ is a homeomorphism) and so every $C\cap nE$ is closed in $C.$ It will now be shown that $C\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }nE,$ from which $C=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(C\cap nE)$ follows. If $c\in C$ then $H(c)$ being bounded guarantees the existence of some positive integer $n=n_{c}\in \mathbb {N}$ such that $H(c)\subseteq n_{c}V,$ where the linearity of every $h\in H$ now implies ${\tfrac {1}{n_{c}}}c\in h^{-1}(V);$ thus ${\tfrac {1}{n_{c}}}c\in \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)=E$ and hence $C\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }nE,$ as desired. Thus ${\textstyle C=(C\cap 1E)\cup (C\cap 2E)\cup (C\cap 3E)\cup \cdots }$expresses $C$ as a countable union of closed (in $C$) sets. Since $C$ is a nonmeager subset of itself (as it is a Baire space by the Baire category theorem), this is only possible if there is some integer $n\in \mathbb {N}$ such that $C\cap nE$ has non-empty interior in $C.$ Let $k\in \operatorname {Int} _{C}(C\cap nE)$ be any point belonging to this open subset of $C.$ Let $U$ be any balanced open neighborhood of the origin in $X$ such that $$C\cap (k+U)~\subseteq ~\operatorname {Int} _{C}(C\cap nE).$$ The sets $\{k+pU:p>1\}$ form an increasing (meaning $p\leq q$ implies $k+pU\subseteq k+qU$) cover of the compact space $C,$ so there exists some $p>1$ such that $C\subseteq k+pU$ (and thus ${\tfrac {1}{p}}(C-k)\subseteq U$). It will be shown that $h(C)\subseteq pnW$ for every $h\in H,$ thus demonstrating that $\{h(C):h\in H\}$ is uniformly bounded in $Y$ and completing the proof. So fix $h\in H$ and $c\in C.$ Let $$z~:=~{\tfrac {p-1}{p}}k+{\tfrac {1}{p}}c.$$ The convexity of $C$ guarantees $z\in C$ and moreover, $z\in k+U$ since $$z-k={\tfrac {-1}{p}}k+{\tfrac {1}{p}}c={\tfrac {1}{p}}(c-k)\in {\tfrac {1}{p}}(C-k)\subseteq U.$$ Thus $z\in C\cap (k+U),$ which is a subset of $\operatorname {Int} _{C}(C\cap nE).$ Since $nV$ is balanced and $|1-p|=p-1<p,$ we have $(1-p)nV\subseteq pnV,$ which combined with $h(E)\subseteq V$ gives$$pnh(E)+(1-p)nh(E)~\subseteq ~pnV+(1-p)nV~\subseteq ~pnV+pnV~\subseteq ~pn(V+V)~\subseteq ~pnW.$$Finally, $c=pz+(1-p)k$ and $k,z\in nE$ imply $$h(c)~=~ph(z)+(1-p)h(k)~\in ~pnh(E)+(1-p)nh(E)~\subseteq ~pnW,$$ as desired. Q.E.D.

Поскольку каждое одноэлементное подмножество $X$ также является ограниченным подмножеством, отсюда следует, что если $H\subseteq L(X,Y)$ представляет собой эквинепрерывное множество непрерывных линейных операторов между двумя топологическими векторными пространствами $X$ и $Y$ (не обязательно Хаусдорфова или локально выпуклая), то орбита ${\textstyle H(x):=\{h(x):h\in H\}}$ каждого $x\in X$ является ограниченным подмножеством $Y.$

Ограниченные подмножества топологических модулей

Определение ограниченных множеств можно обобщить на топологические модули . Подмножество $A$ топологического модуля $M$ над топологическим кольцом $R$ ограничено, если для любой окрестности $N$ из $0_{M}$ существует район $w$ из $0_{R}$ такой, что $wA\subseteq B.$

См. также

• Борнологическое пространство - Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Набор Bornivorous - набор, который может поглотить любое ограниченное подмножество.
• Ограниченная функция – математическая функция, набор значений которой ограничен.
• Ограниченный оператор - линейное преобразование между топологическими векторными пространствами.
• Граничная точка - математическое понятие, связанное с подмножествами векторных пространств.
• Компактное пространство - Тип математического пространства.
• Критерий нормируемости Колмогорова - Характеристика нормируемых пространств
• Локальная ограниченность
• Полностью ограниченное пространство . Обобщение компактности.

Ссылки

Примечания

Библиография

• Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-08662-8 . OCLC   297140003 .
• Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для аспирантов по математике. Том. 15. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-90081-0 . ОСЛК   878109401 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Том. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-97245-9 . OCLC   21195908 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Робертсон, AP; У. Дж. Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. Том. 53. Издательство Кембриджского университета . стр. 44–46.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Шефер, Х.Х. (1970). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 3. Шпрингер-Верлаг . стр. 25–26. ISBN  0-387-05380-8 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .