Нормированное векторное пространство

Иерархия математических пространств. Нормированные векторные пространства представляют собой надмножество пространств внутреннего произведения и подмножество метрических пространств , которые, в свою очередь, являются подмножеством топологических пространств .

В математике нормированное векторное пространство или нормированное пространство — это векторное пространство над действительными или комплексными числами, для которых норма . определена Норма — это обобщение интуитивного понятия «длины» в физическом мире. Если $V$ является векторным пространством над $K$, где $K$ поле равно $\mathbb {R}$ или чтобы $\mathbb {C}$, то норма на $V$ это карта $V\to \mathbb {R}$, обычно обозначается $\lVert \cdot \rVert$, удовлетворяющий следующим четырем аксиомам:

1. Неотрицательность: для каждого $x\in V$, $\;\lVert x\rVert \geq 0$.
2. Положительная определенность: для каждого $x\in V$, $\;\lVert x\rVert =0$ тогда и только тогда, когда $x$ – нулевой вектор.
3. Абсолютная однородность: для каждого $\lambda \in K$ и $x\in V$, $$\lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert$$
4. Неравенство треугольника : для каждого $x\in V$ и $y\in V$, $$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$$

Если $V$ является действительным или комплексным векторным пространством, как указано выше, и $\lVert \cdot \rVert$ это норма для $V$, то упорядоченная пара $(V,\lVert \cdot \rVert )$ называется нормированным векторным пространством. Если из контекста понятно, о какой норме идет речь, то нормированное векторное пространство принято обозначать просто как $V$.

Норма индуцирует расстояние , называемое ее (нормой) индуцированной метрикой , по формуле $$d(x,y)=\|y-x\|.$$ который превращает любое нормированное векторное пространство в метрическое и топологическое векторное пространство . Если это метрическое пространство полно , то нормированное пространство является банаховым . Каждое нормированное векторное пространство может быть «единственно расширено» до банахова пространства, что делает нормированные пространства тесно связанными с банаховыми пространствами. Каждое банахово пространство является нормированным, но обратное неверно. Например, множество конечных последовательностей действительных чисел может быть нормировано евклидовой нормой , но оно не является полным для этой нормы.

Пространство внутреннего продукта — это нормированное векторное пространство, норма которого равна квадратному корню из внутреннего произведения вектора и самого себя. Евклидова норма евклидова векторного пространства является частным случаем, позволяющим определить евклидово расстояние по формуле $$d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.$$

Изучение нормированных пространств и банаховых пространств является фундаментальной частью функционального анализа , основной области математики.

Определение

Смотрите также: Полунормированное пространство

Нормированное векторное пространство — это векторное пространство, снабженное нормой . А Полунормированное векторное пространство — векторное пространство, снабженное полунормой .

Полезная вариация неравенства треугольника : $$\|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||$$ для любых векторов $x$ и $y.$

Это также показывает, что векторная норма является (равномерно) непрерывной функцией .

Свойство 3 зависит от выбора нормы $|\alpha |$ на поле скаляров. Когда скалярное поле $\mathbb {R}$ (или, в более общем смысле, подмножество $\mathbb {C}$), обычно за это принимают обычное абсолютное значение , но возможны и другие варианты. Например, для векторного пространства над $\mathbb {Q}$ можно было бы взять $|\alpha |$ быть $p$- то есть абсолютное значение .

Топологическая структура

Если $(V,\|\,\cdot \,\|)$ — нормированное векторное пространство, норма $\|\,\cdot \,\|$ порождает метрику (понятие расстояния ) и, следовательно, топологию на $V.$ Эта метрика определяется естественным образом: расстояние между двумя векторами $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ дается $\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.$ Эта топология является самой слабой топологией, которая делает $\|\,\cdot \,\|$ непрерывен и совместим с линейной структурой $V$ в следующем смысле:

1. Сложение векторов $\,+\,:V\times V\to V$ является совместно непрерывным относительно этой топологии. Это следует непосредственно из неравенства треугольника .
2. Скалярное умножение $\,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,$ где $\mathbb {K}$ является основным скалярным полем $V,$ является совместно непрерывным. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы.

Аналогично для любого полунормированного векторного пространства мы можем определить расстояние между двумя векторами $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ как $\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.$ Это превращает полунормированное пространство в псевдометрическое пространство (обратите внимание, что оно слабее, чем метрика) и позволяет определить такие понятия, как непрерывность и сходимость . Говоря более абстрактно, каждое полунормированное векторное пространство является топологическим векторным пространством и, следовательно, несет топологическую структуру , индуцированную полунормой.

Особый интерес представляют полные нормированные пространства, известные как банаховы пространства . Каждое нормированное векторное пространство $V$ находится как плотное подпространство внутри некоторого банахова пространства; это банахово пространство по существу однозначно определяется формулой $V$ называется завершением и $V.$

Две нормы в одном и том же векторном пространстве называются эквивалентными, если они определяют одну и ту же топологию . В конечномерном векторном пространстве все нормы эквивалентны, но это неверно для бесконечномерных векторных пространств.

Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны с топологической точки зрения, поскольку они порождают одну и ту же топологию (хотя результирующие метрические пространства не обязательно должны быть одинаковыми). А поскольку любое евклидово пространство полно, мы можем заключить, что все конечномерные нормированные векторные пространства являются банаховыми пространствами. Нормированное векторное пространство $V$ тогда локально компактен и только тогда, когда единичный шар $B=\{x:\|x\|\leq 1\}$ компактен когда , что имеет место тогда и только тогда, $V$ конечномерен; это следствие леммы Рисса . (На самом деле верен более общий результат: топологическое векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Дело здесь в том, что мы не предполагаем, что топология возникает из нормы.)

Топология полунормированного векторного пространства обладает множеством интересных свойств. Учитывая систему соседства ${\mathcal {N}}(0)$ около 0 мы можем построить все остальные системы соседства как $${\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}$$ с $$x+N:=\{x+n:n\in N\}.$$

Более того, существует базис окрестности начала координат, состоящий из поглощающего и выпуклого множеств . Поскольку это свойство очень полезно в функциональном анализе , обобщения нормированных векторных пространств с этим свойством изучаются под названием локально выпуклых пространств .

Норма (или полунорма ) $\|\cdot \|$ в топологическом векторном пространстве $(X,\tau )$ непрерывна тогда и только тогда, когда топология $\tau _{\|\cdot \|}$ что $\|\cdot \|$ вызывает $X$ грубее , чем $\tau$ (значение, $\tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau$), что происходит тогда и только тогда, когда существует некоторый открытый шар $B$ в $(X,\|\cdot \|)$ (например, возможно $\{x\in X:\|x\|<1\}$ например), который открыт в $(X,\tau )$ (сказано по-другому, так что $B\in \tau$).

Нормируемые помещения

Смотрите также: Метризируемое топологическое векторное пространство § Нормируемость

Топологическое векторное пространство $(X,\tau )$ называется нормируемым, если существует норма $\|\cdot \|$ на $X$ такая, что каноническая метрика $(x,y)\mapsto \|y-x\|$ индуцирует топологию $\tau$ на $X.$ Следующая теорема принадлежит Колмогорову :

Критерий нормируемости Колмогорова : топологическое векторное пространство Хаусдорфа нормируемо тогда и только тогда, когда существует выпуклая ограниченная по фон Нейману окрестность $0\in X.$

Произведение семейства нормируемых пространств нормируется тогда и только тогда, когда конечное число пространств нетривиальны (т. е. $\neq \{0\}$). Кроме того, фактор нормируемого пространства $X$ замкнутым векторным подпространством $C$ является нормой, а если к тому же $X$топология задана нормой $\|\,\cdot ,\|$ тогда карта $X/C\to \mathbb {R}$ данный ${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$ является четко определенной нормой $X/C$ что индуцирует фактортопологию на $X/C.$

Если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством , то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ это нормально.
2. $X$ имеет ограниченную окрестность начала координат.
3. сильное двойное пространство $X_{b}^{\prime }$ из $X$ это нормально.
4. сильное двойное пространство $X_{b}^{\prime }$ из $X$ является метризуемым .

Более того, $X$ конечномерно тогда и только тогда, когда $X_{\sigma }^{\prime }$ является нормальным (здесь $X_{\sigma }^{\prime }$ обозначает $X^{\prime }$ наделен топологиейweak- * ).

Топология $\tau$ Фреше пространства $C^{\infty }(K),$ как определено в статье о пространствах основных функций и распределений , определяется счетным семейством норм, но не является нормируемым пространством, поскольку не существует какой-либо нормы. $\|\cdot \|$ на $C^{\infty }(K)$ такая, что топология, которую индуцирует эта норма, равна $\tau .$

Даже если метризуемое топологическое векторное пространство имеет топологию, определяемую семейством норм, оно, тем не менее, может не быть нормируемым пространством (это означает, что его топология не может быть определена какой-либо единственной нормой). Примером такого пространства является пространство Фреше. $C^{\infty }(K),$ определение которого можно найти в статье о пространствах основных функций и распределений , поскольку его топология $\tau$ определяется счетным семейством норм, но не является нормируемым пространством, поскольку не существует никакой нормы $\|\cdot \|$ на $C^{\infty }(K)$ такая, что топология, индуцируемая этой нормой, равна $\tau .$ Действительно, топология локально выпуклого пространства $X$ может быть определен семейством норм о $X$ тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна непрерывная норма на $X.$

Линейные карты и двойственные пространства

Наиболее важными отображениями между двумя нормированными векторными пространствами являются непрерывные линейные отображения . Вместе с этими отображениями нормированные векторные пространства образуют категорию .

Норма — это непрерывная функция в своем векторном пространстве. Все линейные отображения между конечномерными векторными пространствами также непрерывны.

Изометрия . между двумя нормированными векторными пространствами - это линейное отображение $f$ который сохраняет норму (имеется в виду $\|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|$ для всех векторов $\mathbf {v}$). Изометрии всегда непрерывны и инъективны . Сюръективная изометрия между нормированными векторными пространствами $V$ и $W$ называется изометрическим изоморфизмом и $V$ и $W$ называются изометрически изоморфными . Изометрически изоморфные нормированные векторные пространства идентичны для всех практических целей.

Говоря о нормированных векторных пространствах, мы дополняем понятие двойственного пространства, чтобы принять во внимание норму. Двойной $V^{\prime }$ нормированного векторного пространства $V$ — пространство всех непрерывных линейных отображений из $V$ к базовому полю (комплексам или числам) — такие линейные отображения называются «функционалами». Норма функционального $\varphi$ определяется как верхняя граница $|\varphi (\mathbf {v} )|$ где $\mathbf {v}$ распространяется по всем единичным векторам (т. е. векторам нормы $1$) в $V.$ Это превращает $V^{\prime }$ в нормированное векторное пространство. Важной теоремой о непрерывных линейных функционалах в нормированных векторных пространствах является теорема Хана–Банаха .

Нормированные пространства как фактор-пространства полунормированных пространств

Определение многих нормированных пространств (в частности, банаховых пространств ) включает полунорму, определенную в векторном пространстве, а затем нормированное пространство определяется как факторпространство по подпространству элементов нулевой полунормы. Например, с $L^{p}$ пробелы , функция, определяемая $$\|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}$$ является полунормой в векторном пространстве всех функций, на которых интеграл Лебега в правой части определен и конечен. Однако полунорма равна нулю для любой функции, поддерживаемой на множестве нулевой меры Лебега . Эти функции образуют подпространство, которое мы «факторизируем», делая их эквивалентными нулевой функции.

Конечные пространства продуктов

Данный $n$ полунормированные пространства $\left(X_{i},q_{i}\right)$ с полунормами $q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,$ обозначим пространство продукта через $$X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}$$ где сложение векторов определяется как $$\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)$$ и скалярное умножение, определяемое как $$\alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).$$

Определить новую функцию $q:X\to \mathbb {R}$ к $$q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),$$ что является полунормой $X.$ Функция $q$ является нормой тогда и только тогда, когда все $q_{i}$ являются нормами.

В более общем плане для каждого реального $p\geq 1$ карта $q:X\to \mathbb {R}$ определяется $$q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$$ это полунорма. Для каждого $p$ это определяет одно и то же топологическое пространство.

Прямой аргумент с использованием элементарной линейной алгебры показывает, что единственными конечномерными полунормированными пространствами являются те, которые возникают как произведение пространства нормированного пространства и пространства с тривиальной полунормой. Следовательно, многие из наиболее интересных примеров и применений полунормированных пространств встречаются в бесконечномерных векторных пространствах.

См. также

• Банахово пространство , нормированные векторные пространства, полные относительно метрики, индуцированной нормой
• Компакт Банаха – Мазура - концепция функционального анализа.
• Финслерово многообразие , где длина каждого касательного вектора определяется нормой
• Пространство внутреннего продукта , нормированные векторные пространства, где норма задается внутренним продуктом.
• Критерий нормируемости Колмогорова - Характеристика нормируемых пространств
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Пространство (математика) - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Библиография

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Математические монографии (на французском языке). Том 1. Варшава: Субсидии Фонда национальной культуры. Збл   0005.20901 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.
• Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: Линейные системы , Математика и ее приложения (Восточноевропейская серия), том. 29 (Перевод с польского под ред. Евы Беднарчук), Дордрехт; Варшава: Издательство Д. Рейделя; PWN — Польское научное издательство, стр. xvi+524, doi : 10.1007/978-94-015-7758-8 , ISBN.  90-277-2186-6 , МР   0920371 , OCLC   13064804
• Шефер, Х.Х. (1999). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с нормированными пространствами, на Викискладе?