Локальная ограниченность

В математике функция , называется локально ограниченной если она ограничена вокруг каждой точки. Семейство , функций локально ограничено если для любой точки области определения все функции ограничены вокруг этой точки и одним и тем же числом.

Локально ограниченная функция

Функция действительным или комплексным знаком с $f$ определенный в некотором топологическом пространстве $X$ называется локально ограниченный функционал, если для любого $x_{0}\in X$ существует район $A$ из $x_{0}$ такой, что $f(A)$ является ограниченным множеством . То есть для некоторого числа $M>0$ у одного есть $|f(x)|\leq M\quad {\text{ for all }}x\in A.$

Другими словами, для каждого $x$ можно найти константу в зависимости от $x,$ что больше всех значений функции в окрестности $x.$ Сравните это с ограниченной функцией , у которой константа не зависит от $x.$ Очевидно, что если функция ограничена, то она локально ограничена. Обратное, вообще говоря, неверно (см. ниже).

Это определение можно распространить на случай, когда $f:X\to Y$ принимает значения в некотором метрическом пространстве $(Y,d).$ Тогда приведенное выше неравенство необходимо заменить на $d(f(x),y)\leq M\quad {\text{ for all }}x\in A,$ где $y\in Y$ — некоторая точка метрического пространства. Выбор $y$ не влияет на определение; выбирая другое $y$ самое большее увеличит константу $r$ для которого это неравенство верно.

Примеры

Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$ ограничено, поскольку $0\leq f(x)\leq 1$ для всех $x.$ Следовательно, оно также локально ограничено.

Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $f(x)=2x+3$ не ограничено , поскольку становится сколь угодно большим. Однако оно локально ограничено, поскольку для каждого $a,$ $|f(x)|\leq M$ по соседству $(a-1,a+1),$ где $M=2|a|+5.$

Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&{\mbox{if }}x\neq 0,\\0,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}$ не является ни ограниченным , ни локально ограниченным. В любой окрестности 0 эта функция принимает значения сколь угодно большой величины.

Любая непрерывная функция локально ограничена. Вот доказательство для функций действительной переменной. Позволять $f:U\to \mathbb {R}$ быть непрерывным, где $U\subseteq \mathbb {R} ,$ и мы это покажем $f$ локально ограничен в $a$ для всех $a\in U$ Учитывая ε = 1 в определении непрерывности, существует $\delta >0$ такой, что $|f(x)-f(a)|<1$ для всех $x\in U$ с $|x-a|<\delta$ . Теперь по неравенству треугольника , $|f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(a)|<1+|f(a)|,$ это означает, что $f$ локально ограничен в $a$ (принимая $M=1+|f(a)|$ и окрестности $(a-\delta ,a+\delta )$ ). Этот аргумент легко обобщается на случай, когда область $f$ – любое топологическое пространство.

Однако обратное приведенному выше результату неверно; то есть разрывная функция может быть локально ограничена. Например, рассмотрим функцию $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ данный $f(0)=1$ и $f(x)=0$ для всех $x\neq 0.$ Затем $f$ разрывен в 0, но $f$ локально ограничен; он локально постоянен, за исключением нуля, где мы можем взять $M=1$ и окрестности $(-1,1),$ например.

Местная семья

Набор . (также называемый семейством ) U вещественных или комплекснозначных функций, определенных в некотором топологическом пространстве $X$ называется локально ограниченным, если для любого $x_{0}\in X$ существует район $A$ из $x_{0}$ и положительное число $M>0$ такой, что $|f(x)|\leq M$ для всех $x\in A$ и $f\in U.$ Другими словами, все функции в семействе должны быть локально ограничены, и вокруг каждой точки они должны быть ограничены одной и той же константой.

Это определение можно распространить и на случай, когда функции семейства U принимают значения в некотором метрическом пространстве, снова заменив абсолютное значение функцией расстояния.

Примеры

Семейство функций $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f_{n}(x)={\frac {x}{n}}$ где $n=1,2,\ldots$ является локально ограниченным. Действительно, если $x_{0}$ действительное число, можно выбрать окрестность $A$ быть интервалом $\left(x_{0}-a,x_{0}+1\right).$ Тогда для всех $x$ в этом интервале и для всех $n\geq 1$ у одного есть $|f_{n}(x)|\leq M$ с $M=1+|x_{0}|.$ Более того, семейство равномерно ограничено , поскольку ни окрестность $A$ ни константа $M$ зависеть от индекса $n.$

Семейство функций $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f_{n}(x)={\frac {1}{x^{2}+n^{2}}}$ локально ограничено, если $n$ больше нуля. Для любого $x_{0}$ можно выбрать район $A$ быть $\mathbb {R}$ сам. Тогда у нас есть $|f_{n}(x)|\leq M$ с $M=1.$ Обратите внимание, что значение $M$ не зависит от выбора x ₀ или его окрестности $A.$ Тогда это семейство не только локально ограничено, но и равномерно ограничено.

Семейство функций $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f_{n}(x)=x+n$ является не локально ограниченным. Действительно, для любого $x$ ценности $f_{n}(x)$ не может быть ограничено как $n$ стремится к бесконечности.

Топологические векторные пространства

Локальная ограниченность может также относиться к свойству топологических векторных пространств или функций из топологического пространства в топологическое векторное пространство (TVS).

Локально ограниченные топологические векторные пространства

Подмножество $B\subseteq X$ топологического векторного пространства (ТВП) $X$ называется ограниченным , если для каждой окрестности $U$ происхождения в $X$ существует действительное число $s>0$ такой, что $B\subseteq tU\quad {\text{ for all }}t>s.$ А локально ограниченная ТВС – это ТВС, имеющая ограниченную окрестность начала координат. По критерию нормируемости Колмогорова это верно для локально выпуклого пространства тогда и только тогда, когда топология ТВС индуцирована некоторой полунормой . В частности, всякая локально ограниченная TVS псевдометризуема .

Локально ограниченные функции

Позволять $f:X\to Y$ Функция между топологическими векторными пространствами называется локально ограниченной функцией, если каждая точка $X$ есть район, изображение которого под $f$ ограничен.

Следующая теорема связывает локальную ограниченность функций с локальной ограниченностью топологических векторных пространств:

Теорема. Топологическое векторное пространство

X

локально ограничено тогда и только тогда, когда тождественное отображение

\operatorname {id} _{X}:X\to X

является локально ограниченным.

См. также

Борнологическое пространство - Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
Ограниченный оператор - линейное преобразование между топологическими векторными пространствами.
Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) - Обобщение ограниченности

Внешние ссылки

v т и Ограниченность и борнология
Basic concepts	Barrelled space Bounded set Bornological space (Vector) Bornology
Operators	(Un)Bounded operator Uniform boundedness principle
Subsets	Barrelled set Bornivorous set Saturated family
Related spaces	(Countably) Barrelled space (Countably) Quasi-barrelled space Infrabarrelled space (Quasi-) Ultrabarrelled space Ultrabornological space

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

v т и Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category