Теорема Бэра о категориях

Теорема Бэра о категориях ( BCT ) является важным результатом в общей топологии и функциональном анализе . Теорема имеет две формы, каждая из которых дает достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство было пространством Бэра (топологическое пространство такое, что пересечение плотных счетного числа открытых множеств все еще плотно). Он используется при доказательстве результатов во многих областях анализа и геометрии , включая некоторые фундаментальные теоремы функционального анализа .

Версии теоремы Бэра о категории были впервые независимо доказаны в 1897 году Осгудом для вещественной прямой . $\mathbb {R}$ и в 1899 году Бэром ^[1] для евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ . ^[2] Более общее утверждение для вполне метризуемых пространств было впервые показано Хаусдорфом. ^[3] в 1914 году.

Заявление [ править ]

Пространство Бэра — это топологическое пространство. $X$ в котором каждое счетное пересечение открытых плотных множеств плотно в $X.$ Список эквивалентных характеристик см. в соответствующей статье, поскольку некоторые из них более полезны, чем другие, в зависимости от применения.

( BCT1 ) Каждое полное псевдометрическое пространство является пространством Бэра. ^[4]^[5]^[6] В частности, всякое вполне метризуемое топологическое пространство является пространством Бэра. ^[7]
( BCT2 ) Каждое локально компактное регулярное пространство является пространством Бэра. ^[4]^[8] В частности, каждое локально компактное хаусдорфово пространство является пространством Бэра. ^[9]^[7]

Ни одно из этих утверждений непосредственно не влечет другого, поскольку существуют полные метрические пространства, которые не являются локально компактными ( иррациональные числа с метрикой, определенной ниже, а также любое банахово пространство ) бесконечной размерности , а также существуют локально компактные хаусдорфовы пространства, которые не являются метризуемым (например, таковым является любое несчетное произведение нетривиальных компактов Хаусдорфа; также некоторые функциональные пространства, используемые в функциональном анализе; несчетное пространство Форта ). См. Стина и Зеебаха в ссылках ниже.

выбора аксиоме Отношение к

Доказательство BCT1 для произвольных полных метрических пространств требует некоторой формы аксиомы выбора ; и фактически BCT1 эквивалентен над ZF аксиоме зависимого выбора , слабой форме аксиомы выбора. ^[10]

Ограниченная форма теоремы Бэра о категориях, в которой полное метрическое пространство также предполагается сепарабельным , доказуема в ZF без каких-либо дополнительных принципов выбора. ^[11] Эта ограниченная форма применима, в частности, к действительной прямой , пространству Бэра. $\omega ^{\omega },$ Кантора пространство $2^{\omega },$ и сепарабельное гильбертово пространство , такое как $L^{p}$ -космос $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ .

Использует [ править ]

BCT1 используется в функциональном анализе для доказательства теоремы об открытом отображении , теоремы о замкнутом графике и принципа равномерной ограниченности .

BCT1 что каждое непустое полное метрическое пространство без изолированной точки несчетно также показывает , . (Если $X$ — непустое счетное метрическое пространство без изолированной точки, то каждый одноэлементный элемент $\{x\}$ в $X$ нигде не густо , и $X$ само по себе скудно .) В частности, это доказывает , что множество всех действительных чисел несчетно.

BCT1 показывает, что каждое из следующих значений является пространством Бэра:

Космос $\mathbb {R}$ действительных чисел
Иррациональные числа с метрикой, определяемой $d(x,y)={\tfrac {1}{n+1}},$ где $n$ - это первый индекс, для которого цепной дроби разложение $x$ и $y$ различаются (это полное метрическое пространство)
Кантора Набор

По BCT2 каждое конечномерное хаусдорфово многообразие является пространством Бэра, поскольку оно локально компактно и хаусдорфово. Это справедливо даже для непаракомпактных ( следовательно, неметризуемых) многообразий, таких как длинная линия .

BCT используется для доказательства теоремы Хартогса — фундаментального результата в теории нескольких комплексных переменных.

BCT1 используется для доказательства того, что банахово пространство не может иметь счетную бесконечную размерность.

Доказательство [ править ]

( BCT1 ) Ниже приводится стандартное доказательство того, что полное псевдометрическое пространство $X$ является пространством Бэра. ^[6]

Позволять $U_{1},U_{2},\ldots$ — счетная совокупность открытых плотных подмножеств. Осталось показать, что пересечение $U_{1}\cap U_{2}\cap \ldots$ плотный. Подмножество плотно тогда и только тогда, когда каждое непустое открытое подмножество пересекает его. Таким образом, чтобы показать, что пересечение плотно, достаточно показать, что любое непустое открытое подмножество $W$ из $X$ имеет какой-то смысл $x$ общее со всеми $U_{n}$ . Потому что $U_{1}$ плотный, $W$ пересекает $U_{1};$ следовательно, существует точка $x_{1}$ и номер $0<r_{1}<1$ такой, что:

{\overline {B}}\left(x_{1},r_{1}\right)\subseteq W\cap U_{1}

где

B(x,r)

и

{\overline {B}}(x,r)

обозначают открытый и закрытый шар соответственно с центром в

x

с радиусом

r.

Поскольку каждый

U_{n}

плотна, эту конструкцию можно рекурсивно продолжить, чтобы найти пару последовательностей

x_{n}

и

0<r_{n}<{\tfrac {1}{n}}

такой, что:

{\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)\subseteq B\left(x_{n-1},r_{n-1}\right)\cap U_{n}.

(Этот шаг основан на аксиоме выбора и на том факте, что конечное пересечение открытых множеств открыто и, следовательно, внутри него можно найти открытый шар с центром в точке $x_{n}$ .) Последовательность $\left(x_{n}\right)$ является Коши , потому что $x_{n}\in B\left(x_{m},r_{m}\right)$ в любое время $n>m,$ и поэтому $\left(x_{n}\right)$ сходится к некоторому пределу $x$ по полноте. Если $n$ является положительным целым числом, тогда $x\in {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)$ (поскольку это множество закрыто). Таким образом $x\in W$ и $x\in U_{n}$ для всех $n.$ $\blacksquare$

Существует альтернативное доказательство с использованием игры Шоке . ^[12]

( BCT2 ) Доказательство того, что локально компактное регулярное пространство $X$ является пространством Бэра аналогично. ^[8]Он использует тот факт, что (1) в таком пространстве каждая точка имеет локальную базу из замкнутых компактных окрестностей; и (2) в компакте любой набор замкнутых множеств со свойством конечного пересечения имеет непустое пересечение. Результат для локально компактных хаусдорфовых пространств является частным случаем, поскольку такие пространства регулярны.

Примечания [ править ]

^ Бэр, Р. (1899). «О функциях действительных переменных» . Анна. Ди Мат . 3 :1–123.
^ Бурбаки 1989 , Историческая справка, стр. 272.
^ Энгелькинг 1989 , Историко-библиографические примечания к разделу 4.3, с. 277.
^ Перейти обратно: ^а ^б Келли 1975 , теорема 34, с. 200.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , Теорема 11.7.2, с. 393.
^ Перейти обратно: ^а ^б Шехтер 1996 , Теорема 20.16, с. 537.
^ Перейти обратно: ^а ^б Уиллард 2004 , Следствие 25.4.
^ Перейти обратно: ^а ^б Шехтер 1996 , Теорема 20.18, с. 538.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , Теорема 11.7.3, с. 394.
^ Блэр, Чарльз Э. (1977). «Теорема Бэра о категориях подразумевает принцип зависимого выбора». Бык. акад. Полон. наук. Сер. наук. Математика. Астрон. Физ . 25 (10): 933–934.
^ Леви 2002 , с. 212.
^ Бейкер, Мэтт (7 июля 2014 г.). «Действительные числа и бесконечные игры, часть II: игра Шоке и теорема Бэра о категориях» .

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Полет. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4 . ОСЛК 246032063 .
Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4 .
Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1 . ОСЛК 338047 .
Леви, Азриэль (2002) [Впервые опубликовано в 1979 году]. Базовая теория множеств (переиздание). Дувр. ISBN 0-486-42079-5 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1978). Контрпримеры в топологии . Нью-Йорк: Springer-Verlag. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1995 г. ISBN 0-486-68735-X (Дуврское издание).
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Бэр, Р. (1899). «О функциях действительных переменных» . Анна. Ди Мат . 3 :1–123.

[FOOTNOTEBourbaki1989Historical_Note,_p._272-2] Бурбаки 1989 , Историческая справка, стр. 272.

[FOOTNOTEEngelking1989Historical_and_bibliographic_notes_to_section_4.3,_p._277-3] Энгелькинг 1989 , Историко-библиографические примечания к разделу 4.3, с. 277.

[FOOTNOTEKelley1975theorem_34,_p._200-4] Перейти обратно: ^а ^б Келли 1975 , теорема 34, с. 200.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011Theorem_11.7.2,_p._393-5] Наричи и Бекенштейн 2011 , Теорема 11.7.2, с. 393.

[FOOTNOTESchechter1996Theorem_20.16,_p._537-6] Перейти обратно: ^а ^б Шехтер 1996 , Теорема 20.16, с. 537.

[FOOTNOTEWillard2004Corollary_25.4-7] Перейти обратно: ^а ^б Уиллард 2004 , Следствие 25.4.

[FOOTNOTESchechter1996Theorem_20.18,_p._538-8] Перейти обратно: ^а ^б Шехтер 1996 , Теорема 20.18, с. 538.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011Theorem_11.7.3,_p._394-9] Наричи и Бекенштейн 2011 , Теорема 11.7.3, с. 394.

[10] Блэр, Чарльз Э. (1977). «Теорема Бэра о категориях подразумевает принцип зависимого выбора». Бык. акад. Полон. наук. Сер. наук. Математика. Астрон. Физ . 25 (10): 933–934.

[FOOTNOTELevy2002212-11] Леви 2002 , с. 212.

[12] Бейкер, Мэтт (7 июля 2014 г.). «Действительные числа и бесконечные игры, часть II: игра Шоке и теорема Бэра о категориях» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]