Полностью метризуемое пространство
В математике пространство вполне метризуемое [1] ( метрически топологически полное пространство [2] ) — топологическое пространство ( X , T ), для которого существует хотя бы одна метрика d на X такая, что ( , d ) — полное метрическое пространство и d индуцирует топологию T. X Термин топологически полное пространство используется некоторыми авторами как синоним вполне метризуемого пространства . [3] но иногда также используется для других классов топологических пространств, например полностью униформизируемых пространств. [4] или чешско-полные пробелы .
между пространством и пространством полностью метризуемым Разница полным метрическим
Различие между вполне метризуемым пространством и полным метрическим пространством заключается в том, что существует хотя бы одна метрика в определении вполне метризуемого пространства , что не то же самое, что задана метрика (последняя дала бы определение полного метрическое пространство). Сделав выбор метрики на вполне метризуемом пространстве (из всех полных метрик, совместимых с топологией), мы получаем полное метрическое пространство. Другими словами, категория вполне метризуемых пространств является подкатегорией топологических пространств, а категория полных метрических пространств - нет (вместо этого она является подкатегорией категории метрических пространств). Полная метризуемость — топологическое свойство, а полнота — свойство метрики. [5]
Примеры [ править ]
- Пространство (0,1) ⊂ R , открытый единичный интервал, не является полным метрическим пространством с его обычной метрикой, унаследованной от , но оно полностью метризуемо, гомеоморфно R. R поскольку [6]
- Пространство Q рациональных чисел с топологией подпространства, унаследованной от R, метризуемо, но не полностью метризуемо. [7]
Свойства [ править ]
- Топологическое пространство и G δ в X вполне метризуемо тогда и только тогда, когда X метризуемо его компактификации Стоуна – Чеха β X . [8]
- Подпространство вполне метризуемого пространства X вполне метризуемо тогда и только тогда, когда оно есть G δ в X . [9]
- Счетное произведение непустых метризуемых пространств вполне метризуемо в топологии произведения тогда и только тогда, когда каждый фактор вполне метризуем. [10] Следовательно, произведение непустых метризуемых пространств вполне метризуемо тогда и только тогда, когда не более чем счетное число факторов имеет более одной точки и каждый фактор вполне метризуем. [11]
- Для всякого метризуемого пространства существует вполне метризуемое пространство, содержащее его как плотное подпространство, так как всякое метрическое пространство имеет пополнение . [12] Вообще говоря, таких вполне метризуемых пространств много, поскольку пополнения топологического пространства относительно различных метрик, совместимых с его топологией, могут давать топологически разные пополнения.
топологические Полностью метризуемые группы абелевы
Когда речь идет о пространствах с большей структурой, чем просто топология, таких как топологические группы , естественным смыслом слов «полностью метризуемый», возможно, является существование полной метрики, которая также совместима с этой дополнительной структурой, в дополнение к индуцированию ее топологии. Для абелевых топологических групп и топологических векторных пространств «совместимость с дополнительной структурой» может означать, что метрика инвариантна относительно сдвигов.
Однако никакой путаницы не может возникнуть, когда речь идет о полной метризуемости абелевой топологической группы или топологического векторного пространства: можно доказать, что каждая абелева топологическая группа (а, следовательно, и каждое топологическое векторное пространство), полностью метризуемая как топологическое пространство (т. е. , допускает полную метрику, индуцирующую его топологию) также допускает инвариантную полную метрику, индуцирующую его топологию. [13]
Это означает, например, что каждое вполне метризуемое топологическое векторное пространство является полным. Действительно, топологическое векторное пространство называется полным тогда и только тогда, когда его однородность (индуцированная его топологией и операцией сложения) является полной; однородность, индуцированная трансляционно-инвариантной метрикой, индуцирующей топологию, совпадает с исходной однородностью.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Уиллард, Определение 24.2
- ^ Келли, Задача 6.К, с. 207
- ^ например, Стин и Зеебах, I §5: Полные метрические пространства
- ^ Келли, Задача 6.L, с. 208
- ^ Уиллард 1970, раздел 24.
- ^ Уиллард, Глава 24
- ^ Уиллард, Упражнение 25А.
- ^ Уиллард, Теорема 24.13
- ^ Уиллард, Глава 24
- ^ Уиллард, Глава 24
- ^ Потому что произведение непустых метризуемых пространств метризуемо тогда и только тогда, когда не более чем счетное число факторов имеет более одной точки (Уиллард, глава 22).
- ^ Уиллард, Глава 24
- ^ Клее, В.Л. (1952). «Инвариантные метрики в группах (решение проблемы Банаха)» (PDF) . Учеб. амер. Математика. Соц . 3 (3): 484–487. дои : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .
Ссылки [ править ]
- Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Спрингер. ISBN 0-387-90125-6 .
- Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1970). Контрпримеры в топологии . Холт, Райнхарт и Winston, Inc. ISBN 978-0-03-079485-8 .
- Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Издательство Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-08707-9 .