Эквивалентность метрик

В математике две метрики в одном и том же базовом наборе называются эквивалентными, если полученные метрические пространства обладают определенными свойствами. Эквивалентность — более слабое понятие, чем изометрия ; эквивалентные показатели не обязательно должны быть буквально одинаковыми. Вместо этого это один из нескольких способов обобщения эквивалентности норм на общие метрические пространства.

На протяжении всей статьи $X$ будет обозначать непустое множество и $d_{1}$ и $d_{2}$ будет обозначать две метрики на $X$.

эквивалентность

Две метрики $d_{1}$ и $d_{2}$ называются топологически эквивалентными, если они порождают одну и ту же топологию на $X$. Наречие топологически часто опускается. Есть несколько способов выразить это состояние:

• подмножество $A\subseteq X$ является $d_{1}$- открыто тогда и только тогда, когда оно есть $d_{2}$-открыть;
• открытое «гнездо» шаров : для любой точки $x\in X$ и любой радиус $r>0$, существуют радиусы $r',r''>0$ такой, что
  $$B_{r'}(x;d_{1})\subseteq B_{r}(x;d_{2}){\text{ and }}B_{r''}(x;d_{2})\subseteq B_{r}(x;d_{1}).$$
• функция идентичности $I:(X,d_{1})\to (X,d_{2})$ является непрерывным с непрерывным обратным ; то есть это гомеоморфизм .

Следующие условия являются достаточными, но не необходимыми для топологической эквивалентности:

• существует строго возрастающая, непрерывная и субаддитивная $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ такой, что $d_{2}=f\circ d_{1}$.
• для каждого $x\in X$, существуют положительные константы $\alpha$ и $\beta$ такой, что для каждой точки $y\in X$,
  $$\alpha d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta d_{1}(x,y).$$

Сильная эквивалентность

Две метрики $d_{1}$ и $d_{2}$ на X эквивалентны сильно или билипшицево тогда и только тогда , или равномерно эквивалентны когда существуют положительные константы $\alpha$ и $\beta$ такой, что для каждого $x,y\in X$,

$\alpha d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta d_{1}(x,y).$

В отличие от достаточного условия топологической эквивалентности, перечисленного выше, сильная эквивалентность требует, чтобы существовал единственный набор констант, который выполняется для каждой пары точек в $X$, а не потенциально разные константы, связанные с каждой точкой $X$.

Сильная эквивалентность двух метрик влечет за собой топологическую эквивалентность, но не наоборот. Например, метрики $d_{1}(x,y)=|x-y|$ и $d_{2}(x,y)=|\tan(x)-\tan(y)|$ на интервале $\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$ топологически эквивалентны, но не сильно эквивалентны. Фактически этот интервал ограничен по одной из этих метрик, но не по другой. С другой стороны, сильная эквивалентность всегда переводит ограниченные множества в ограниченные множества.

Связь с эквивалентностью норм

Когда X — векторное пространство и две метрики $d_{1}$ и $d_{2}$ вызваны нормами $\|\cdot \|_{A}$ и $\|\cdot \|_{B}$соответственно, то сильная эквивалентность эквивалентна условию, что для всех $x\in X$,

$$\alpha \|x\|_{A}\leq \|x\|_{B}\leq \beta \|x\|_{A}$$

Для линейных операторов между нормированными векторными пространствами липшицева непрерывность эквивалентна непрерывности — оператор, удовлетворяющий любому из этих условий, называется ограниченным . Следовательно, в данном случае $d_{1}$ и $d_{2}$ топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда они сильно эквивалентны; нормы $\|\cdot \|_{A}$ и $\|\cdot \|_{B}$ просто говорят, что они эквивалентны.

В конечномерных векторных пространствах все метрики, индуцированные нормой, включая евклидову метрику , метрику такси и расстояние Чебышева , эквивалентны.

Свойства, сохраняемые эквивалентностью

• Непрерывность равномерная функции сохраняется, если область определения или диапазон повторно метризуются эквивалентной метрикой, но непрерывность сохраняется только сильно эквивалентными метриками.
• Дифференцируемость ​ функции $f:U\to V$, для $V$ нормированное пространство и $U$ подмножество нормированного пространства сохраняется, если область определения или диапазон перенормируются строго эквивалентной нормой.
• Метрика, сильно эквивалентная полной метрике, также является полной; то же самое нельзя сказать об эквивалентных метриках, поскольку гомеоморфизмы не сохраняют полноту. Например, поскольку $(0,1)$ и $\mathbb {R}$ гомеоморфны, гомеоморфизм индуцирует метрику на $(0,1)$ который является полным, потому что $\mathbb {R}$ есть, и генерирует ту же топологию, что и обычная, но $(0,1)$ с обычной метрикой не является полной, поскольку последовательность $(2^{-n})_{n\in \mathbb {N} }$ является Коши, но не сходится. (Это не Коши в индуцированной метрике.)

Ссылки

• Ричард Л. Бишоп ; Сэмюэл И. Голдберг (1980). Тензорный анализ на многообразиях . Дуврские публикации.
• Каротерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-49756-6 .
• Анри Картан (1971). Дифференциальное исчисление . Кершоу Паблишинг Компани ЛТД. ISBN  0-395-12033-0 .
• Эфе Ок (2007). Реальный анализ с применением экономических приложений . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-11768-3 .