Лемма о трубке

В математике , особенно в топологии , лемма о трубке , также называемая теоремой Уоллеса, является полезным инструментом для доказательства того, что конечное произведение компактных пространств компактно.

Заявление

В лемме используется следующая терминология:

• Если $X$ и $Y$ являются топологическими пространствами и $X\times Y$ пространство продукта, наделенное топологией продукта , срезом — это $X\times Y$ представляет собой набор вида $\{x\}\times Y$ для $x\in X$.
• Трубка ​ в $X\times Y$ является подмножеством формы $U\times Y$ где $U$ является открытым подмножеством $X$. Он содержит все фрагменты $\{x\}\times Y$ для $x\in U$.

Лемма о трубке — Пусть $X$ и $Y$ быть топологическими пространствами с $Y$ компактный и учитывайте пространство продукта $X\times Y.$ Если $N$ представляет собой открытое множество, содержащее срез $X\times Y,$ тогда существует трубка в $X\times Y$ содержащий этот фрагмент и содержащийся в $N.$

Используя концепцию замкнутых отображений , это можно кратко перефразировать следующим образом: если $X$ любое топологическое пространство и $Y$ компактное пространство, то карта проекции $X\times Y\to X$ закрыт.

Обобщенная лемма о трубке 1 — Пусть $X$ и $Y$ быть топологическими пространствами и рассмотрим пространство произведений $X\times Y.$ Позволять $A$ быть компактным подмножеством $X$ и $B$ быть компактным подмножеством $Y.$ Если $N$ представляет собой открытое множество, содержащее $A\times B,$ тогда существует $U$ открыть в $X$ и $V$ открыть в $Y$ такой, что $A\times B\subseteq U\times V\subseteq N.$

Обобщенная лемма о трубке 2 — Пусть $X_{i},i\in I$ быть топологическими пространствами и рассмотрим пространство произведений $\prod _{i\in I}X_{i}.$ Для каждого $i\in I$, позволять $A_{i}$ быть компактным подмножеством $X_{i}.$ Если $N$ представляет собой открытое множество, содержащее $\prod _{i\in I}A_{i},$ тогда существует $U_{i}$ открыть в $X_{i}$ с $U_{i}=X_{i}$ для всех, кроме конечного количества $i\in I$, такой, что $\prod _{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}U_{i}\subseteq N.$

Примеры и свойства

1. Рассмотрите $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ в топологии произведения, то есть евклидовой плоскости , и открытом множестве $N=\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ~:~|xy|<1\}.$ Открытый набор $N$ содержит $\{0\}\times \mathbb {R} ,$ но не содержит трубки, поэтому в этом случае лемма о трубке неверна. Действительно, если $W\times \mathbb {R}$ представляет собой трубку, содержащую $\{0\}\times \mathbb {R}$ и содержится в $N,$ $W$ должно быть подмножеством $\left(-1/x,1/x\right)$ для всех $x>0$ что означает $W=\{0\}$ противоречит тому факту, что $W$ открыт в $\mathbb {R}$ (потому что $W\times \mathbb {R}$ это трубка). Это показывает, что предположение о компактности существенно.

2. Лемму о трубке можно использовать для доказательства того, что если $X$ и $Y$ являются компактными пространствами, то $X\times Y$ компактен следующим образом:

Позволять $\{G_{a}\}$ быть открытым прикрытием $X\times Y$. Для каждого $x\in X$, накрыть ломтик $\{x\}\times Y$ конечным числом элементов $\{G_{a}\}$ (это возможно, поскольку $\{x\}\times Y$ компактен гомеоморфен и $Y$). Назовем объединение этих конечного числа элементов $N_{x}.$ По лемме о трубке существует открытое множество вида $W_{x}\times Y$ содержащий $\{x\}\times Y$ и содержится в $N_{x}.$ Коллекция всех $W_{x}$ для $x\in X$ представляет собой открытую крышку $X$ и, следовательно, имеет конечное подпокрытие $\{W_{x_{1}},\dots ,W_{x_{n}}\}$. Таким образом, конечный набор $\{W_{x_{1}}\times Y,\dots ,W_{x_{n}}\times Y\}$ обложки $X\times Y$.Используя тот факт, что каждый $W_{x_{i}}\times Y$ содержится в $N_{x_{i}}$ и каждый $N_{x_{i}}$ есть конечное объединение элементов $\{G_{a}\}$, получается конечная подколлекция $\{G_{a}\}$ который охватывает $X\times Y$.

3. С помощью пункта 2 и индукции можно показать, что конечное произведение компактов компактно.

4. Лемму о трубке нельзя использовать для доказательства теоремы Тихонова , которая обобщает сказанное выше на бесконечные произведения.

Доказательство

Лемма о трубке следует из обобщенной леммы о трубке, если взять $A=\{x\}$ и $B=Y.$ Поэтому достаточно доказать обобщенную лемму о трубке. По определению топологии произведения для каждого $(a,b)\in A\times B$ есть открытые наборы $U_{a,b}\subseteq X$ и $V_{a,b}\subseteq Y$ такой, что $(a,b)\in U_{a,b}\times V_{a,b}\subseteq N.$ Для любого $a\in A,$ $\left\{V_{a,b}~:~b\in B\right\}$ представляет собой открытую крышку компактного набора $B$ поэтому это покрытие имеет конечное подпокрытие; а именно, существует конечное множество $B_{0}(a)\subseteq B$ такой, что $V_{a}:=\bigcup _{b\in B_{0}(a)}V_{a,b}$ содержит $B,$ где заметить, что $V_{a}$ открыт в $Y.$ Для каждого $a\in A,$ позволять $U_{a}:=\bigcap _{b\in B_{0}(a)}U_{a,b},$ который является открытым в $X$ установлен с $B_{0}(a)$ конечно. Более того, строительство $U_{a}$ и $V_{a}$ подразумевает, что $\{a\}\times B\subseteq U_{a}\times V_{a}\subseteq N.$ Теперь мы, по существу, повторяем аргумент об отказе от зависимости от $a.$Позволять $A_{0}\subseteq A$ — конечное подмножество такое, что $U:=\bigcup _{a\in A_{0}}U_{a}$ содержит $A$ и установить $V:=\bigcap _{a\in A_{0}}V_{a}.$ Тогда из приведенных выше рассуждений следует, что $A\times B\subseteq U\times V\subseteq N$ и $U\subseteq X$ и $V\subseteq Y$ открыты, что и завершает доказательство.

См. также

• Теорема Александера о подбазах - коллекция подмножеств, генерирующих топологию. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Трубчатая окрестность - окрестность подмногообразия, гомеоморфного нормальному расслоению этого подмногообразия. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Теорема Тихонова . Продукт любого набора компактных топологических пространств компактен. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Ссылки

• Джеймс Манкрес (1999). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN  0-13-181629-2 .
• Джозеф Дж. Ротман (1988). Введение в алгебраическую топологию . Спрингер. ISBN  0-387-96678-1 . (См. гл. 8, лемму 8.9)