Теорема Тихонова

Чтобы узнать о других теоремах, названных в честь Тихонова, см. Теорему Тихонова (значения) .

В математике утверждает , теорема Тихонова что произведение любого набора компактных топологических пространств компактно относительно топологии произведения . Теорема названа в честь Андрея Николаевича Тихонова (чья фамилия иногда транскрибируется Тихонов ), который впервые доказал ее в 1930 году для степеней замкнутого единичного интервала , а в 1935 году сформулировал полную теорему вместе с замечанием, что ее доказательство было таким же, как и для теоремы. особый случай. Самое раннее известное опубликованное доказательство содержится в статье Тихонова 1935 года «Über einen Funktionenraum» .

Теорему Тихонова часто считают, пожалуй, самым важным результатом в общей топологии (наряду с леммой Урысона ). Теорема справедлива и для топологических пространств, основанных на нечетких множествах .

определения

Теорема в решающей степени зависит от точных определений компактности и топологии произведения ; Фактически, статья Тихонова 1935 года впервые определяет топологию произведения. И наоборот, часть его важности состоит в том, чтобы дать уверенность в том, что эти конкретные определения являются наиболее полезными (т.е. наиболее правильными).

Действительно, определение компактности Гейне-Бореля — что каждое покрытие пространства открытыми множествами допускает конечное подпокрытие — появилось относительно недавно. Более популярным в 19 и начале 20 веков был критерий Больцано-Вейерштрасса , согласно которому каждая ограниченная бесконечная последовательность допускает сходящуюся подпоследовательность, теперь называемую секвенциальной компактностью . Эти условия эквивалентны для метризуемых пространств , но ни одно из них не влечет другого в классе всех топологических пространств.

Доказать, что произведение двух секвенциально компактных пространств секвенциально компактно, почти тривиально: нужно перейти к подпоследовательности для первого компонента, а затем к подподпоследовательности для второго компонента. Лишь немного более сложный аргумент «диагонализации» устанавливает секвенциальную компактность счетного произведения секвенциально компактных пространств. Однако произведение континуума, состоящего из многих копий замкнутого единичного интервала (с его обычной топологией), не может быть секвенциально компактным относительно топологии произведения, даже если оно компактно по теореме Тихонова (например, см. Wilansky 1970 , стр. 134). .

Это критическая ошибка: если X — вполне регулярное хаусдорфово пространство , то существует естественное вложение из X в [0,1] ^{С ( Икс ,[0,1])} , где C ( X ,[0,1]) — множество непрерывных отображений из X в [0,1]. Компактность [0,1] ^{С ( Икс ,[0,1])} таким образом показывает, что каждое вполне регулярное хаусдорфово пространство вкладывается в компактное хаусдорфово пространство (или может быть «компактифицировано»). Эта конструкция представляет собой компактификацию Стоуна – Чеха . И наоборот, все подпространства компактных хаусдорфовых пространств являются вполне регулярными хаусдорфовыми пространствами, поэтому это характеризует вполне регулярные хаусдорфовые пространства как те, которые можно компактифицировать. Такие пространства теперь называются тихоновскими пространствами .

Приложения

Теорема Тихонова использовалась для доказательства многих других математических теорем. К ним относятся теоремы о компактности некоторых пространств, такие как теорема Банаха–Алаоглу о слабой компактности единичного шара двойственного пространства нормированного векторного пространства и теорема Арзела–Асколи, характеризующая последовательности функций, в которых каждая подпоследовательность имеет равномерно сходящую подпоследовательность. Они также включают утверждения, менее очевидно связанные с компактностью, такие как теорема Де Брейна-Эрдеша, утверждающая, что каждый минимальный k -хроматический граф конечен, и теорема Кертиса-Хедлунда-Линдона, дающая топологическую характеристику клеточных автоматов .

Как правило, любая конструкция, которая принимает на вход довольно общий объект (часто алгебраической или тополого-алгебраической природы) и на выходе дает компактное пространство, скорее всего, будет использовать Тихоновское пространство: например, пространство Гельфанда максимальных идеалов коммутативная С*-алгебра , пространство Стоуна максимальных идеалов булевой алгебры и спектр Берковича коммутативного банахова кольца .

Доказательства теоремы Тихонова

1) В доказательстве Тихонова 1930 года использовалась концепция полной точки накопления .

2) Теорема является быстрым следствием теоремы Александера о суббазе .

Более современные доказательства были мотивированы следующими соображениями: подход к компактности через сходимость подпоследовательностей приводит к простому и прозрачному доказательству в случае счетных множеств индексов. Однако подход к сходимости в топологическом пространстве с использованием последовательностей достаточен, когда пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности (как это делают метризуемые пространства), но, как правило, не иначе. Однако произведение бесчисленного числа метризуемых пространств, каждое из которых имеет не менее двух точек, не может быть сначала счетным. Поэтому естественно надеяться, что подходящее понятие сходимости в произвольных пространствах приведет к критерию компактности, обобщающему секвенциальную компактность в метризуемых пространствах, который будет так же легко применяться для вывода компактности произведений. Это оказалось так.

3) Теория сходимости через фильтры, предложенная Анри Картаном и развитая Бурбаки в 1937 году, приводит к следующему критерию: если принять лемму об ультрафильтре , пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр на пространстве сходится. Имея это в виду, доказательство становится простым: образ (фильтр, порожденный) ультрафильтра в пространстве произведений при любом отображении проекции является ультрафильтром в фактор-пространстве, который, следовательно, сходится по крайней мере к xi _. одному Затем показано, что исходный ультрафильтр сходится к x = ( x _i ). В своем учебнике Мюнкрес дает переработку доказательства Картана–Бурбаки, в которой явно не используется какой-либо теоретико-фильтрационный язык или предварительные сведения.

4) Точно так же теория сходимости Мура-Смита через сети, дополненная понятием универсальной сети Келли , приводит к критерию, что пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая универсальная сеть в пространстве сходится. Этот критерий приводит к доказательству (Келли, 1950) теоремы Тихонова, которое слово в слово идентично доказательству Картана/Бурбаки с использованием фильтров, за исключением многократной замены «универсальной сети» на «базу ультрафильтра».

5) Доказательство с использованием сетей, но не универсальных сетей, было дано в 1992 году Полом Черноффом.

Теорема Тихонова и аксиома выбора

Все приведенные выше доказательства используют аксиому выбора так или иначе (AC). Например, третье доказательство использует то, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре (т. е. максимальном фильтре), и это видно, прибегая к лемме Цорна . Лемма Цорна также используется для доказательства теоремы Келли о том, что каждая сеть имеет универсальную подсеть. На самом деле такое использование AC существенно: в 1950 году Келли доказал, что из теоремы Тихонова следует аксиома выбора в ZF . Обратите внимание, что одна из формулировок AC состоит в том, что декартово произведение семейства непустых множеств непусто; но поскольку пустое множество наверняка компактно, доказательство не может идти по такому прямому пути. Таким образом, теорема Тихонова объединяет несколько других основных теорем (например, о том, что каждое векторное пространство имеет базис), будучи эквивалентной AC.

С другой стороны, утверждение, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре, не подразумевает АС. Действительно, нетрудно видеть, что она эквивалентна булевой теореме о простых идеалах (BPI), хорошо известной промежуточной точке между аксиомами теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) и теории ZF, дополненной аксиомой выбора (ЗФК). При первом взгляде на второе доказательство Тихова можно предположить, что в доказательстве используется не более (BPI), что противоречит вышесказанному. Однако пространства, в которых каждый сходящийся фильтр имеет единственный предел, являются в точности пространствами Хаусдорфа. В общем случае мы должны выбрать для каждого элемента набора индексов элемент непустого множества пределов прогнозируемой базы ультрафильтра, и, конечно, для этого используется AC. Однако он также показывает, что компактность произведения бикомпактов можно доказать с помощью (BPI), и на самом деле справедливо и обратное. Изучение силы теоремы Тихонова для различных ограниченных классов пространств является активной областью исследований. теоретико-множественная топология .

Аналог теоремы Тихонова в бессмысленной топологии не требует какой-либо формы аксиомы выбора.

Доказательство аксиомы выбора из теоремы Тихонова

Чтобы доказать, что из теоремы Тихонова в ее общей версии следует аксиома выбора, мы устанавливаем, что каждое бесконечное декартово произведение непустых множеств непусто. Самая сложная часть доказательства — введение правильной топологии. Как выяснилось, правильная топология — это коконечная топология с небольшим поворотом. Оказывается, что любое множество с такой топологией автоматически становится компактом. Как только мы получим этот факт, можно будет применить теорему Тихонова; затем мы используем свойстве конечного пересечения определение компактности, основанное на (FIP). Само доказательство (принадлежащее Дж. Л. Келли ) следующее:

Пусть { A _i } — индексированное семейство непустых множеств для i , начиная с I (где I — произвольное множество индексов). Мы хотим показать, что декартово произведение этих множеств непусто. Теперь для каждого i возьмем X _i за A _i с добавленным индексом i переименовывая индексы с использованием непересекающегося объединения ( при необходимости , мы можем предположить, что i не является членом A _i , поэтому просто возьмем X _i = А _я ∪ { я }).

Теперь определим декартово произведение

$$X=\prod _{i\in I}X_{i}$$

вместе с естественными отображениями проекций π _i, которые переводят член X в его i -й член.

Мы даем каждому X _j топологию, открытыми множествами которой являются: пустое множество, одноэлементное { i }, множество X _i . Это делает X _i компактным, и по теореме Тихонова X также компактно (в топологии произведения). Карты проекций непрерывны; все A _i в замкнуты, являясь дополнениями к одноэлементному открытому множеству { i } X _i . Итак, прообразы π _i ⁻¹ ( A _i ) являются замкнутыми подмножествами X . Мы отмечаем, что

$$\prod _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}\pi _{i}^{-1}(A_{i})$$

и докажем, что эти прообразы имеют FIP. Пусть i ₁ , ..., i _N — конечный набор индексов из I . Тогда конечное произведение A _{i 1} × ... × A _{i N} непусто (здесь только конечное число вариантов, поэтому AC не нужен); он просто состоит из N кортежей. Пусть a = ( a ₁ , ..., a _N ) — такой N -кортеж. Мы расширяем a на весь набор индексов: возьмем a к функции f, определенной формулой f ( j ) = a _k , если j = i _k , и f ( j ) = j в противном случае. На этом этапе добавление дополнительной точки в каждое пространство имеет решающее значение определить f для всего, что находится за пределами N , поскольку оно позволяет нам точно -кортежа, без выбора (по построению мы уже можем выбрать j из X _j ). π _{i k} ( f ) = a _k, очевидно, является элементом каждого A _{i k,} так что f находится в каждом прообразе; таким образом, мы имеем

$$\bigcap _{k=1}^{N}\pi _{i_{k}}^{-1}(A_{i_{k}})\neq \varnothing .$$

По определению компактности, данному FIP, все пересечение над I должно быть непустым, и доказательство завершено.

См. также

• Теорема Александера о подбазах - коллекция подмножеств, генерирующих топологию. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Теорема о компактности
• Лемма о трубке — доказательство в топологии. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Чернофф, Пол Р. (1992), «Простое доказательство теоремы Тихонова с помощью сетей», American Mathematical Monthly , 99 (10): 932–934, doi : 10.2307/2324485 , JSTOR   2324485 .
• Джонстон, Питер Т. (1982), Пространства Камня , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 3, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN.  0-521-23893-5 .
• Джонстон, Питер Т. (1981), «Теорема Тихонова без аксиомы выбора», Fundamenta Mathematicae , 113 : 21–35, doi : 10.4064/fm-113-1-21-35 .
• Келли, Джон Л. (1950), «Сходимость в топологии», Duke Mathematical Journal , 17 (3): 277–283, doi : 10.1215/S0012-7094-50-01726-1 .
• Келли, Джон Л. (1950), «Теорема о произведении Тихонова подразумевает аксиому выбора», Fundamenta Mathematicae , 37 : 75–76, doi : 10.4064/fm-37-1-75-76 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Тихонов, Андрей Н. (1930), «О топологическом расширении пространств», Mathematical Annals (на немецком языке), 102 (1): 544–561, doi : 10.1007/BF01782364 .
• Вилански, А. (1970), Топология для анализа , Джинн и компания
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .
• Райт, Дэвид Г. (1994), «Теорема Тихонова», Proc. амер. Математика. Соц. , 120 (3): 985–987, doi : 10.1090/s0002-9939-1994-1170549-2 .

Внешние ссылки

• Теорема Тихонова в ProofWiki
• системы Mizar Доказательство : http://mizar.org/version/current/html/yellow17.html#T23