Банахова алгебра

В математике , особенно функциональном анализе , банахова алгебра , названная в честь Стефана Банаха , является ассоциативной алгеброй. $A$ над действительными или комплексными числами (или над неархимедовым полным нормированным полем ), которое одновременно является и банаховым пространством , то есть нормированным пространством , полным в метрике, индуцированной нормой. Норма необходима для удовлетворения $\|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ for all }}x,y\in A.$

операции умножения Это гарантирует непрерывность .

Банахова алгебра называется унитальной , если она имеет единицу для умножения, норма которой равна $1,$ и коммутативен, если его умножение коммутативно .Любая банахова алгебра $A$ (независимо от того, имеет ли он единичный элемент или нет) может быть изометрически вложено в единичную банахову алгебру. $A_{e}$ чтобы закрытый идеал сформировать $A_{e}$ . предполагается Часто априори , что рассматриваемая алгебра едина: поскольку можно развить большую часть теории, рассматривая $A_{e}$ а затем применив результат в исходной алгебре. Однако это не всегда так. Например, невозможно определить все тригонометрические функции в банаховой алгебре без тождества.

Теория вещественных банаховых алгебр может сильно отличаться от теории комплексных банаховых алгебр. Например, спектр элемента нетривиальной комплексной банаховой алгебры никогда не может быть пустым, тогда как в реальной банаховой алгебре он может быть пустым для некоторых элементов.

Банаховые алгебры также можно определить над полями $p$ -адические числа . Это часть $p$ -адический анализ .

Примеры

Прототипическим примером банаховой алгебры является $C_{0}(X)$ , пространство (комплекснозначных) непрерывных функций, определенных на локально компактном хаусдорфовом пространстве $X$ , которые исчезают в бесконечности . $C_{0}(X)$ едина тогда и только тогда, когда $X$ компактен . Комплексное сопряжение, являющееся инволюцией , $C_{0}(X)$ на самом деле является C*-алгеброй . В более общем смысле каждая C*-алгебра по определению является банаховой алгеброй.

Множество действительных (или комплексных) чисел представляет собой банахову алгебру с нормой, заданной абсолютным значением .
Совокупность всех реальных или сложных $n$ -к- $n$ матрицы становится банаховой алгеброй с единицей , если мы снабжаем ее субмультипликативной матричной нормой .
Возьмем банахово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ (или $\mathbb {C} ^{n}$ ) с нормой $\|x\|=\max _{}|x_{i}|$ и определим умножение покомпонентно: $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).$
Кватернионы образуют 4-мерную вещественную банахову алгебру , норма которой задается абсолютным значением кватернионов.
Алгебра всех ограниченных вещественных или комплекснозначных функций, определенных на некотором множестве (с поточечным умножением и супремумной нормой), является банаховой алгеброй с единицей.
Алгебра всех ограниченных непрерывных вещественных или комплекснозначных функций на некотором локально компактном пространстве (опять же с поточечными операциями и супремум-нормой) является банаховой алгеброй.
Алгебра всех непрерывных линейных операторов в банаховом пространстве $E$ (с функциональной композицией как умножением и операторной нормой как нормой) является банаховой алгеброй с единицей. Множество всех компактных операторов на $E$ является банаховой алгеброй и замкнутым идеалом. Это без идентичности, если $\dim E=\infty .$ ^[1]
Если $G$ является локально компактной Хаусдорфа топологической группой и $\mu$ есть его мера Хаара , то банахово пространство $L^{1}(G)$ из всех $\mu$ -интегрируемые функции на $G$ становится банаховой алгеброй при свертке $xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)$ для $x,y\in L^{1}(G).$ ^[2]
Равномерная алгебра : Банахова алгебра, которая является подалгеброй комплексной алгебры. $C(X)$ с супремумной нормой, который содержит константы и разделяет точки $X$ (который должен быть хаусдорфовым компактом).
Алгебра естественных банаховых функций : равномерная алгебра, все символы которой являются оценками в точках $X.$
C*-алгебра : Банахова алгебра, являющаяся замкнутой *-подалгеброй алгебры ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве .
Алгебра меры : Банахова алгебра, состоящая из всех мер Радона на некоторой локально компактной группе , где произведение двух мер задается сверткой мер . ^[2]
Алгебра кватернионов $\mathbb {H}$ является реальной банаховой алгеброй, но это не комплексная алгебра (и, следовательно, не комплексная банахова алгебра) по той простой причине, что центром кватернионов являются действительные числа, которые не могут содержать копию комплексных чисел.
Аффиноидная алгебра — это определенный вид банаховой алгебры над неархимедовым полем. Аффиноидные алгебры являются основными строительными блоками жесткой аналитической геометрии .

Характеристики

Несколько элементарных функций , которые определяются через степенные ряды, могут быть определены в любой банаховой алгебре с единицей; примеры включают экспоненциальную функцию и тригонометрические функции , а также любую целую функцию . (В частности, экспоненциальное отображение можно использовать для определения абстрактных индексных групп .) Формула для геометрической прогрессии остается верной в общих банаховых алгебрах с единицей. Биномиальная теорема справедлива и для двух коммутирующих элементов банаховой алгебры.

Множество обратимых элементов в любой банаховой алгебре с единицей является открытым множеством , и операция обращения на этом множестве непрерывна (и, следовательно, является гомеоморфизмом), так что она образует топологическую группу при умножении. ^[3]

Если банахова алгебра имеет единицу $\mathbf {1} ,$ затем $\mathbf {1}$ не может быть коммутатором ; то есть, $xy-yx\neq \mathbf {1}$ для любого $x,y\in A.$ Это потому, что $xy$ и $yx$ имеют тот же спектр, за исключением, возможно, $0.$

Различные алгебры функций, приведенные в примерах выше, имеют свойства, сильно отличающиеся от стандартных примеров алгебр, таких как действительные числа. Например:

Каждая действительная банахова алгебра, являющаяся телом, изоморфна действительным числам, комплексам или кватернионам. Следовательно, единственная комплексная банахова алгебра, являющаяся алгеброй с делением, — это комплексы. (Это известно как теорема Гельфанда–Мазура .)
Любая вещественная банахова алгебра с единицей, не имеющая делителей нуля и в которой каждый главный идеал замкнут , изоморфна действительным числам, комплексам или кватернионам. ^[4]
Любая коммутативная вещественная нётерова банахова алгебра с единицей без делителей нуля изоморфна действительным или комплексным числам.
Любая коммутативная вещественная нетерова банахова алгебра с единицей (возможно, имеющая делители нуля) конечномерна.
Постоянно сингулярные элементы в банаховых алгебрах являются топологическими делителями нуля , то есть с учетом расширений $B$ банаховых алгебр $A$ некоторые элементы, сингулярные в данной алгебре $A$ имеют мультипликативный обратный элемент в расширении банаховой алгебры $B.$ Топологические делители нуля в $A$ постоянно сингулярны в любом банаховом расширении $B$ из $A.$

Спектральная теория

Банаховы алгебры с единицей над комплексным полем обеспечивают общую основу для разработки спектральной теории. Спектр элемента $x\in A,$ обозначается $\sigma (x)$ , состоит из всех этих комплексных скаляров $\lambda$ такой, что $x-\lambda \mathbf {1}$ не является обратимым в $A.$ Спектр любого элемента $x$ является закрытым подмножеством закрытого диска в $\mathbb {C}$ с радиусом $\|x\|$ и центр $0,$ и поэтому компактен . Более того, спектр $\sigma (x)$ элемента $x$ непусто формуле и удовлетворяет спектрального радиуса : $\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.$

Данный $x\in A,$ голоморфное функциональное исчисление позволяет определить $f(x)\in A$ для любой функции $f$ голоморфен в окрестности $\sigma (x).$ Кроме того, справедлива теорема о спектральном отображении: ^[5] $\sigma (f(x))=f(\sigma (x)).$

Когда банахова алгебра $A$ это алгебра $L(X)$ ограниченных линейных операторов в комплексном банаховом пространстве $X$ (например, алгебра квадратных матриц), понятие спектра в $A$ совпадает с обычным в теории операторов . Для $f\in C(X)$ (с компактом Хаусдорфа $X$ ), видно, что: $\sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.$

Норма нормального элемента $x$ С*-алгебры совпадает с ее спектральным радиусом. Это обобщает аналогичный факт для нормальных операторов.

Позволять $A$ — комплексная банахова алгебра с единицей, в которой каждый ненулевой элемент $x$ обратима (алгебра с делением). Для каждого $a\in A,$ есть $\lambda \in \mathbb {C}$ такой, что $a-\lambda \mathbf {1}$ не обратима (поскольку спектр $a$ не пусто) следовательно $a=\lambda \mathbf {1} :$ эта алгебра $A$ естественно изоморфен $\mathbb {C}$ (сложный случай теоремы Гельфанда–Мазура).

Идеалы и характеры

Позволять $A$ — коммутативная банахова алгебра с единицей над $\mathbb {C} .$ С $A$ тогда является коммутативным кольцом с единицей, каждый необратимый элемент которого $A$ принадлежит некоторому максимальному идеалу $A.$ Поскольку максимальный идеал ${\mathfrak {m}}$ в $A$ закрыто, $A/{\mathfrak {m}}$ является банаховой алгеброй, которая является полем, и из теоремы Гельфанда–Мазура следует, что существует биекция между множеством всех максимальных идеалов $A$ и набор $\Delta (A)$ всех ненулевых гомоморфизмов из $A$ к $\mathbb {C} .$ Набор $\Delta (A)$ называется « структурным пространством » или «пространством символов» $A,$ и его участники «персонажи».

Персонаж $\chi$ является линейным функционалом от $A$ что в то же время мультипликативно, $\chi (ab)=\chi (a)\chi (b),$ и удовлетворяет $\chi (\mathbf {1} )=1.$ Каждый символ автоматически продолжается от $A$ к $\mathbb {C} ,$ поскольку ядро характера является максимальным идеалом, который замкнут. При этом норма (т. е. операторная норма) персонажа одна. Оснащен топологией поточечной сходимости на $A$ (то есть топология, индуцированная слабой топологией $A^{*}$ ), пространство символов, $\Delta (A),$ является хаусдорфовым компактом.

Для любого $x\in A,$ $\sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})$ где ${\hat {x}}$ является Гельфанда представлением $x$ определяется следующим образом: ${\hat {x}}$ — непрерывная функция от $\Delta (A)$ к $\mathbb {C}$ данный ${\hat {x}}(\chi )=\chi (x).$ Спектр ${\hat {x}},$ в приведенной выше формуле – спектр как элемент алгебры $C(\Delta (A))$ комплексных непрерывных функций на компакте $\Delta (A).$ Явно, $\sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.$

Коммутативная банахова алгебра с единицей как алгебра полупроста (т. е. ее радикал Джекобсона равен нулю) тогда и только тогда, когда ее представление Гельфанда имеет тривиальное ядро. Важным примером такой алгебры является коммутативная С*-алгебра. Фактически, когда $A$ является коммутативной С*-алгеброй с единицей, то представление Гельфанда является тогда изометрическим *-изоморфизмом между $A$ и $C(\Delta (A)).$ ^[а]

Банаховы *-алгебры

И банахова *-алгебра $A$ — банахова алгебра над полем комплексных чисел вместе с отображением ${}^{*}:A\to A$ который имеет следующие свойства:

$\left(x^{*}\right)^{*}=x$ для всех $x\in A$ (так что карта является инволюцией ).
$(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ для всех $x,y\in A.$
$(\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}$ для каждого $\lambda \in \mathbb {C}$ и каждый $x\in A;$ здесь, ${\bar {\lambda }}$ обозначает комплексно-сопряженное число $\lambda .$
$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ для всех $x,y\in A.$

Другими словами, банахова *-алгебра — это банахова алгебра над $\mathbb {C}$ это тоже *-алгебра .

В большинстве естественных примеров также имеет место, что инволюция изометрична , т. е. $\|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.$ Некоторые авторы включают это изометрическое свойство в определение банаховой *-алгебры.

Банахова *-алгебра, удовлетворяющая $\|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|$ является C*-алгеброй .

См. также

Приблизительная идентичность – более абстрактно.
Гипотеза Капланского - Многочисленные гипотезы математика Ирвинга Каплански.
Операторная алгебра - Раздел функционального анализа.
Shilov boundary

Примечания

^ Доказательство: поскольку каждый элемент коммутативной C*-алгебры нормален, представление Гельфанда изометрично; в частности, оно инъективно и его образ замкнут. Но образ представления Гельфанда плотен по теореме Стоуна–Вейерштрасса .

Ссылки

^ Конвей 1990 , Пример VII.1.8.
^ Jump up to: ^а ^б Конвей 1990 , Пример VII.1.9.
^ Конвей 1990 , Теорема VII.2.2.
^ Гарсиа, Мигель Кабрера; Паласиос, Анхель Родригес (1995). «Новое простое доказательство теоремы Гельфанда-Мазура-Капланского» . Труды Американского математического общества . 123 (9): 2663–2666. дои : 10.2307/2160559 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2160559 .
^ Такесаки 1979 , Предложение 2.8.

Боллобас, Б (1990). Линейный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38729-9 .
Бонсолл, ФФ ; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2 .
Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике. Том. 96. Спрингер Верлаг . ISBN 0-387-97245-5 .
Дейлс, ХГ; Эйна, П.; Эшмайер, Дж; Лаурсен, К.; Уиллис, Джорджия (2003). Введение в банаховы алгебры, операторы и гармонический анализ . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511615429 . ISBN 0-521-53584-0 .
Мосак, Р.Д. (1975). Банаховые алгебры . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета). ISBN 0-226-54203-3 .
Такесаки, М. (1979). Теория операторных алгебр I . Энциклопедия математических наук. Том. 124 (1-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42248-8 . ISSN 0938-0396 .

[6] Доказательство: поскольку каждый элемент коммутативной C*-алгебры нормален, представление Гельфанда изометрично; в частности, оно инъективно и его образ замкнут. Но образ представления Гельфанда плотен по теореме Стоуна–Вейерштрасса .

[1] Конвей 1990 , Пример VII.1.8.

[harvnb_conway_1990_example_VII.1.9.-2] Jump up to: ^а ^б Конвей 1990 , Пример VII.1.9.

[3] Конвей 1990 , Теорема VII.2.2.

[4] Гарсиа, Мигель Кабрера; Паласиос, Анхель Родригес (1995). «Новое простое доказательство теоремы Гельфанда-Мазура-Капланского» . Труды Американского математического общества . 123 (9): 2663–2666. дои : 10.2307/2160559 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2160559 .

[5] Такесаки 1979 , Предложение 2.8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[а]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics