Список математических функций

В математике некоторые функции или группы функций настолько важны, что заслуживают собственных названий. Это список статей, в которых более подробно объясняются некоторые из этих функций. Существует обширная теория специальных функций , развившаяся на основе статистики и математической физики . Современная, абстрактная точка зрения противопоставляет большие функциональные пространства , которые являются бесконечномерными и внутри которых большинство функций являются «анонимными», со специальными функциями, выбранными по таким свойствам, как симметрия или связь с гармоническим анализом и групповыми представлениями .

См. также Список типов функций.

Элементарные функции

Элементарные функции — это функции, построенные на основе базовых операций (например, сложения, экспоненты, логарифмов...).

Алгебраические функции

Алгебраические функции — это функции, которые можно выразить как решение полиномиального уравнения с целыми коэффициентами.

• Полиномы : могут быть получены исключительно путем сложения, умножения и возведения в степень положительного целого числа.
  • Постоянная функция : полином нулевой степени, график представляет собой горизонтальную прямую линию.
  • Линейная функция : полином первой степени, график представляет собой прямую линию.
  • Квадратичная функция : полином второй степени, график представляет собой параболу .
  • Кубическая функция : Полином третьей степени.
  • Функция четвертой степени : полином четвертой степени.
  • Квинтическая функция : полином пятой степени.
  • Секстическая функция : полином шестой степени.
• Рациональные функции : отношение двух многочленов.
• n- й корень
  • Квадратный корень : дает число, квадрат которого равен заданному.
  • Корень куба : дает число, куб которого равен заданному.

Элементарные трансцендентные функции

Трансцендентные функции — это функции, которые не являются алгебраическими.

• Экспоненциальная функция : возводит фиксированное число в переменную степень.
• Гиперболические функции : формально аналогичны тригонометрическим функциям .
  • Обратные гиперболические функции : обратные гиперболические функции , аналогичные обратным круговым функциям .

• Логарифмы : обратные показательные функции; полезно для решения уравнений, включающих экспоненты.
  • Натуральный логарифм
  • Десятый логарифм
  • Двоичный логарифм
• Степенные функции : возводят переменное число в фиксированную степень; также известные как аллометрические функции ; примечание: если степень является рациональным числом, она не является строго трансцендентной функцией.
• Периодические функции
  • Тригонометрические функции : синус , косинус , тангенс , котангенс , секанс , косеканс , экссеканс , экзосеканс , версинус , коверкосинус , веркосинус , коверкосинус , гаверсинус , хаковерсинус , хаверкозин , хаковеркозин , обратные тригонометрические функции и т.д.; используется в геометрии и для описания периодических явлений. См. также функцию Гудермана .

Специальные функции

Кусочные специальные функции

• Индикаторная функция : отображает x в 1 или 0, в зависимости от того, принадлежит ли x некоторому подмножеству.
• Ступенчатая функция : конечная линейная комбинация индикаторных функций полуоткрытых интервалов .
  • Ступенчатая функция Хевисайда : 0 для отрицательных аргументов и 1 для положительных аргументов. Интеграл от дельта-функции Дирака .
• Пилообразная волна
• Прямоугольная волна
• Треугольная волна
• Прямоугольная функция
• Функция пола : наибольшее целое число, меньшее или равное заданному числу.
• Функция потолка : наименьшее целое число, большее или равное заданному числу.
• Функция Sign : возвращает только знак числа, например +1 или -1.
• Абсолютное значение : расстояние до начала координат (нулевой точки)

Арифметические функции

• функция : суммы степеней - делителей Сигма данного натурального числа .
• Функция тотента Эйлера : количество чисел, взаимно простых (и не превышающих) заданного.
• Функция подсчета простых чисел : количество простых чисел, меньших или равных заданному числу.
• Функция раздела : независимое от порядка количество способов записать данное положительное целое число в виде суммы положительных целых чисел.
• Функция Мёбиуса μ : сумма примитивных корней n-й степени из единицы, она зависит от простой факторизации n.
• Основные омега-функции
• Функции Чебышева
• Функция Лиувилля , λ( n ) = (–1) ^{Ом ( п )}
• Функция фон Мангольдта , Λ( n ) = log p, если n — положительная степень простого числа p
• Функция Кармайкла

Первообразные элементарных функций

• Логарифмическая интегральная функция : интеграл от обратного логарифма, важный в теореме о простых числах .
• Экспоненциальный интеграл
• Тригонометрический интеграл : включая интеграл синуса и интеграл косинуса.
• Обратный касательный интеграл
• Функция ошибки : Интеграл, важный для обычных случайных величин .
  • Интеграл Френеля : связан с функцией ошибок; используется в оптике .
  • Функция Доусона : возникает по вероятности .
  • Функция Фаддеевой

Гамма и связанные с ней функции

• Гамма-функция : обобщение факториальной функции.
• G-функция Барнса
• Бета-функция : соответствующий аналог биномиального коэффициента .
• Дигамма-функция , Полигамма-функция
• Неполная бета-функция
• Неполная гамма-функция
• К-функция
• Многомерная гамма-функция : обобщение гамма-функции, полезное в многомерной статистике .
• t-распределение Стьюдента
• Пи-функция $\Pi (z)=z\Gamma (z)=(z)!$

Эллиптические и связанные с ними функции

• Эллиптические интегралы : возникают из длины пути эллипсов ; важно во многих приложениях. Альтернативные обозначения включают:
  • Симметричная форма Карлсона
  • Лежандра форма
• Имя
• Квартальный период
• Эллиптические функции : обратные эллиптическим интегралам; используется для моделирования двоякопериодических явлений.
  • Эллиптические функции Якоби
  • Эллиптические функции Вейерштрасса
  • Лемнискатные эллиптические функции
• Тета-функции
• Тета-функции Невилла
• Модульная лямбда-функция
• Близко связаны модульные формы , к которым относятся
  • J-инвариант
  • Эта-функция Дедекинда

Бессель и связанные с ним функции

• Функция Эйри
• Функции Бесселя : определяются дифференциальным уравнением ; полезен в астрономии , электромагнетизме и механике .
• Функция Бесселя – Клиффорда
• Функции Кельвина
• Функция Лежандра : Из теории сферических гармоник .
• Функция бомбардира
• Функция Sinc
• Полиномы Эрмита
• Полиномы Лагерра
• Полиномы Чебышева
• Функция синхротрона

Дзета Римана и связанные с ней функции

• Дзета-функция Римана : частный случай ряда Дирихле .
• Функция Римана Си
• Эта-функция Дирихле : родственная функция.
• Бета-функция Дирихле
• L-функция Дирихле
• Дзета-функция Гурвица
• Функция Лежандра Чи
• Лерх трансцендентный
• Полилогарифм и связанные с ним функции:
  • Неполный полилогарифм
  • Функция Клаузена
  • Полный интеграл Ферми – Дирака , альтернативная форма полилогарифма.
  • Дилогарифм
  • Неполный интеграл Ферми – Дирака.
  • Функция Куммера
• Функция Рисса

Гипергеометрические и родственные функции

• Гипергеометрические функции : универсальное семейство степенных рядов .
• Вырожденная гипергеометрическая функция
• Связанные функции Лежандра
• G-функция Мейера
• H-функция Фокса

Итерированные экспоненциальные и связанные с ними функции

• Гипероператоры
• Повторный логарифм
• Пентация
• Суперлогарифмы
• Тетрация

Другие стандартные специальные функции

• Функция Ламберта W : обратная f ( w ) = w exp( w ).
• Функция Ламе
• функция Матье
• Функция Миттаг-Леффлера
• Трансценденты Пенлеве
• Функция параболического цилиндра
• Среднее арифметико-геометрическое

Разные функции

• Функция Аккермана : в теории вычислений — вычислимая функция , не являющаяся примитивно-рекурсивной .
• Дельта-функция Дирака : везде ноль, кроме x = 0; общий интеграл равен 1. Это не функция, а распределение , но иногда неофициально называемое функцией, особенно физики и инженеры.
• Функция Дирихле : индикаторная функция , которая сопоставляет 1 рациональным числам и 0 иррациональным числам. Оно нигде не является непрерывным .
• Функция Томаэ : функция, непрерывная для всех иррациональных чисел и разрывная для всех рациональных чисел. Это также модификация функции Дирихле, которую иногда называют функцией Римана.
• Дельта-функция Кронекера : представляет собой функцию двух переменных, обычно целых чисел, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае.
• Функция вопросительного знака Минковского : производные исчезают в рациональных числах.
• Функция Вейерштрасса : является примером непрерывной функции , которая нигде не дифференцируема.

См. также

• Список типов функций
• Тестовые функции для оптимизации
• Список математических сокращений
• Список специальных функций и эпонимов

Внешние ссылки

• Специальные функции : Программируемый калькулятор специальных функций.
• Специальные функции в EqWorld: Мир математических уравнений.