Функция Рисса

Рисс(х) для х от 0 до 50

В математике функция Рисса — это целая функция, определенная Марселем Риссом в связи с гипотезой Римана с помощью степенного ряда

${\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left({\frac {-x}{n^{2}}}\right).$

Если мы установим $F(x)={\frac {1}{2}}{\rm {Riesz}}(4\pi ^{2}x)$ мы можем определить его через коэффициенты разложения в ряд Лорана гиперболического (или, что то же самое, обычного) котангенса вокруг нуля. Если

${\frac {x}{2}}\coth {\frac {x}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=1+{\frac {1}{12}}x^{2}-{\frac {1}{720}}x^{4}+\cdots$

затем $F$ может быть определен как

$F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{c_{2k}(k-1)!}}=12x-720x^{2}+15120x^{3}-\cdots$

Значения $\zeta (2k)$ подход один для увеличения k и сравнения ряда для функции Рисса с рядом для $x\exp(-x)$ показывает, что он определяет целую функцию. Альтернативно, F может быть определен как

$F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k+1}}x^{k}}{B_{2k}}}.\$

$n^{\overline {k}}$ обозначает возрастающую факториальную степень в обозначениях Д.Е. Кнута и число $B_{n}$ являются числом Бернулли . Ряд представляет собой один из чередующихся членов, и функция быстро стремится к минус бесконечности для все более отрицательных значений. $x$. Положительные значения $x$ более интересны и деликатны.

Критерий Рисса

Можно показать, что

$\operatorname {Riesz} (x)=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty )$

для любого показателя $e$ больше, чем $1/2$, где это большое обозначение O ; принимая значения как положительные, так и отрицательные. Рисс показал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что вышеизложенное верно для любого e, большего, чем $1/4$. В той же статье он также добавил несколько пессимистическую заметку: « Je ne sais pas encore Decisionr si Cette Condition facilitera la vérification de l'hypothèse » («Я пока не могу решить, облегчит ли это условие проверку гипотезы» ).

Преобразование Меллина функции Рисса

Функция Рисса связана с дзета-функцией Римана через преобразование Меллина . Если мы возьмем

${\mathcal {M}}({\rm {Riesz}}(z))=\int _{0}^{\infty }{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}$

мы видим, что если $\Re (s)>-1$ затем

$\int _{0}^{1}{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}$

сходится, тогда как из условия роста имеем, что если $\Re (s)<-{\frac {1}{2}}$ затем

$\int _{1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}$

сходится. Объединив это, мы видим, что преобразование Меллина функции Рисса определено на полосе $-1<\Re (s)<-{\frac {1}{2}}$. На этой полосе имеем (ср. основную теорему Рамануджана ) ${\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}={\mathcal {M}}({\rm {Riesz}}(z))$

В результате обратного преобразования Меллина мы теперь получаем выражение для функции Рисса:

${\rm {Riesz}}(z)=\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}z^{-s}ds$

где c находится между минус одним и минус половиной. Если гипотеза Римана верна, мы можем переместить линию интегрирования на любое значение меньше минус одной четверти, и, следовательно, мы получаем эквивалентность между скоростью роста четвертого корня для функции Рисса и гипотезой Римана.

Расчет функции Рисса

Маклорена ряда Коэффициенты $F$ возрастают по абсолютной величине, пока не достигнут своего максимума к 40-му сроку $-1.753\times 10^{17}$. К 109-му сроку они опустились ниже единицы по абсолютной величине. Взяв первые 1000 членов, достаточно, чтобы получить очень точное значение для $F(z)$ для $|z|<9$. Однако для этого потребуется вычислить полином степени 1000 либо с использованием рациональной арифметики с коэффициентами большого числителя или знаменателя, либо с использованием вычислений с плавающей запятой, содержащих более 100 цифр. Альтернативой является использование обратного преобразования Меллина, определенного выше, и численное интегрирование. Ни один из подходов не является простым в вычислительном отношении.

Другой подход заключается в использовании ускорения сходимости. У нас есть

${\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}.$

С $\zeta (2k)$ приближается к единице по мере увеличения k, члены этого ряда приближаются

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}=x\exp(-x)$. Действительно, Рисс заметил, что: $\ {\sum _{n=1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(x/n^{2})=x\exp(-x)}.$

Использование метода Куммера для ускорения сходимости дает

${\rm {Riesz}}(x)=x\exp(-x)-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\zeta (2k)-1\right)\left({\frac {(-1)^{k+1}}{(k-1)!\zeta (2k)}}\right)x^{k}$

с улучшенной скоростью сходимости.

Продолжение этого процесса приводит к новому ряду для функции Рисса с гораздо лучшими свойствами сходимости:

${\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-2k}\right)$

$\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}\left(x/n^{2}\right)^{k}}{(k-1)!}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right).$

Здесь $\mu$ — функция Мёбиуса мю , а перестановка членов оправдана абсолютной сходимостью. Теперь мы можем снова применить метод Куммера и написать

${\rm {Riesz}}(x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\left(\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)-1\right)\right)$

члены которого в конечном итоге уменьшаются как обратная четвертая степень $n$.

Вышеупомянутые ряды абсолютно сходятся всюду и, следовательно, могут быть дифференцированы почленно, что приводит к следующему выражению для производной функции Рисса:

${\rm {Riesz}}'(x)={\frac {{\text{Riesz}}(x)}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)$

который можно переставить как

${\rm {Riesz}}'(x)={\frac {{\text{Riesz}}(x)}{x}}+x\left(-{\frac {90}{\pi ^{4}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)\right).$

Марек Вольф если предположить, что гипотеза Римана показала, что для больших $x$:

${\rm {Riesz}}(x)\sim Kx^{1/4}\sin \left(\phi -{\frac {1}{2}}\gamma _{1}\log(x)\right)$

где $\gamma _{1}=14.13472514...$ – мнимая часть первого нетривиального нуля дзета-функции, $K=7.7750627...\times 10^{-5}$ и $\phi =-0.54916...=-31,46447^{\circ }$. Это согласуется с общими теоремами о нулях функции Рисса, доказанными в 1964 году Гербертом Вилфом.

График для диапазона от 0 до 50 приведен выше. Насколько это возможно, это не указывает на очень быстрый рост и, возможно, служит хорошим предзнаменованием для истинности гипотезы Римана.

Критерий Харди – Литтлвуда

Г.Х. Харди и Дж.Э. Литтлвуд аналогичными методами доказал, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению о том, что для любого показателя степени $e$ больше, чем $-1/4$:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\zeta (2k+1)}}=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty ).$

Ссылки

• Титчмарш, EC , Теория дзета-функции Римана , второе исправленное издание (Хит-Браун), Oxford University Press, 1986, [ раздел 14.32 ]