Основная теорема Рамануджана

В математике , основная теорема Рамануджана названная в честь Шриниваса Рамануджана , это метод, который обеспечивает аналитическое выражение для преобразования Меллина аналитической функции .

Страница из записной книжки Рамануджана с изложением его Главной теоремы.

Результат заявлен следующим образом:

Если комплексная функция ${\textstyle f(x)}$ имеет расширение вида $$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}$$

то Меллина преобразование ${\textstyle f(x)}$ дается

$$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\,\varphi (-s)$$

где ${\textstyle \Gamma (s)}$ это гамма-функция .

Его широко использовал Рамануджан для вычисления определенных интегралов и бесконечных рядов .

Версии этой теоремы более высоких размерностей также появляются в квантовой физике через диаграммы Фейнмана .

Аналогичный результат был получен и Глейшером .

Альтернативный формализм

Альтернативная формулировка основной теоремы Рамануджана выглядит следующим образом:

$$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left(\,\lambda (0)-x\,\lambda (1)+x^{2}\,\lambda (2)-\,\cdots \,\right)dx={\frac {\pi }{\,\sin(\pi s)\,}}\,\lambda (-s)$$

который преобразуется в указанную выше форму после замены ${\textstyle \lambda (n)\equiv {\frac {\varphi (n)}{\,\Gamma (1+n)\,}}}$ и используя функциональное уравнение для гамма-функции .

Приведенный выше интеграл сходится для ${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$ в зависимости от условий роста на ${\textstyle \varphi }$.

Доказательство

Доказательство основной теоремы Рамануджана с учетом «естественных» предположений (хотя и не самых слабых необходимых условий) было предоставлено Г.Х. Харди . (глава XI) с использованием теоремы о вычетах и ​​известной теоремы обращения Меллина .

Приложение к полиномам Бернулли

Производящая функция полиномов Бернулли ${\textstyle B_{k}(x)}$ дается:

$${\frac {z\,e^{x\,z}}{\,e^{z}-1\,}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x)\,{\frac {z^{k}}{k!}}$$

Эти полиномы выражаются через дзета-функцию Гурвица :

$$\zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\,(n+a)^{s}\,}}$$

к ${\textstyle \zeta (1-n,a)=-{\frac {B_{n}(a)}{n}}}$ для ${\textstyle ~n\geq 1}$. Используя основную теорему Рамануджана и производящую функцию полиномов Бернулли, можно получить следующее интегральное представление:

$$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{\,1-e^{-x}\,}}-{\frac {1}{x}}\right)dx=\Gamma (s)\,\zeta (s,a)\!$$

который действителен для ${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$.

Приложение к гамма-функции

Определение гамма-функции Вейерштрассом

$$\Gamma (x)={\frac {\,e^{-\gamma \,x\,}}{x}}\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(\,1+{\frac {x}{n}}\,\right)^{-1}e^{x/n}\!$$

эквивалентно выражению

$$\log \Gamma (1+x)=-\gamma \,x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\,\zeta (k)\,}{k}}\,(-x)^{k}$$

где ${\textstyle \zeta (k)}$ — дзета-функция Римана .

Тогда, применяя основную теорему Рамануджана, мы имеем:

$$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\,\gamma \,x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{2}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!$$

действителен для ${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$.

Особые случаи ${\textstyle s={\frac {1}{2}}}$ и ${\textstyle s={\frac {3}{4}}}$ являются

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {\,\gamma x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{5/2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {2\pi }{3}}\,\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)$$

$$\int _{0}^{\infty }{\frac {\,\gamma \,x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{9/4}}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)$$

Приложение к функциям Бесселя

Функция Бесселя первого рода имеет степенной ряд $$J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (k+\nu +1)k!}}{\bigg (}{\frac {z}{2}}{\bigg )}^{2k+\nu }$$

По основной теореме Рамануджана, вместе с некоторыми тождествами для гамма-функции и перестановкой, мы можем вычислить интеграл

$${\frac {2^{\nu -2s}\pi }{\sin {(\pi (s-\nu ))}}}\int _{0}^{\infty }z^{s-1-\nu /2}J_{\nu }({\sqrt {z}})\,dz=\Gamma (s)\Gamma (s-\nu )$$

действителен для ${\textstyle 0<2\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<\operatorname {\mathcal {Re}} (\nu )+{\tfrac {3}{2}}}$.

Эквивалентно, если сферическая функция Бесселя ${\textstyle j_{\nu }(z)}$ предпочтительнее, формула принимает вид

$${\frac {2^{\nu -2s}{\sqrt {\pi }}(1-2s+2\nu )}{\cos {(\pi (s-\nu ))}}}\int _{0}^{\infty }z^{s-1-\nu /2}j_{\nu }({\sqrt {z}})\,dz=\Gamma (s)\Gamma {\bigg (}{\frac {1}{2}}+s-\nu {\bigg )}$$

действителен для ${\textstyle 0<2\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<\operatorname {\mathcal {Re}} (\nu )+2}$.

Решение примечательно тем, что оно способно интерполировать основные тождества гамма-функции. В частности, выбор ${\textstyle J_{0}({\sqrt {z}})}$ дает квадрат гамма-функции, ${\textstyle j_{0}({\sqrt {z}})}$ дает формулу дублирования , ${\textstyle z^{-1/2}J_{1}({\sqrt {z}})}$ дает формулу отражения и фиксацию к оцениваемому ${\textstyle s={\frac {1}{2}}}$ или ${\textstyle s=1}$ дает гамма-функцию сама по себе, с точностью до отражения и масштабирования.

Метод интеграции кронштейнов

Метод интегрирования в скобках (метод скобок) применяет основную теорему Рамануджана к широкому кругу интегралов. Метод интегрирования в скобках генерирует разложение в ряд подынтегральной функции , создает ряд в скобках, определяет коэффициент ряда и формулы параметры и вычисляет интеграл.

Формулы интегрирования

В этом разделе определены формулы интегрирования для подынтегральных выражений показателями степени и без них с последовательными целыми , а также для одинарных и двойных интегралов. Формула интегрирования для двойных интегралов может быть обобщена на любой кратный интеграл . Во всех случаях есть значение параметра ${\textstyle n^{\ast }}$ или массив значений параметров ${\textstyle N^{\ast }}$ который решает одно или несколько линейных уравнений, полученных из показателей степени разложения в ряд подынтегрального выражения.

Последовательные целые показатели степени, 1 переменная

Это формула разложения функционального ряда, интеграла и интегрирования для интеграла, разложение подынтегральной функции которого содержит последовательные целые показатели степени. $${\begin{aligned}&f(y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n}\\&\int _{0}^{\infty }y^{c-1}f(y)\,dy\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n+c-1}dy\\&=\Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\end{aligned}}$$ Параметр $n^{\ast }$ является решением этого линейного уравнения. $$n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-c$$

Общие показатели, 1 переменная

Применение замены ${\textstyle y=x^{a}}$ генерирует разложение функционального ряда, интеграл и формулу интегрирования для интеграла, разложение в ряд которого подынтегральная функция не может содержать последовательные целые показатели степени. $${\begin{aligned}&f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an}\\&\int _{0}^{\infty }x^{c-1}f(x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an+c-1}dx\\&=a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\\\end{aligned}}$$ Параметр ${\textstyle n^{\ast }}$ является решением этого линейного уравнения. $$a\ n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-a^{-1}c$$

Последовательные целые показатели степени, двойной интеграл

Это формула разложения функционального ряда, интеграла и интегрирования для двойного интеграла, разложение в ряд подынтегральной функции которого содержит последовательные целые показатели степени. $${\begin{aligned}&f(y_{1},y_{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}}\ y_{2}^{n_{2}}\\&\int _{0}^{\infty }y_{1}^{c_{1}-1}y_{2}^{c_{2}-1}\ f(y_{1},y_{2})\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}+c_{1}-1}\ y_{2}^{n_{2}+c_{2}-1}\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\\\end{aligned}}$$ Параметры ${\textstyle n_{1}^{\ast }}$ и ${\textstyle n_{2}^{\ast }}$ являются решениями этих линейных уравнений. $$n_{1}^{\ast }+c_{1}=0,\ n_{2}^{\ast }+c_{2}=0,\ n_{1}^{\ast }=-c_{1},\ n_{2}^{\ast }=-c_{2}$$

Общие показатели, двойной интеграл

В этом разделе описывается формула интегрирования для двойного интеграла, разложение в ряд подынтегрального выражения которого не может содержать последовательные целые показатели степени. Матрицы содержат параметры, необходимые для выражения показателей степени в ряд подынтегральной функции и определителя обратимой матрицы. ${\textstyle A}$ является ${\textstyle \det |A|}$. $$A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}$$ Применение замены $$y_{1}=x_{1}^{a_{11}}x_{2}^{a_{21}},\quad y_{2}=x_{1}^{a_{12}}x_{2}^{a_{22}}$$ генерирует разложение функционального ряда, интеграл и формулу интегрирования для двойного интеграла, разложение в ряд подынтегральной функции которого не может содержать последовательные целые показатели степени. Интеграл и формула интегрирования имеют вид $${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ x_{1}^{n_{1}a_{11}+n_{2}a_{12}+c_{1}-1}\ x_{2}^{n_{1}a_{21}+n_{2}a_{22}+c_{2}-1}\ dx_{1}\ dx_{2}\\&=\det |A|^{-1}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\end{aligned}}$$ Матрица параметров ${\textstyle N^{\ast }}$ является решением этого линейного уравнения. $$AN^{\ast }+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}C$$.

Положительный индекс сложности

В некоторых случаях сумм может быть больше, чем переменных. Например, если подынтегральная функция является произведением трех функций одной общей переменной, и каждая функция преобразуется в сумму разложения в ряд, подынтегральная функция теперь является произведением трех сумм, каждая из которых соответствует отдельному разложению в ряд.

• Количество скобок — это количество линейных уравнений, связанных с интегралом. Этот термин отражает общепринятую практику заключения в скобки каждого линейного уравнения.
• Индекс сложности — это количество сумм подынтегральных выражений минус количество скобок (линейных уравнений). Каждое разложение подынтегрального выражения в ряд дает одну сумму.
• Индексы суммирования (переменные) — это индексы, которые индексируют члены в разложении в ряд. В примере имеется 3 индекса суммирования ${\textstyle n_{1},n_{2}}$ и ${\textstyle n_{3}}$ потому что подынтегральная функция является продуктом разложения на 3 ряда.
• Свободные индексы суммирования (переменные) — это индексы суммирования, которые остаются после завершения всех интегрирований. Интегрирование уменьшает количество сумм в подынтегральном выражении за счет замены разложения в ряд (суммы) формулой интегрирования. Следовательно, индексов суммирования после интегрирования становится меньше. Количество выбранных свободных индексов суммирования равно индексу сложности.

Интегралы с положительным индексом сложности

Индексы свободного суммирования ${\textstyle {\bar {n}}_{1},\ldots ,{\bar {n}}_{f}}$ являются элементами множества ${\textstyle F}$. Матрица индексов свободного суммирования имеет вид ${\textstyle {\bar {N}}}$ а коэффициенты индексов свободного суммирования – матрица ${\textstyle {\bar {A}}}$. $${\bar {A}}={\begin{vmatrix}{\bar {a}}_{11}&\ldots &{\bar {a}}_{1f}\\\vdots &&\vdots \\{\bar {a}}_{b1}&\ldots &{\bar {a}}_{bf}\end{vmatrix}},\ {\bar {N}}={\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{1}\\\vdots \\{\bar {n}}_{f}\end{vmatrix}}$$ Остальные индексы установлены ${\textstyle B}$ содержащие индексы ${\textstyle n_{1},\ldots ,n_{b}}$. Матрицы ${\textstyle A,C}$ и ${\textstyle N^{\ast }}$ содержат матричные элементы, которые умножаются или суммируются с индексами несуммирования. Выбранные свободные индексы суммирования должны покинуть матрицу ${\textstyle A}$ неединственный. $$A={\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1b}\\\vdots &&\vdots \\a_{b1}&\ldots &a_{bb}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{b}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\\vdots \\n_{b}^{\ast }\end{vmatrix}}$$. Это формула разложения функции в ряд, интеграла и интегрирования. $${\begin{aligned}&f(x_{1},\ldots ,x_{b})\\&=\sum _{n\in B}^{\infty }\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{n_{b}}}{n_{b}!}}{\frac {(-1)^{\bar {n_{f}}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\varphi (n_{1},\ldots ,n_{b},{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f})\prod _{x_{k}\in B}x_{k}^{n_{1}a_{k1}+\dots +{\bar {n}}_{1}{\bar {a}}_{k1}+\dots +c_{k}-1}\\&\int _{0}^{\infty }\ldots \int _{0}^{\infty }x^{c_{1}-1}\dots x^{c_{b}-1}f(x_{1},\ldots ,x_{b})\ dx_{1}\ldots dx_{b}\\&=\det |A|^{-1}\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{f}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast },{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f}).\end{aligned}}$$ Параметры ${\textstyle n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast }}$ являются линейными функциями параметров ${\textstyle {\bar {n}}_{1}^{\ast },\ldots ,{\bar {n}}_{f}^{\ast }}$. $$A\ N^{\ast }+{\bar {A}}\ {\bar {N}}+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}({\bar {A}}\ {\bar {N}}+C)$$.

Серия кронштейнов

Таблица 1. Обозначения серий кронштейнов

Тип обозначения	Обозначение степенного ряда	Обозначение серии кронштейнов
Индикатор	$${\frac {(-1)^{n}}{n!}}$$	$$\phi _{n}$$
Мультииндикатор	$$\prod _{j=1}^{N}\left({\frac {(-1)^{n_{j}}}{n_{j}!}}\right)$$	$$\phi _{n_{1},\ldots ,n_{N}}$$
Кронштейн	$$\int _{0}^{\infty }dx\ x^{a_{1}n_{1}+\ldots +a_{m}n_{m}+c-1}$$	$$\langle a_{1}n_{1}+\ldots +a_{m}n_{m}+c\rangle$$

Обозначения рядов в скобках — это обозначения, которые заменяют общепринятые обозначения степенных рядов (таблица 1). Замена обозначений степенного ряда обозначениями скобочных серий преобразует степенной ряд в скобочный ряд. Серия скобок облегчает идентификацию параметров формулы, необходимых для интеграции. Также рекомендуется заменить сумму, возведенную в степень: $${\frac {1}{(x_{1}+\ldots +x_{b})^{\alpha }}}$$ с этим выражением серии скобок: $$\sum _{m_{1}=0}^{\infty }\ldots \sum _{m_{b}=0}^{\infty }\ \phi _{m_{1},\dots ,m_{b}}\ x_{1}^{m_{1}}\dots x_{b}^{m_{b}}{\frac {\langle \alpha +m_{1}+\ldots +m_{b}\rangle }{\Gamma (\alpha )}}.$$

Алгоритм

Этот алгоритм описывает, как применять интегральные формулы.

Таблица 2. Интегральные формулы

Индекс сложности	Интегральная формула
Ноль, одинарный интеграл	$$a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast })$$
Ноль, кратный интеграл	$$\det |A|^{-1}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast })$$
Позитивный	$$\det |A|^{-1}\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{f}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast },{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f})$$

Входное интегральное выражение

Выходное интегральное значение или интегралу не может быть присвоено значение

1. Выразите подынтегральное выражение в виде степенного ряда.
2. Преобразуйте степенной ряд подынтегральной функции в скобочный ряд.
3. Получите индекс сложности, параметры формулы и функцию коэффициента ряда.
   1. Индекс сложности — это количество сумм подынтегральных выражений минус количество скобок.
   2. Параметры ${\textstyle n^{\ast }}$ или массив ${\textstyle N^{\ast }}$ являются решениями линейных уравнений ${\textstyle an^{\ast }+c=0}$ (нулевой индекс сложности, одинарный интеграл), ${\textstyle AN^{\ast }+C=0}$ (индекс нулевой сложности, одинарный интеграл) или ${\textstyle AN^{\ast }+{\bar {A}}{\bar {N}}+C=0}$ (положительный индекс сложности).
   3. Определить параметр ${\textstyle a}$ или (индекс нулевой сложности, одинарный интеграл) или вычислить ${\textstyle \det |A|}$ (все остальные случаи) из связанных линейных уравнений.
   4. Определить функцию коэффициента ряда ${\textstyle \varphi ()}$ серии кронштейнов.
4. Если индекс сложности отрицательный, возвращаемому интегралу не может быть присвоено значение.
5. Если индекс сложности равен нулю, выберите формулу из таблицы 2 для нулевого индекса сложности, одинарного или кратного целого, вычислите целочисленное значение с помощью этой формулы и верните это целочисленное значение.
6. Если индекс сложности положительный, выберите формулу из таблицы 2 для положительного индекса сложности и вычислите интегральное значение как разложение в ряд по этой формуле для всех возможных вариантов выбора свободных индексов суммирования. Выберите наименьший индекс сложности, расширение сходящегося ряда, добавление рядов, сходящихся в одной и той же области.
   1. Если все разложения рядов являются расходящимися рядами или нулевыми рядами (все члены ряда равны нулю), то возвращаемому интегралу не может быть присвоено значение.
   2. Если разложение в ряд не является нулевым и нерасходящимся, верните это разложение в ряд как целочисленное значение.

Примеры

Индекс нулевой сложности

Метод скобок проинтегрирует этот интеграл. $$\int _{0}^{\infty }x^{3/2}\ e^{-x^{3}/2}\ dx$$

1. Выразите подынтегральное выражение в виде степенного ряда. $$\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ {\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ x^{(3\cdot n+5/2)-1}\ dx$$
2. Преобразуйте степенной ряд в скобочный ряд. $$\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ \phi (n)\cdot \left\langle 3\ n+{\frac {5}{2}}\right\rangle$$
3. Получите индекс сложности, параметры формулы и функцию коэффициента ряда.

Индекс сложности равен нулю.

${\textstyle 3\ n^{\ast }+5/2=0}$

${\textstyle n^{\ast }=-5/6,\ a=3}$

${\textstyle \varphi (n)=2^{-n}}$.

4. Используйте таблицу 2 для вычисления интеграла.

$$\int _{0}^{\infty }x^{3/2}\cdot e^{-x^{3}/2}\ dx$$ $$=a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\ \varphi (n^{\ast })$$ $$={\frac {\Gamma \left({\frac {5}{6}}\right)\ 2^{5/6}}{3}}$$

Положительный индекс сложности

Метод скобок проинтегрирует этот интеграл. $$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx$$ 1. Выразите подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используйте сумму, возведенную в степень. $$\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}}\ {\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}1^{n_{1}}x^{5n_{2}+3n_{3}}\langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle \ dx$$ 2. Преобразовать степенной ряд в скобочный ряд. $$\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{n},n_{3}}{\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}\langle 5\ n_{2}+3\ n_{3}+1\rangle \langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle$$ 3. Получите индекс сложности, параметры формулы и функцию коэффициента ряда.

Индекс сложности равен 1 как 3 суммы и 2 скобки.

Выбирать ${\textstyle n_{3}}$ как свободный индекс, ${\textstyle {\bar {n}}_{3}}$. Линейные уравнения, решения, определитель и коэффициент ряда:

$$5n_{2}^{\ast }+3{\bar {n}}_{3}+1=0,\ n_{1}^{\ast }+n_{2}^{\ast }+{\bar {n}}_{3}+1/2=0$$ $${\begin{vmatrix}1&1\\0&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1\\3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1/2\\1\end{vmatrix}}=0$$ $$AN^{\ast }+{\bar {A}}{\bar {N}}+C=0$$ $$\det |A|=5$$ $$n_{1}^{\ast }=-{\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {3}{10}},\ n_{2}^{\ast }=-{\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {1}{5}}.$$ $$\varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})={\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}$$ 4. Используйте таблицу 2 для вычисления интеграла $${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}\det |A|^{-1}\Gamma (-n_{1}^{\ast })\Gamma (-n_{2}^{\ast })\varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}{\frac {\Gamma ({\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {3}{10}})\Gamma ({\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {1}{5}})}{5{\sqrt {\pi }}}}\end{aligned}}$$

Ссылки

• Амдеберхан, Теодор; Гонсалес, Иван; Харрисон, Маршалл; Молл, Виктор Х.; Штрауб, Армин (2012). «Главная теорема Рамануджана». Журнал Рамануджана . 29 (1–3): 103–120. CiteSeerX   10.1.1.232.8448 . дои : 10.1007/s11139-011-9333-y . S2CID   8886049 .
• Анантанараян, Б.; Баник, Сумит; Фриот, Сэмюэл; Патхак, Танай (2023). «Метод скобок: новый взгляд на технику вычисления интегралов Фейнмана и некоторых определенных интегралов» . Физический обзор D . 108 (8).
• Берндт, Б. (1985). Записные книжки Рамануджана, часть I. Нью-Йорк: Springer-Verlag.
• Эспиноза, Оливье; Молл, Виктор Х. (2002). «О некоторых интегралах, включающих дзета-функцию Гурвица. II». Журнал Рамануджана . 6 (4): 449–468. дои : 10.1023/A:1021171500736 . МР   2125010 .
• Глейшер, JWL (1874 г.). «Новая формула в определенных интегралах». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 48 (315): 53–55. дои : 10.1080/14786447408641072 .
• Гонсалес, Иван; Молл, В.Х.; Шмидт, Иван (2011). «Обобщенная основная теорема Рамануджана, примененная к оценке диаграмм Фейнмана». arXiv : 1103.0588 [ math-ph ].
• Гонсалес, Иван; Молл, Виктор Х. (2010). «Определенные интегралы методом скобок. Часть 1». Достижения прикладной математики . 45 (1): 50–73. дои : 10.1016/j.aam.2009.11.003 .
• Гонсалес, Иван; Коль, Карен; Цзю, Линь; Молл, Виктор Х. (1 января 2017 г.). «Расширение метода скобок. Часть 1» . Открытая математика . 15 (1): 1181–1211. arXiv : 1707.08942 . дои : 10.1515/math-2017-0100 . ISSN   2391-5455 .
• Гонсалес, Иван; Коль, Карен; Цзю, Линь; Молл, Виктор Х. (март 2018 г.). «Метод скобок в экспериментальной математике». Границы в ортогональных полиномах и q-рядах . МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. стр. 307–318. ISBN  978-981-322-887-0 .
• Гонсалес, Иван; Цзю, Линь; Молл, Виктор Х. (2020). «Расширение метода скобок. Часть 2» . Открытая математика . 18 (1): 983–995. arXiv : 1707.08942 . дои : 10.1515/math-2020-0062 . ISSN   2391-5455 .
• Гонсалес, Иван; Кондращук Игорь; Молл, Виктор Х.; Рекабаррен, Луис М. (2022). «Интегралы Меллина – Барнса и метод скобок» . Европейский физический журнал C . 82 (1): 28. doi : 10.1140/epjc/s10052-021-09977-x . ISSN   1434-6052 .
• Харди, GH (1978). Рамануджан: Двенадцать лекций по темам, предложенным его жизнью и творчеством (3-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Челси. ISBN  978-0-8284-0136-4 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Главная теорема Рамануджана» . Математический мир .