Средняя теорема обращения

В математике формула обращения Меллина (названная в честь Ялмара Меллина ) сообщает нам условия, при которых обратным преобразованием Меллина или, что эквивалентно, обратным двусторонним преобразованием Лапласа которые определяются и восстанавливают преобразованную функцию.

Метод

Если $\varphi (s)$ аналитичен в полосе $a<\Re (s)<b$,и если оно равномерно стремится к нулю как $\Im (s)\to \pm \infty$ для любого действительного значения c между a и b с его интегралом по такой линии, абсолютно сходящимся, то если

$f(x)=\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds$

у нас есть это

$\varphi (s)=\{{\mathcal {M}}f\}=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx.$

И наоборот, предположим $f(x)$ является кусочно-непрерывным на положительных действительных числах , принимая значение на полпути между предельными значениями при любых разрывах скачка, и предположим, что интеграл

$\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx$

абсолютно сходится, когда $a<\Re (s)<b$. Затем $f$ восстанавливается с помощью обратного преобразования Меллина из его преобразования Меллина $\varphi$. Эти результаты можно получить, связав преобразование Меллина с преобразованием Фурье путем замены переменных и затем применив соответствующую версию теоремы обращения Фурье .

Условие ограниченности

Условие ограниченности $\varphi (s)$ можно усилить, если $f(x)$ является непрерывным. Если $\varphi (s)$ аналитичен в полосе $a<\Re (s)<b$, и если $|\varphi (s)|<K|s|^{-2}$, где K – положительная константа, то $f(x)$ по определению интеграл инверсии существует и непрерывен; более того, преобразование Меллина $f$ является $\varphi$ по крайней мере $a<\Re (s)<b$.

С другой стороны, если мы готовы принять оригинал $f$ который представляет собой обобщенной функции , мы можем ослабить условие ограниченности на $\varphi$ кпросто сделайте это полиномиальным ростом в любой замкнутой полосе, содержащейся в открытой полосе $a<\Re (s)<b$.

Мы также можем определить банаховом пространстве версию этой теоремы в . Если мы позвоним $L_{\nu ,p}(R^{+})$ взвешенный L ^п пространство комплексных функций $f$ на позитивных реалиях, таких, что

$\|f\|=\left(\int _{0}^{\infty }|x^{\nu }f(x)|^{p}\,{\frac {dx}{x}}\right)^{1/p}<\infty$

где ν и p — фиксированные действительные числа с $p>1$, то если $f(x)$находится в $L_{\nu ,p}(R^{+})$ с $1<p\leq 2$, затем $\varphi (s)$ принадлежит $L_{\nu ,q}(R^{+})$ с $q=p/(p-1)$ и

$f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\nu -i\infty }^{\nu +i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.$

Здесь отождествляются функции, одинаковые всюду, кроме множества меры нуль.

Поскольку двустороннее преобразование Лапласа можно определить как

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)$

эти теоремы можно непосредственно применить и к нему.

См. также

• Средняя трансформация
• Теорема Нахбина

Ссылки

• Флажоле, П. ; Гурдон, X.; Дюма, П. (1995). «Преобразования Меллина и асимптотика: гармонические суммы» (PDF) . Теоретическая информатика . 144 (1–2): 3–58. дои : 10.1016/0304-3975(95)00002-E .
• Маклахлан, Северо-Запад (1953). Теория комплексных переменных и исчисление преобразований . Издательство Кембриджского университета.
• Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (1998). Справочник интегральных уравнений . Бока-Ратон: CRC Press. ISBN  0-8493-2876-4 .
• Титчмарш, ЕС (1948). Введение в теорию интегралов Фурье (второе изд.). Издательство Оксфордского университета.
• Якубович, С.Б. (1996). Индексные преобразования . Всемирная научная. ISBN  981-02-2216-5 .
• Земанян, А.Х. (1968). Обобщенные интегральные преобразования . Джон Уайли и сыновья.

Внешние ссылки

• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.