Функция Куммера

В математике есть несколько функций, известных как функция Куммера . Одна из них известна как вырожденная гипергеометрическая функция Куммера. Другой, определенный ниже, связан с полилогарифмом . Оба названы в честь Эрнста Куммера .

Функция Куммера определяется формулой

$\Lambda _{n}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\log ^{n-1}|t|}{1+t}}\;dt.$

Формула дублирования :

$\Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)=2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})$.

Сравните это с формулой дублирования полилогарифма:

$\operatorname {Li} _{n}(z)+\operatorname {Li} _{n}(-z)=2^{1-n}\operatorname {Li} _{n}(z^{2}).$

Явная связь с полилогарифмом дается выражением

$\operatorname {Li} _{n}(z)=\operatorname {Li} _{n}(1)\;\;+\;\;\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}\;{\frac {\log ^{k}|z|}{k!}}\;\operatorname {Li} _{n-k}(z)\;\;+\;\;{\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\;\left[\Lambda _{n}(-1)-\Lambda _{n}(-z)\right].$

Ссылки

• Левин, Леонард, изд. (1991), Структурные свойства полилогарифмов , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-4532-2 .