H-функция Фокса

«Функция H» перенаправляется сюда. Не путать с номером гармоники .

В математике H-функция Фокса H ( x ) является обобщением G-функции Мейера и функции Фокса–Райта, введенных Чарльзом Фоксом ( 1961 ).Он определяется интегралом Меллина – Барнса

$H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+B_{j}s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-A_{j}s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-B_{j}s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+A_{j}s)}}z^{-s}\,ds,$

где L — некоторый контур, разделяющий полюса двух множителей в числителе.

График функции Фокса H H((((a 1,α 1),...,(an,α n)),((a n+1,α n+1),...,(ap, α p)),(((b 1,β 1),...,(bm,β m)),in ((b m+1,β m+1),...,(bq,β q ))),z) с H(((),()),(((-1, ⁠ 1 / 2 ) ),()),z)

Связь с другими функциями

W-функция Ламберта

Связь H-функции Фокса с -1 ветвью W-функции Ламберта определяется выражением

${\overline {\operatorname {W} _{-1}\left(-\alpha \cdot z\right)}}={\begin{cases}\lim _{\beta \to \alpha ^{-}}\left[{\frac {\alpha ^{2}\cdot \left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}}{\beta }}\cdot \operatorname {H} _{1,\,2}^{1,\,1}\left({\begin{matrix}\left({\frac {\alpha +\beta }{\beta }},\,{\frac {\alpha }{\beta }}\right)\\\left(0,\,1\right),\,\left(-{\frac {\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha -\beta }{\beta }}\right)\\\end{matrix}}\mid -\left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{{\frac {\alpha }{\beta }}-1}\right)\right],\,{\text{for}}\left|z\right|<{\frac {1}{e\left|\alpha \right|}}\\\lim _{\beta \to \alpha ^{-}}\left[{\frac {\alpha ^{2}\cdot \left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{-{\frac {\alpha }{\beta }}}}{\beta }}\cdot \operatorname {H} _{2,\,1}^{1,\,1}\left({\begin{matrix}\left(1,\,1\right),\,\left({\frac {\beta -\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha -\beta }{\beta }}\right)\\\left(-{\frac {\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha }{\beta }}\right)\\\end{matrix}}\mid -\left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\right)\right],\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}$где ${\overline {z}}$ представляет собой комплексное сопряжение $z$.

G-функция Мейера

Сравните с G-функцией Мейера.

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds.$

для которого H Фокса сводится к G Мейера, является Aj ₌ = Bk _{Особым случаем ,} = C , C > 0 для j 1... p и k = 1... q :

$H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},C)&(a_{2},C)&\ldots &(a_{p},C)\\(b_{1},C)&(b_{2},C)&\ldots &(b_{q},C)\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{C}}G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z^{1/C}\right).$

Обобщение H-функции Фокса было дано Рамом Кишором Саксеной . Дальнейшее обобщение этой функции, полезное в физике и статистике, было предоставлено А. М. Матаем и Рамом Кишором Саксеной .

Ссылки

• Фокс, Чарльз (1961), «Функции G и H как симметричные ядра Фурье», Transactions of the American Mathematical Society , 98 (3): 395–429, doi : 10.2307/1993339 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1993339 , MR   0131578
• Иннаят-Хусейн, А.А. (1987a), «Новые свойства гипергеометрических рядов, выводимых из интегралов Фейнмана. I: Формулы преобразования и редукции», J. Phys. А: Математика. Генерал , 20 (13): 4109–4117, Бибкод : 1987JPhA...20.4109I , doi : 10.1088/0305-4470/20/13/019
• Иннаят-Хусейн, А.А. (1987b), «Новые свойства гипергеометрических рядов, выводимых из интегралов Фейнмана. II: обобщение H-функции», J. Phys. А: Математика. Генерал , 20 (13): 4119–4128, Бибкод : 1987JPhA...20.4119I , doi : 10.1088/0305-4470/20/13/020
• Килбас, Анатолий А. (2004), H-преобразования: теория и приложения , CRC Press, ISBN  978-0415299169

• Матай, AM; Саксена, Рам Кишор (1978), H-функция с приложениями в статистике и других дисциплинах , Halsted Press [John Wiley & Sons], Нью-Йорк-Лондон-Сидней, ISBN  978-0-470-26380-8 , МР   0513025
• Матай, AM; Саксена, Рам Кишор; Хаубольд, Ханс Дж. (2010), H-функция , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-1-4419-0915-2 , МР   2562766
• Рати, Арджун К. (1997), «Новое обобщение обобщенной гипергеометрической функции», Le Matematiche , LII : 297–310 .
• Шривастава, HM; Гупта, КЦ; Гоял, С.П. (1982), H-функции одной и двух переменных , Нью-Дели: South Asian Publishers Pvt. ООО, МР   0691138
• Шривастава, HM; Маноча, Х.Л. (1984). Трактат о производящих функциях . Э. Хорвуд. ISBN  0-470-20010-3 .

Внешние ссылки

• гипергеом на GitLab
• Используйте при решении $x+x^{a}=y$ на MathOverflow